Определение гиперболы и ее каноническое уравнение

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами,есть величина постоянная,меньшая, чем расстояние между фокусами.

Обозначим фокусы через F1 и F2,расстояние между ними через 2с,а модуль разности расстояний от каждой точки гиперболы до фокусов через 2а. По определению 2а<2c,т.е а<c Для вывода ур-ния гиперболы выберем систему координат Оху так, чтобы фокусы F1(-с,0) и F2(с,0) лежали на Ох, а начало координат совпало с серединой отрезка F1F2. Пусть М(х,у)-произвольная точка гиперболы, тогда согласно определению гиперболы MF1-MF2=плюс-минус 2а. подставляем координаты,считаем.

x²/а²- у²/в²=1, где в²= с²-а² -каноническое уравнение

Определение параболы и ее каноническое уравнение

Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой называемой директрисой. Расстояние от фокуса F до директрисы называется параметром параболы и обозначается через p.

Для вывода уравнения параболы введем на плоскости прям систем координат так чтобы ось абсцисс проходила через фокус перпендикулярно директрисе в направлении от директрисы к фокусу(а начало координат расположим посередине между фокусом и директрисой) и будем считать ее (+) направленной от директрисы к фокусу. В выбранной системе фокус имеет координаты (p\2,0). Пусть М произвольная точка параболы. Соединим М с F,проведем отрезов MN перпендикулярно директрисе. Согласно определению параболы MF=MN,далее считаем по формуле расстояния между двумя точками

у²=2рх – каноническое уравнение параболы. Парабола есть линия второго порядка.

 

26)Матрицы и основные определения связанные с этим понятием

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк одинаковой длины (или n столбцов одинаковой длины).

Виды матриц:

1)Квадратная- это матрица у которой число строк равно числу столбцов(m=n)

2)Треугольная- если все элементы, расположенный по одну сторону от главной диагонали, равны нулю.

3)Диагональная- у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю

4)Скалярная- это диагональ матрицы с разнообразными элементами на главной диагонали.

5) Единичная- каждый элемент главной диагонали равен единице

6)нулевая- все элементы которой равны 0

7)трапецеидальная- все элементы под главной диагонали =0

8) Транспонированная матрица — матрица полученная из исходной матрицы A заменой строк на столбцы.

 

Действия с матрицами. Законы.которым эти действия удовлетворяют

Суммой двух матриц одинаковых размеров(а и в) называется матрица того же размера, элементы которой =сумме соответственного элемента матрицы а и в. Аналогично и с разностью.

Произведение А*В не равно В*А

Операции сложения матриц и умножения матриц на число обладают следующими свойствами: А+В=В+А, А+(В+С)=(А+В)+С, А+0+А, А-А=0, 1А=А, с(А+В)=сА+сВ, (с+х)А=сА+хА, с(хА)=(сх)А

Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Транспонирование матрицы - замена каждой ее строки столбцом с тем же номером. Для транспонирования верны св-ва: (А+В) в степени Т=А в степени Т+В в степени Т; (АВ) в степени Т=В в степени Т на А в степени Т.

 

Определение определителя и его св-ва

Каждая квадратная матрица А по некоторому правилу, сопоставляет число, которое называется определителем этой матрицы. Определитель n порядка -это число равное сумме произведений элементов какого-нибудь ряда на соответствующие им алгебраические дополнения. |A|=ai1Ai1+ai2Ai2….

.Так же это многочлен от элементов квадратной матрицы.

Свойства:

1)Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами и наоборот

2)При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак.

3)Определитель, имеющий два одинаковых ряда, равен нулю.

4)Общий множитель элементов какого-нибудь ряда определителя можно вынести за знак определителя.

5)Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей.

6)Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на любое число.

7) Определитель равен сумме произведений элементов некоторого ряда на соответствующие им алгебраические дополнения.

Определитель, минор и алгебраическое дополнение элемента определителя.

Определителем матрицы состоящей из одного числа является само это число. Определителем матрицы А= второго порядка называется число, равное разности произведений элементов главной и побочной диагоналей. Определитель матрицы третьего порядка вычисляется следующим образом:а11а22а33+а12а23а31+а21а32а13-а31-22а13-а21а12а33-а32а23а11. Так же это многочлен от элементов квадратной матрицы

Минором некоторого элемента определителя n-ного порядка называется определитель n – первого порядка.который получается из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент. Обозначается mij.

Алгебраическим дополнением элемента аij определителя называется его минор,взятый со знаком плюс если i+j-четное число,и со знаком минус если нечетное. Aij=(-1)в степени i+j умножить на mij.

Обратная матрица. Теорема о существовании и единственности обратной матрицы. Способы вычисления обратной матрицы.

Матрица называется обратной матрице А,если выполняется условие: А×Ав минус первой степени=Е.(единичная матрица того же порядка)

Теорема. Всякая невырожденная матрица имеет обратную.

Берем произвольную матрицу.составляем к ней союзную А*. находим произведение обычной матрицы на союзную. Получается определитель умноженный на единичную матрицу. Выходит: А×А*=detA×E. Перепишем в виде: А*/detA×А=Е. Т.к А в минус первой на А тоже равно Е,отсюда следует: А в минус первой=А*\detA. Ч.т.д. Нектороые св-ва обратной матрицы: А в минус первой × А=Е, (АВ) в минус первой= А в минус первой на В в минус первой, А в минус первой транспанированная равно А транспанированная в минус перовй итд.

31. Определение ранга матрицы. Базисный минор. Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований.

Ранг матрицы - это наибольший из порядков ее миноров(отличных от нуля). r(A).

Минором некоторого элемента определителя n-ного порядка называется определитель n – первого порядка.который получается из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент. Обозначается mij. Базисный минор – минор, порядок которого определяет ранг матрицы.

Ранг матрицы вычисляется при помощи элементарных преобразований над ней. К ним относятся

-перестановка местами двух || рядов матрицы

-умножение всех элементов ряда матрицы на число,отличное от нуля.

-прибавление ко всем элементам ряда матрицы ссответствующих элементов || ряда,умноженных на одно и то же число.

Система линейных уравнений и ее решение. Различные формы записи системы линейных уравнений. Определения однородной, неоднородной, совместной, несовместной, определенной и неопределенной систем

Система линейных алгебраических уравнений это систем вида: а11х1+а12х2+а1nхn=b1(первая строка,нижние по аналогии). Подлежат нахождению числа Xn. bi-свободный член. Такую систему удобно записывать в матричном виде: А×Х=В. Х-вектор столбец из неизвестных х. В-вектор столбец из свободных членов b. А-матрица коэффициентов системы,называемая основной матрицей. Расширенная матрица системы-матрица А, дополненная столбцом свободныз членов. Решением системы называется n значений неизвестных х1=с1,х2=с2 и тд. Решение можно записать в виде матрицы-столбца С.

Система уравнений называется совместной если она имеет хотя бы одно решение, несовместной если не имеет решений. Совместная система называется определенной если она имеет единственное решение и неопределенной если более одного решения. Системы эквиваленты если имею одно и то же общее решение. Система линейных уравнений называется однородной если все свободные члены равны нулю.