По работе над курсом высшей математики

Введение

 

Настоящее издание является методическим руководством для изучения общего курса высшей математики студентами-заочниками инженерно-технических специальностей. Оно является переработан-ным и дополненным вариантом изданий 1999 и 2002 годов. В пособии содержатся общие рекомендации студенту-заочнику по работе над курсом высшей математики, приводятся правила выполнения и оформления контрольных работ, представлена программа курса высшей математики, соответствующая учебным планам для 1-го се-местра; изложены основные понятия, определения, теоремы и т.д. из курса высшей математики, приведены образцы решения типовых примеров и контрольная работа № 1.

Определение номеров задач из контрольной работы производится следующим образом: номер первой задачи контрольной работы равен двум последним цифрам номера зачетной книжки студента; номера последующих задач получаются от прибавления к номеру предыдущей задачи числа 20. Если две последние цифры номера зачетной книжки составляют число, большее чем 20, то номер первой задачи будет равен номеру из двух последних цифр минус число, кратное 20. Например:

Номер зачетной книжки Номера задач

301787/148 8, 28, 48 и т.д.

303797/121 14, 34, 54 и т.д.

301797/100 20, 40, 80 и т.д.

303797/106 6, 26, 46 и т.д.

 

 

ОБЩИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ СТУДЕНТУ-ЗАОЧНИКУ

ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ И ОФОРМЛЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

 

При выполнении контрольных работ необходимо строго придер-живаться указанных ниже правил. Работы, выполненные без соблю-дения этих правил, не зачитываются и возвращаются студенту для переработки.

1. Каждая контрольная работа должна быть выполнена в отдельной тетради в клетку чернилами любого цвета, кроме красного. Необходимо оставлять поля шириной 4–5 см для замечаний рецензента.

2. В заголовке работы на обложке тетради должны быть ясно написаны фамилия студента, его инициалы, учебный номер (шифр), название дисциплины, номер контрольной работы, номер варианта; здесь же следует указать название учебного заведения, дату отсылки работы в университет и адрес студента. В конце работы следует поставить дату ее выполнения и подпись студента.

3. В работу должны быть включены все задачи, указанные в задании, строго по положенному варианту. Контрольные работы, содержащие не все задачи, а также задачи не своего варианта, не зачи-тываются.

4. Решения задач надо располагать в порядке возрастания их номеров, указанных в заданиях, сохраняя номера задач.

5. Перед решением каждой задачи надо полностью выписать ее условие. В том случае, если несколько задач, из которых студент выбирает задачи своего варианта, имеют общую формулировку, сле-дует, переписывая условие задачи, заменить общие данные конкрет-ными, взятыми из соответствующего номера.

Условие задачи должно быть написано так:

 

Найти работу, произведенную силой , если ее точка приложения перемещается из точки в точку .

 

Р е ш е н и е

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

Ответ: А = 10.

 

6. Решения задач следует излагать подробно и аккуратно, кратко и лаконично объясняя и мотивируя все действия по ходу решения и делая необходимые чертежи. Каждую задачу желательно начинать с новой страницы.

7. После получения прорецензированной работы, как не зачтенной, так и зачтенной, студент должен исправить все отмеченные рецензентом ошибки и недочеты и выполнить все рекомендации рецензента.

Если рецензент предлагает внести в решение задач те или иные исправления и дополнения, то в случае не зачтенной контрольной работы ее следует представить на повторную рецензию в короткий срок.

При повторном представлении работы должна обязательно нахо-диться прорецензированная работа и рецензия на нее. Поэтому при выполнении контрольной работы рекомендуется оставлять в конце тетради несколько чистых листов для всех дополнений и исправлений в соответствии с указаниями рецензента.

 

ПРОГРАММА

 

Элементы линейной алгебры

И аналитической геометрии

 

1. Системы координат на прямой, плоскости и в пространстве. Про-странства и . Векторы. Линейные операции над векторами. Проекция вектора на ось. Направляющие косинусы и длина вектора. Понятие о векторных диаграммах в науке и технике (диаграммы сил, моментов сил, электрических токов, напряжений и др.). Координаты центра масс.

