Матричный способ решения систем линейных уравнений

Это решение системы по формуле Х=А в минус первой на B. А в минус первой=1\detA × А*. Вывод формулы: А×Х=В,умножим обе части на А в минус первой,и т.к Ав минус первой × А=Е, получим наше уравнение.

Формулы Крамера

xi=Δi\Δ. Δ1 получена из Δ путем замены первого столбца коэффициентов столбцом из свободных членов.

Записываем матричное равенство в виде: (х1)=1\Δ (А11 А12 А13) × (b1). записана первая строка,нижние по аналогии. Далее внесем определитель и свободные члены в основную матрицу. Отсюда следует: х1=А11b1+A12b2+… (нижние строки по аналогии). Но А11b1+A12b2+… есть разложение определителя по элементам первого столбца. Значит см.выше.

Теорема Кронекера-Капелли.

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы.

Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение. Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений

Правило решения произвольной системы уравнений. Найти ранг основной и расширенной матриц,если они не равны,то система несовместна(нет решений). Найти какой-либо базисный минор порядка r. Взять r уравнений из коэффициентов которых составлен базисный минор(остальные отбросить). Коэффициенты которые входят в базисный минор-главные,записываются слева, остальные переносятся в правые части уравнений(свободные). Далее найти выражения главных неизвестных через свободные. Получается общее решение системы. Затем придавая свободным неизвестным произвольные значения получим соответствующие значения главных неизвестных(частные решения исходной системы).

36 ) Условия определенности и неопределенности систем линейных уравнений.

Система уравнение называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. В последнем случае каждое ее решение называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением.

Решить систему - это значит выяснить, совместна она или несовместна. Если система совместна, найти ее общее решение. Две системы называются эквивалентными( равносильными), если они имеют одно и то же общее решение. Другими словами, системы эквивалентны, если каждое решение одной из них является решением другой, и наоборот. Эквивалентные системы получаются, в частности, при элементарных преобразованиях системы при условии, что преобразования выполняются лишь над строками матрицы.

Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены равны нулю. Однородная система всегда совместна, т.к х1=х2….=хn=0 является решением системы. Это решение называется нулевым или тривиальным.

37) Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Пусть дана система уравнений:

1)a11x1+a12x2+….a1nXn=b1

a21x1+a22x2+….a2nXn=b2

……………………………

am1X1+am2X2+…..amnXn=bn

 

Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов. На первом этапе(прямой ход) система приводится к ступенчатому (в частности, треугольному) виду.

Приведенная ниже система имеет ступенчатый вид:

a11x1+a12x2+….+a1kXk+….a1nXn=b1

a22x2+….+a2kxk+…. a2nXn=b2

………………………

akkXk+….aknXn=bk

Прямой ход.

Будем считать, что элемент а11 не равен 0(если а11=0, то первым в системе запишем уравнение, котором коэффициент при x1отличен от нуля)

Преобразуем систему, исключив неизвестное х1 во всех уравнениях, кроме первого(используя элементарные преобразования системы). Для этого умножим обе части уравнение на –а21/а11 и сложим почленно со вторым уравнением системы. Затем умножим обе части первого уравнения на –а31/а11 и сложим с третьим уравнением системы. Продолжаем этот процесс, получим эквивалентную систему:

2)a11x1+a12x2+….a1nXn=b1

a22x2+….a2nXn=b2

……………………………

am2X2+…..amnXn=bm

Аналогичным образом, считая главным элементом а22 не =0, исключим неизвестное х2 из всех уравнений системы, кроме первого и второго, и так далее. Продолжаем этот процесс, пока это возможно.

Если в процессе приведения системы(номер 1) к ступенчатому виду появятся нулевые уравнения,т.е равенства вида 0=0, их отбрасывают.

Обратный ход.

