ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Задача по теме «Равнобедренный треугольник».



На боковых сторонах равнобедренного треугольника во внешнюю сторону построены равносторонние треугольники. Докажите, что отрезки, соединяющие вершины равносторонних треугольников (отличные от вершин равнобедренных треугольников) с серединой основания равнобедренного треугольника, равны.

 

 

53. Свойство параллелограмма (формулировки и примеры).

I. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

II. В параллелограмме противолежащие стороны равны и противолежащие углы равны.

Примеры.

1. В параллелограмме ABCD диагональ BD равна 12 см, О — точка пересечения диагоналей параллелограмма. Чему равен отрезок DO (рис. 55)?

Решение. По свойству диагоналей параллелограмма

2. В параллелограмме ABCD постройте медиану A BCD, проходящую через вершину С.

Построение. Проведем диагональ АС. Она пересекает диагональ BD в точке О. Так как диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам, то ВО = OD, значит, СО — медиана ABCD.

3. В параллелограмме сумма двух углов равна 132°. Найдите градусную меру каждого из этих углов.

Решение. Два данных угла не могут быть прилежащими к одной стороне, так как в этом случае их сумма была бы равна 180°: Значит, эти углы противолежащие. По свойству противолежащих углов параллелограмма они равны и каждый из них равен 66°.

4. На рисунке 56 приведен фрагмент страницы тетради в косую линейку. Отрезок АВ равен 3 см, а наклонные линии образуют с горизонтальными



угол, равный 60°. Найдите стороны KL и NM и углы ячейки KLMN.

Решение. По определению параллелограмма все ячейки страницы тетради в косую линейку являются параллелограммами, так как все горизонтальные линии параллельны и все наклонные линии параллельны.

По свойству сторон параллелограмма АВ = DC (из параллелограмма ABCD), DC = KL (из параллелограмма DCLK), KL = NM (из параллелограмма KLMN).

Отсюда АВ = DC = KL = NM = 3 см. Углы KNM и KLM параллелограмма KLMN равны по свойству противолежащих углов параллелограмма и равны 60° по условию. Так как углы NKL и KNM — прилежащие к одной стороне параллелограмма, то

 

 

Теорема о внешнем угле треугольника.

Внешним углом треугольника при данной вершине называется угол, смежный с углом треугольника при этой вершине.

Чтобы не путать угол треугольника при данной вершине с внешним углом треугольника при этой же вершине, его иногда называют внутренним углом.

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.



Отсюда следует, что , т. е. внешний угол при вершине равен сумме углов А и В, что и требовалось доказать.

Отсюда следует, что внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.

 

 

Задача по теме «Признаки равенства треугольников».


 

 

Задача по теме «Площадь».


 

 

57. Теорема о средней линии трапеции (формулировка и пример).

Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме.

Пример.

 

 

Теорема о сумме углов выпуклого многоугольника.

Многоугольник называется выпуклым, если он

лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону.

Сумма углов выпуклого п-угольника равна 180° - (п - 2).

 

 

Задача по теме «Признаки равенства треугольников».


 

 

Задача по теме «Решение прямоугольных треугольников».


 

 

61. Формулы для радиусов вписанных и описанных окружностей правильного n-угольника (формулы и примеры).




 

 

Свойство диагоналей ромба.




Дано: ABCD — ромб, АС и BD — диагонали, О — точка пересечения диагоналей.

Доказать: AC BD, АС и BD — биссектрисы углов ромба.

Доказательство. Рассмотрим ромб ABCD (см. рис. 61). По свойству параллелограмма АО = ОС. Значит, в треугольнике ABC отрезок ВО является медианой. Так как ABCD — ромб, то АВ = ВС и треугольник ABC — равнобедренный. По свойству равнобедренного треугольника медиана, проведенная к его основанию, является биссектрисой и высотой. А это значит, что диагональ BD является биссектрисой угла В и перпендикулярна диагонали АС. Аналогично рассматривается AABD. Теорема доказана.

 

 

Задача по теме «Равнобедренный треугольник».


 

 





Последнее изменение этой страницы: 2016-09-19; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.237.66.86 (0.009 с.)