Векторное произведение векторов

 

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой, если при наблюдении из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден против часовой стрелки; в противном случае тройка называется левой (рис. 4.1).

 

 

Рис. 4.1: а – тройка правая; б – тройка левая

 

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор удовлетворяющий условиям:

 

1) – угол между векторами и ;

 

2)

 

3) Упорядоченная тройка – правая.

 

Обозначение:

 

Свойства векторного произведения

 

1)

 

2)

3)

 

4) – условие коллинеарности векторов.

 

Если векторы заданы своими коорди-натами в ортонормированном базисе , то

 

 

Площадь параллелограмма, построенного на векторах мож-но определить по формуле

 

 

Пример 4.5. Найти площадь и длину высоты BD треугольника с вершинами в точках А (1, –2, 8), В (0, 0, 4), С (6, 2, 0).

 

Решение. Поскольку площадь S треугольника АВС равна , то .

 

 

Рис. 4.2

1. Находим координаты векторов и длину вектора :

 

 

 

2. Находим S:

 

 

3.

 

Механический смысл векторного произведения. Пусть точка А твердого тела закреплена, а в его точке В приложена сила . Тогда возникает вращательный момент (момент силы). По определению момент силы относительно точки А находится по формуле .

 

Смешанное произведение векторов

 

Смешанным произведением трех векторов называется число, получаемое следующим образом: векторное произведение умножается скалярно на вектор Смешанное произведение векторов обозначается Таким образом, Если векторы заданы своими координатами в ортонормированном базисе, то

 

 

Объем параллелепипеда V, построенного на векторах можно вычислить по формуле Для того чтобы три вектора были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы

 

Пример 4.6. Вычислить объем треугольной пирамиды с вершинами А (0, 0, 1), В (2, 3, 5), С (6, 2, 3), D (3, 7, 2).

 

Решение. Рассмотрим три вектора

 

(рис. 4.3).

 

Можно показать, что объем пирамиды АВСD равен шестой части объема параллелепипеда, построенного на векторах

 

 

Рис. 4.3

Тогда , а так как

 

то

 

Прямая на плоскости. Плоскость

 

Прямая на плоскости.

В декартовой прямоугольной системе координат Оxy прямая на плоскости может быть задана уравнениями:

– общее уравнение прямой

 

Ax + By + C = 0; (4.3)

 

– уравнение прямой, проходящей через точку M ₀(x ₀, y ₀)перпендикулярно нормальному вектору :

 

A (x – x ₀) + B (y – y ₀) = 0;

 

– уравнение прямой, проходящей через точку M ₀(x ₀, y ₀)параллельно направляющему вектору (каноническое уравнение прямой):

 

 

– параметрические уравнения прямой

 

;

 

– уравнение прямой в отрезках

 

Здесь a и b – величины отрезков, отсекаемых на осях координат Ox и Oy (т.е. длины, взятые с соответствующими знаками);

– уравнение прямой, проходящей через две данные точки M ₁(x ₁, y ₁) и M ₂(x ₂, y ₂):

 

 

– уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через точку M ₀(x ₀, y ₀):

 

y – y ₀ = k(x – x ₀).

 

Расстояние от точки M ₀(x ₀, y ₀) до прямой l, заданной уравнением (4.3), определяется по формуле

 

. (4.4)

 

Две прямые, заданные уравнениями A ₁ x + B ₁ y + C ₁ = 0и A ₂ x +
+ B ₂ y + C ₂ = 0, параллельны, если , и перпендикулярны, если A ₁ A ₂ + B ₁ B ₂ = 0.

 

Пример 4.7. Составить уравнение прямой на плоскости, проходящей через точку М (–1, 2) перпендикулярно вектору, проходящему через точки М ₁(3, 1) и М ₂(4, –2). Найти расстояние от точки М до прямой, проходящей через точки М ₁и М ₂.

 

Решение. Уравнение прямой запишем в виде:

 

A (x – x ₀) + B (y – y ₀) = 0,

 

где x ₀, y ₀– координаты точки М, а А и В – координаты нормального вектора.

Так как , то уравнение имеет вид 1(x + 1) –
– 3(y – 2) = 0 или x – 3 y + 7 = 0.

Для нахождения расстояния от точки М до прямой М ₁ М ₂ запишем уравнение этой прямой в виде

 

т.е. ,

 

или 3 x + y – 10 = 0.

 

Подставляя в формулу (4.4) координаты x ₀ = –1, y ₀ = 2 точки М, получаем

 

.

