Понятие радиус-вектора. Разложение произвольного вектора по ортам коорд осей на плоскости и в пространстве.

Радиус вектор - вектор, задающий положения точки в пространстве относительно некоторой заранее фиксированной точки, называемой началом координат. Для произвольной точки в пространстве, радиус-вектор — это вектор, идущий из начала координат в эту точку

Выделем на корд.осях единичные векторы: I,j,k. Выберем произв.вектор а пространства и совместим его начало с началом коорд: а=ОМ. Найдем проекции вектора а на коорд оси. Проведем через конец вектора ОМ плоскочти,параллельные координатным плоскостям. Точки пересеч этих плоскостей с осями обозначим через М1,М2,М3. Получим прямоуг парал-пед,одной из диагоналей которого является вектор ОМ. По опред суммы векторв находим: а=ОМ1+M1N+NM. А так как M1N=OM2, NM=OM3,то а=ОМ1+ОМ2+ОМ3. ОМ1=|ОМ1|i и тд. Обозначим проекции вектора на оси|ОМ1|=аy итд. В итоге получается: a=ax на i+ay на j+ az на k.

Действия с геометрическими векторами в коорд форме. Признак коолинеарности векторов.

Линейные операции. При сложении (вычитании) векторов их одноименные координаты складываются (вычитаются). а+b=(ах+bx; ay+by; az+bz). При умножении вектора на скаляр координаты вектора умножаются на этот скаляр. ᵡ а= (ᵡаx; ᵡay;ᵡaz)

Равенство векторов: а и b равны тогда и только тогда,когда выполняется равенство: ax=bx; ay=by; az=bz.

Координаты вектора: координаты вектора равны разностям соответсвующих координат его конца и начала.

Коллинеарность векторов: Проекции коллинеарных векторов пропорциональны,и наоборот, векторы, имеющие пропорциональные координаты коллинеарны. Док-во:

ax на i + ay на j + az на k = лямда (bx на i + by на j + bz на k) Отсюда: ax= лямда на bx итд.

Т.е ax\bx=ay\by=az\bz

Скалярное произведение геометрических векторов и его св-ва. Признак ортогональности векторов.

Скалярное произведение двух ненулевых векторов а и b это число,равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними

Св-ва скалярного произведения:

Переместительное: ab=ba,т.к |a| |b| =|b| |a| и cos (ab)= cos (ba)

Сочетательное: (лямда на а) на b = лямда на (a на b)

Распределительное: a (b+c)=ab+ac

Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: a в квадрате = |a|в квадрате; в частности i=j=k=1 i,j,k –в квдрате

Если векторы а и b (ненулевые) взаимно перпендикулярны(ортогональны),то их скалярное произведение равно нулю, справедливо и обратное утверждение.

Вычисление скалярного произведения векторов через их координаты, длина вектора, расстояние между двумя точками. Вычисление косинуса угла между двумя векторами

Скалярное произведение векторов равно сумме произведений их одноименных координат.

Дов-во: а=ах на i+ ay на j+ az на k b=bx на i+by на j+ bz на k

Найдем скалярное произведение перемножая как многочлены. По таблице скалярного произведения векторов: i на i=1, i на j=0, I на k=0 и тд. В итоге у нас останется: аb=axbx+ayby+azbz

Длина вектора: это длина отрезка и обозначается как |AB|. Вектор длина которого равна 1 – единичный вектор. Обознач как е. Если рассматривать АВ,где A(x1) и B(x2) точки на корд прямой,то расстояние АВ=|х2-х1|

Расстояние между двумя точками: на плоскости: АВ= (y1-y2)²+(x1-x2)² все под корнем. Пусть в системе корд заданы две точки А(х1,у1) и В(х2,у2). Из этих точек опусти перпендикуляры на ось Ох,из точки В на Оу. |АВ|=АМ²+ВМ² все под корнем. В пространстве: тоже самое плюс z.

Косинус угла между векторами: cos α=AB на AC\ |AB| на |AC| или ab\ |a| |b|.

Направляющие косинусы вектора и их свойство.

Пусть в декартовой прямоугольной системе координат задан вектор. Направление вектора в пространстве определяется углами α, β, γ которые вектор составляет с осями координат. Косинусы этих углов cos α, cos β, cos γ называются направляющими косинусами вектора. Формула: cos²α+ cos²β+cos²γ=1. Док-во: пусть углы вектора а с осямиОх,Оу,Оz равны соответственно альфа,бета,гамма. По св-ву проекции вектора на ось имеем: ах=|a| cos α итд. Подставим эти выражения в выражение «модуль вектора равен квадратному корню из суммы квадратов его проекций на оси координат.» и получим формулу см.выше. чтд. Сумма квадратов направляющих косинусов ненулевого вектора равна единице.

Векторное произведение. Определение,вычисление,св-ва.

Векторным произведением вектора а на вектор в называется вектор с который:

1)перпендикулярен векторам а и в

2)имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах а и в как на сторонах.

3)векторы а,в и с образуют правую тройку. Правая тройка: три вектора образуют правую тройку если если с конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму вектору виден совершающимся против часовой стрелки

Свойства:

1)При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак, т.е АхВ=-(ВхА)

Векторы АхВ и ВхА коллинеарны, имеют одинаковые модули,но противоположно напрвлены.

2)Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, т.е λ(АхВ)=(λА)хВ=Ах(λВ).

Вектор λ(АхВ) перпендикулярен векторам Аи В. Вектор (λА)хВ также перпендикулярен векторам Аи В.Значит векторы λ(АхВ) и (λА)хВ коллинеарны. Направления их совпадают.

3)Два ненулевых А и В коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору,т.е А||В ↔АхВ=0

Если А||В,то угол между ними равен 0 или 180

4) Векторное произведение обладает распределительным свойством:

(А+В)хС=АхС+ВхС

Прием без док-ва.