Заключается в решении ступенчатой системы. Ступенчатая система уравнений, вообще говоря, имеет бесчисленное множество решений. В последнем уравнении этой системы выражаем первое неизвестное Xk через остальные неизвестные (Хк+1,…..Xn). Затем подставляем значение Xk в предпоследнее уравнение системы и выражаем Xk-1 через (Xk+1,….Xn); затем находим Xk-2,……х1. Придавая свободным неизвестным (Xk+1,….Xn) произвольные значения, получим бесчисленное множество решений системы.

Замечания:

1) Если ступенчатая система оказывается треугольной, т.е k=n, то исходная система имеет единственное решение.

2) На практике удобнее работать не с системой 1, а с расширенной ее матрицей, выполняя все элементарные преобразования над ее строками.

 

38) Теорема о совместности однородной системы линейных уравнений.

Пусть дана система линейных однородных уравнений:

а11х1+а12х2+….+а1nXn=0

а12х1+а22х2+….+а2nXn=0

…………………………….

Am1x1+am2x2+……+amnXn=0

Однородная система всегда совместна,она имеет нулевое(тривиальное) решение х1=х2=….=хn=0

Теорема.

Для того, чтобы система однородных уравнений имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг r ее основной матрицы был меньше числа n неизвестных, т.е r<n

Необходимость.

Т.к ранг не может превосходить размера матрицы, то, очевидно, r< или = n. Пусть r=n. Тогда один из миноров размера n x n отличен от нуля. Поэтому соответствующая система линейных уравнений имеет единственное решение: xi= ∆i/∆=0, ∆i=0, ∆ не =0. Значит, других, кроме тривиальных, решений нет. Если есть нетривиальное решение, то r<n.

Достаточность.

Пусть r<n. Тогда однородная система, будучи совместной, является неопределенной. Значит, она имеет бесчисленное множество решений, т.е имеет и ненулевые решения.

 

39) Теорема о существовании ненулевых решений однородных систем линейных уравнений.

Теорема.

Для того, чтобы однородная система n линейных уравнений с n неизвестными имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель ∆был равен нулю, т.е ∆=0

Если система имеет ненулевые решения, то ∆=0. Ибо при ∆ не равно 0 система имеет только единственное, нулевое решение. Если же ∆=0, то ранг r основной матрицы системы меньше числа неизвестных, т.е r<n/ И, значит, система имеет бесконечное множество(ненулевых) решений.

40) Линейное(векторное) пространство. Пространство Rⁿ и линейные операции в этом пространстве.

Векторное (линейное) пространство - математическое понятие, обобщающее понятие совокупности всех (свободных) векторов обычного трехмерного пространства.

Векторным пространством (над полем R или C) называют множество L, состоящее из элементов любой природы (называемых векторами), в котором определены операции сложения элементов и умножения элементов на действительные (комплексные) числа, удовлетворяющие следующим условиям:

1) x + y = y + x (коммутативность сложения);

2) (x + y) + z = x + (y + z) (ассоциативность сложения);

3) имеется нулевой вектор 0 (или нуль-вектор), удовлетворяющий условию x + 0 = x для любого вектора x;

4) для любого вектора x существует противоположный ему вектор y такой, что x + y = 0;

5) 1∙x = x;

6) α(βx) = (αβ)x (ассоциативность умножения);

7) (α + β)x = αx + βx (дистрибутивность относительно числового множителя);

8) α(x + y) = αx + αy (дистрибутивность относительно векторного множителя).

Векторное пространство называют. n-мерным (или имеет «размерность n»), если в нём существуют n линейно независимых элементов e1, e2,...en, а любые n+1 элементов линейно зависимы. Векторное пространство называют бесконечномерным, если в нём для любого натурального n существует n линейно независимых векторов. Любые n линейно независимых векторов n-мерного векторного пространства образуют базис этого пространства. Если e1, e2,...en - базис векторного пространства, то любой вектор x этого пространства может быть представлен единственным образом в виде линейной комбинации базисных векторов:

x = α1e1 + α2e2 +... + αnen.