2. Скалярное произведение векторов и его свойства. Длина вектора и угол между двумя векторами в координатной форме. Условие ортогональности двух векторов. Механический смысл скалярного произведения.

3. Определители второго и третьего порядков, их свойства. Алгебраические дополнения и миноры. Определители n -го порядка. Вы-числение определителя разложением по строке (столбцу).

4. Векторное произведение двух векторов, его свойства. Условие коллинеарности двух векторов. Геометрический смысл определителя второго порядка. Простейшие приложения векторного произведения в науке и технике: моменты сил, сила, действующая на проводник с током в магнитном поле, скорость точки вращающегося тела, направление распространения электромагнитных волн.

5. Смешанное произведение векторов. Геометрический смысл оп-ределителя третьего порядка.

6. Уравнения линий на плоскости. Различные формы уравнения прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой.

7. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, пара-бола, их геометрические свойства и уравнения. Технические прило-жения геометрических свойств кривых (использование фокальных свойств, математические модели формообразования биологических, технических и других объектов).

8. Уравнения плоскости и прямой в пространстве. Угол между плос-костями. Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью.

9. Уравнение поверхности в пространстве. Цилиндрические поверхности. Сфера. Эллипсоид. Гиперболоиды. Параболоиды. Геомет-рические свойства этих поверхностей, исследование их формы методом сечений. Технические приложения геометрических свойств поверхностей (использование фокальных свойств, модели строитель-ных конструкций, физические модели элементов и т.п.).

10. Полярные координаты на плоскости. Спираль Архимеда.

11. Цилиндрические и сферические координаты в пространстве. Различные способы задания линий и поверхностей в пространстве.

12. Матрицы, действия с ними. Понятие обратной матрицы.

13. Системы двух и трех линейных уравнений. Матричная запись системы линейных уравнений. Правило Крамера. Система m линейных уравнений с n неизвестными. Метод Гаусса. Нахождение обратной матрицы методом Гаусса.

14. Пространство . Линейные операции над векторами. Различ-ные нормы в . Скалярное произведение в .

15. Линейные и квадратичные формы в . Условие знакоопределенности квадратичной формы.

16. Понятие линейного (векторного) пространства. Вектор как эле-мент линейного пространства. Примеры. Линейные операторы. При-меры линейных операторов. Применение линейных операторов для моделирования различных процессов.

 

Одной переменной

 

25. Понятие функции, дифференцируемой в точке, его геометрический смысл. Дифференциал функции. Общее представление о методах линеаризации.

26. Производная функции, ее смысл в различных задачах. Правила нахождения производной и дифференциала.

27. Производная сложной и обратной функции. Инвариантность формы дифференциала. Дифференцирование функций, заданных па-раметрически.

28. Точки экстремума функции. Теорема Ферма.

29. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши и их применение.

30. Производные и дифференциалы высших порядков.

31. Правило Лопиталя.

32. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано и форме Лагранжа. Представление функций по формуле Тейлора. Применение формулы Тейлора.

Матрицы

 

Прямоугольная таблица из чисел вида

 

,

 

состоящая из m строк и n столбцов, называется матрицей размеров m ´ n.

Матрица называется обратной к квадратной матрице А, если , где Е – единичная матрица. Для невырожденной матрицы , где – определитель матрицы А, существует единственная обратная матрица

 

,

 

где – алгебраические дополнения элементов матрицы А.

Если матрица А – вырожденная , то обратной к ней не существует.

Пример 4.1. Найти матрицу , обратную к матрице

 

.

 

Так как , то – невырожденная и существует. Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы :

 

;

 

 

Следовательно,

 

.

Матричный метод.

Решение невырожденной системы (4.1) можно найти по формуле .

Метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса).

С помощью элементарных преобразований над строками система m линейных уравнений с n неизвестными может быть приведена к виду

, (4.2)

 

где

Система (4.2) эквивалентна исходной системе. Если хотя бы одно из чисел отлично от нуля, то система (4.2), а следовательно, и исходная система несовместны. Если же то система совместна и из уравнений (4.2) выражают последовательно неизвестные через .

