Задача по теме «подобие треугольников».

В треугольнике из всех вершин проведены высоты, каждая из которых разбивает его на два треугольника. Докажите, что любые два из этих треугольников, имеющие общую вершину с данным, подобны.

 

 

65. Формулы для радиусов вписанных и описанных окружностей правильного треугольника, правильного четырехугольника, правильного шестиугольника (формулы и примеры).

Примеры.

1. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, если сторона треугольника равна 5 см.

Решение:

2. Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен 1 см. Найдите радиус описанной окружности. Решение:





3. Радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника, равен 7 см. Найдите сторону правильного шестиугольника.

Решение:

 

 

Свойство диагоналей прямоугольника.

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые (рис. 62).

Диагонали прямоугольника равны.

Дано: ABCD — прямоугольник, АС и BD — диагонали.

Доказать: АС = BD.

Доказательство. Прямоугольные треугольники ACD и DBA равны (рис. 62), так как углы BAD и CDA — прямые, катет AD — общий, а катеты CD



и ВА равны как противолежащие стороны параллелограмма. Из равенства треугольников следует, что их гипотенузы равны, т. е. АС = BD, что и требовалось доказать.

 

 

Задача по теме «Равнобедренный треугольник».

 

 

Задача по теме «Параллельные прямые».

 

 

Первый признак равенства треугольников.

[П] Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

 

 

Задача по теме «Площадь».

ABCD — трапеция. Докажите, что треугольники ABD и ACD имеют равные площади.

Дано: ABCD — трапеция.

Доказать:

Доказательство. Площадь треугольника равна половине произведения его основания на проведенную к нему высоту. Треугольники ABC и ACD имеют общее основание AD. Противоположные стороны четырехугольника KBCL параллельны, так что этот четырехугольник — параллелограмм. Поэтому противоположные стороны KB и CL равны, т. е. треугольники ABD ACD имеют равные высоты, проведенные к основанию AD. Следовательно, , что и требовалось доказать.

 

 

Задача по теме «Многоугольники».

Высота OL равнобедренного треугольника БОС является его медианой, т. е. LB = LC, и аналогично из треугольника АОВ получаем КА = КВ. Поэтому АВ = 2KB = 2LB = ВС.

Следовательно, смежные стороны многоугольника равны, а значит, и все его стороны равны. Поскольку все его углы равны по условию, то он является правильным по определению правильного многоугольника, что и требовалось доказать.

 

 

72. Формулы площади треугольника (формулы и примеры).

 

 

Признак параллелограмма.

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны, т. е. лежат на параллельных прямых.

Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Дано: ABCD — четырехугольник, АС и BD — диагонали, OD = ОВ, ОА = ОС, О — точка пересечения ВПиАС.

Доказать: ABCD — параллелограмм.

Доказательство. Треугольники AOD и COD равны (рис. 68). У них углы при вершине О равны как вертикальные, а OD = ОВ и ОА = ОС по условию теоремы.

Значит, углы ОВС и ODA равны. А они являются внутренними накрест лежащими для прямых AD и ВС и секущей BD. По признаку параллельности прямых прямые АВ и CD параллельны. Так же доказывается параллельность прямых АВ и СВ с помощью равенства треугольников АОВ и COD.

Так как противолежащие стороны четырехугольника параллельны, то по определению этот четырехугольник — параллелограмм. Теорема доказана.

 

 

Задача по теме «Равнобедренный треугольник».

 

 

Задача по теме «Углы, вписанные в окружность».

 

 

76. Формулы площади прямоугольника и параллелограмма (формулы и примеры).

I. Площадь прямоугольника со сторонами а и b равна произведению их сторон S = аЬ.

II. Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на проведенную к ней высоту: S = ah2.

 

 

Второй признак равенства треугольников.

 

 

Задача по теме «Средняя линия треугольника».

 

 

79. Формула площади трапеции (формула и пример).