 

2. Плоскость. Плоскость в прямоугольной системе координат мо-жет быть задана уравнениями:

 

Ax + By + Cz + D = 0 – общее уравнение плоскости. (4.5)

Если в уравнении (4.5) отсутствует свободный член D, то плоскость проходит через начало координат; если в уравнении (4.5) отсутствует одна из переменных, то плоскость параллельна той оси, название которой не входит в это уравнение;

 

A (x – x ₀) + B (y – y ₀) + C (z – z ₀) = 0 –

 

уравнение плоскости, проходящей через точку М ₀(x ₀, y ₀, z ₀) перпендикулярно нормальному вектору ;

 

– уравнение плоскости в отрезках,

 

где а, b, c – величина отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях;

– уравнение плоскости, проходящей через три данные точки M ₁(x ₁, y ₁, z ₁), M ₂(x ₂, y ₂, z ₂), M ₃(x ₃, y ₃, z ₃):

(4.6)

 

Величина угла φмежду двумя плоскостями A ₁ x + B ₁ y + C ₁ z + D ₁ = 0 и A ₂ x + B ₂ y + C ₂ z +D ₂ = 0 вычисляется по формуле

 

 

Условие перпендикулярности данных плоскостей запишется в виде

 

или

 

Условие параллельности рассматриваемых плоскостей имеет вид

 

 

Расстояние от точки M ₀(x ₀, y ₀, z ₀) до плоскости , заданной уравнением (4.5), вычисляется по формуле

 

 

Пример 4.8. Cоставить уравнение плоскости, проходящей через точки М ₁(1, 0, –1), М ₂(2, –3, 0), М₃(4, 7, 1).

 

Решение. Воспользуемся формулой (4.6):

 

или

Раскрыв определитель, получаем искомое уравнение плоскости:

 

13 x – y – 16 z – 29 = 0.

 

Линии второго порядка

 

Линией второго порядка называется множество точек плоскости, координаты x, y которых в прямоугольной системе координат удовлетворяют уравнению второй степени

 

Ax ² + Bxy + Cy ² + Dx + Ey + F = 0. (4.7)

 

Уравнение (4.7) называется общим уравнением линии второго порядка (А, В, С не равны нулю одновременно).

При помощи преобразования прямоугольной системы координат (параллельного переноса и поворота) всегда можно найти такую новую прямоугольную систему координат, в которой уравнение (4.7) имеет один из следующих трех видов (каноническое уравнение):

 

(4.8)

 

(4.9)

 

, (4.10)

 

где a, b, p – положительные числа. Уравнение (4.7) может определять так называемую вырожденную кривую (пустое множество, точ-ку, прямую, пару прямых). При этом линия, приводимая к виду (4.8), (4.9), (4.10), называется соответственно эллипсом, гиперболой или параболой.

Эллипс с каноническим уравнением , имеет форму, изображенную на рис. 4.4.

 

Рис. 4.4

 

Точки F ₂(– с, 0) и F ₁(с, 0), где называются фокусами эллипса.

Числа а и b называются полуосями эллипса.

Гипербола с каноническим уравнением имеет форму, изображенную на рис. 4.5.

 

 

Рис. 4.5

Гипербола имеет две оси симметрии (координатные оси), с одной из которых (осью абсцисс) она пересекается в двух точках А ₁(а,0), А ₂(– а, 0), называемых вершинами гиперболы. Числа a и b – полуоси гиперболы: а – действительная полуось, b – мнимая. Точки F ₂(– c, 0) и F ₁(c, 0), где , называются фокусами гиперболы.

Парабола с каноническим уравнением имеет форму, изображенную на рис. 4.6.

 

 

Рис. 4.6

 

Число p называется параметром параболы, точка О – ее вершиной, а ось Оx – осью параболы, вектор – фокальный радиус-вектор точки М. Прямая называется директрисой параболы.

 

Пример 4.9. Упростить уравнение пользуясь переносом начала координат. Построить линию, определяемую этим уравнением.

 

Решение. Выделим полные квадраты по переменным x и y соответственно.

 

 

 

 

 

Обозначая х – 3 = X, y + 1 = Y, получим каноническое уравнение эллипса Начало новой системы координат – точка О ₁(3, –1); оси ОX, ОY параллельны осям Оx и Оy соответственно. Большая полуось эллипса , малая полуось Изобразим кривую на рис. 4.7.

 

 

Рис. 4.7

 

Поверхности второго порядка

 

Поверхностью второго порядка называется множество точек про-странства, координаты x, y, z которых в прямоугольной системе координат удовлетворяют уравнению второй степени:

 

(4.11)

Уравнение (4.11) называется общим уравнением поверхности второго порядка (коэффициенты A, B, C, D, E, F не равны нулю одновременно). Если поверхность невырожденная, то при помощи преобразования прямоугольных координат (параллельного переноса и поворота) всегда можно найти такую новую систему координат, в которой уравнение (4.11) имеет один из следующих видов (каноническое уравнение):

 

– эллипсоид; (4.12)

 

– однополостный гиперболоид; (4.13)

 

– двухполостный гиперболоид; (4.14)

 

– конус; (4.15)

 

– эллиптический параболоид; (4.16)

 

– гиперболический параболоид; (4.17)

 

– эллиптический цилиндр; (4.18)

 

– гиперболический цилиндр; (4.19)

 

– параболический цилиндр. (4.20)

 

В уравнениях (4.12)–(4.20) a, b, c, p положительны.

Пример 4.10. Построить тело, ограниченное поверхностями

 

Решение. Тело ограничено снизу поверхностью параболоида: , а сверху – поверхностью сферы

 

Тело изображено на рис. 4.8.

 

 

Рис. 4.8

 

Пример 4.11. Построить тело, ограниченное поверхностями

 

 

Решение. Поверхность – эллиптический цилиндр. Он пересечен плоскостями х = 0, z = 0 (координатные плоскости Ozy и Оxy). По оси Оy тело ограничено плоскостями y = 3, y = –3 (рис. 4.9).

 

 

Рис. 4.9