При этом числа α1, α2,...,αn называют координатами вектора x в данном базисе.

Множество всех векторов 3-мерного пространства образует векторное пространство. Более сложным примером может служить так называемое n-мерное векторное пространство. Векторами этого пространства являются упорядоченные системы из n действительных чисел (λ1, λ2,..., λn). Сумма двух векторов и произведение на число определяются соотношениями:

(λ1, λ2,..., λn) + (μ1, μ2,..., μn) =

= (λ1 + μ1, λ2 + μ2,..., λn + μn),

α∙(λ1, λ2,..., λn) = (α∙λ1, α∙λ2,..., α∙λn).

Базисом в этом пространстве может служить, например, следующая система из n векторов: e1 = (1, 0,..., 0), e2 = (0, 1,..., 0),...en = (0, 0,..., 1).

 

41) Скалярное произведение n-мерных векторов. Неравенство Коши-Буняковского. Косинус угла между m-мерными векторами.

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

Скалярное произведение векторов а, b обозначается символом ab(две черточки сверху) (порядок записи сомножителей безразличен, то есть ab=ba)

Угол (фи) между векторами:

А=(x1;y1;z1) B=(x2;y2;z2)

Нера́венство Коши́ — Буняко́вского Для любых элементов и линейного пространства со скалярным произведением выполняется неравенство. |(x,y)|<или =||x||*||y||

связывает норму и скалярное произведение векторов в линейном пространстве. Это неравенство эквивалентно неравенству треугольника для нормы в пространстве со скалярным произведением.

Пусть дано линейное пространство L со скалярным произведением (x;y). Пусть||x|| — норма, порождённая скалярным произведением, то есть ||x||=(x;x)(все под корнем). Тогда для любых х,у принадлежит L имеем:

|(x,y)|<или =||x||*||y||

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы x и y пропорциональны (коллинеарны).

В пространстве комплекснозначных квадратично суммируемых последовательностей i² неравенство Коши — Буняковского имеет вид:

В пространстве комплексных квадратично интегрируемых функций неравенство Коши — Буняковского имеет вид:

 

Косинус угла между векторами находят из их скалярного произведения. Сумма произведения соответствующих координат вектора равна произведению их длин на косинус угла между ними.

42) Определение линейно зависимых и независимых векторов. Критерий линейной зависимости и независимости векторов в пространстве Rⁿ.

Пусть имеем векторное пространство V и систему векторов A={ } (система отличается от множества тем, что в ней могут быть одинаковые элементы). Вектор называется линейной комбинацией системы векторов A. Если все скаляры α1 = α2 = α3... = αk = 0, то такая комбинация называется тривиальной (простейшей), (и ). Если хотя б один скаляр отличен от 0, то такая комбинация называется нетривиальной

Определение 1. Система векторов A называется линейно-независимой, если только тривиальная линейная комбинация векторов системы равна (т.е. )

Определение 2. система векторов A называется линейно-зависимой, если существует хотя бы одна нетривиальная линейная комбинация, равная

Критерий линейной зависимости векторов:

Для того чтобы векторы (r > 1) были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из этих векторов являлся линейной комбинацией остальных.

Размерность линейного пространства

Линейное пространство V называется n-мерным (имеет размерность n), если в нем:

1) существует n линейно независимых векторов;

2) любая система n + 1 векторов линейно зависима.

Базис линейного пространства. Примеры базисов в R в степени n.

Базисом линейного пространства L называется система элементов принадлежащих L, удовлетворяющая двум условиям:

1) система линейно независима.

2) Любой элемент L линейно выражается через базисные (т.е. является линейной комбинацией элементов)

Базис в пространстве R в степени n (канонический базис). Примеры: Базисом в пространстве называются три некомпланарных вектора, взятые в определённом порядке. Эти векторы называются базисными.