 

Пример 4.2. Методом Гаусса решить систему

 

 

Решение. Расширенная матрица системы имеет вид

 

 

Производя элементарные преобразования над строками расширенной матрицы, получаем

 

где цифрами обозначены следующие операции:

– первую и вторую строки поменяли местами; – ко второй строке прибавили первую, умноженную на (–2); к третьей прибавили первую, умноженную на (–3); – к третьей строке прибавили вторую, умноженную на (–1).

Этой матрице соответствует система

 

 

Отсюда последовательно находим

 

 

Ответ:

 

Пример 4.3. Решить систему уравнений

 

 

используя формулы Крамера.

Решение. Так как определитель данной системы

 

 

то матрица А невырождена и система имеет единственное решение.

Находим определители

 

По формулам Крамера находим решение системы:

 

 

4.3. Скалярное произведение векторов в R ³

 

Скалярным произведением векторов и называется число, обозначаемое или и равное где – угол между и .

Свойства скалярного произведения:

1. 2.

3. 4.

Свойство 4 выражает условие ортогональности векторов.

Если векторы и представлены своими координатами в ортонормированном базисе , то скалярное про-изведение равно

Из этой формулы и определения скалярного произведения следует:

 

 

Учитывая, что где – проекция вектора на вектор , а скалярное произведение векторов можно записать в виде

 

 

Пример 4.4. Даны векторы Найти .

 

Решение.

 

Поскольку

 

а векторы заданы координатами в ортонормированном базисе, то

 

 

Поэтому

 

 

Механический смысл скалярного произведения: работа А, про-изводимая силой точка приложения которой перемещается из точки в точку вычисляется по формуле

Прямая на плоскости.

В декартовой прямоугольной системе координат Оxy прямая на плоскости может быть задана уравнениями:

– общее уравнение прямой

 

Ax + By + C = 0; (4.3)

 

– уравнение прямой, проходящей через точку M ₀(x ₀, y ₀)перпендикулярно нормальному вектору :

 

A (x – x ₀) + B (y – y ₀) = 0;

 

– уравнение прямой, проходящей через точку M ₀(x ₀, y ₀)параллельно направляющему вектору (каноническое уравнение прямой):

 

 

– параметрические уравнения прямой

 

;

 

– уравнение прямой в отрезках

 

Здесь a и b – величины отрезков, отсекаемых на осях координат Ox и Oy (т.е. длины, взятые с соответствующими знаками);

– уравнение прямой, проходящей через две данные точки M ₁(x ₁, y ₁) и M ₂(x ₂, y ₂):

 

 

– уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через точку M ₀(x ₀, y ₀):

 

y – y ₀ = k(x – x ₀).

 

Расстояние от точки M ₀(x ₀, y ₀) до прямой l, заданной уравнением (4.3), определяется по формуле

 

. (4.4)

 

Две прямые, заданные уравнениями A ₁ x + B ₁ y + C ₁ = 0и A ₂ x +
+ B ₂ y + C ₂ = 0, параллельны, если , и перпендикулярны, если A ₁ A ₂ + B ₁ B ₂ = 0.

 

Пример 4.7. Составить уравнение прямой на плоскости, проходящей через точку М (–1, 2) перпендикулярно вектору, проходящему через точки М ₁(3, 1) и М ₂(4, –2). Найти расстояние от точки М до прямой, проходящей через точки М ₁и М ₂.

 

Решение. Уравнение прямой запишем в виде:

 

A (x – x ₀) + B (y – y ₀) = 0,

 

где x ₀, y ₀– координаты точки М, а А и В – координаты нормального вектора.

Так как , то уравнение имеет вид 1(x + 1) –
– 3(y – 2) = 0 или x – 3 y + 7 = 0.

Для нахождения расстояния от точки М до прямой М ₁ М ₂ запишем уравнение этой прямой в виде

 

т.е. ,

 

или 3 x + y – 10 = 0.

 

Подставляя в формулу (4.4) координаты x ₀ = –1, y ₀ = 2 точки М, получаем

 

.

 

2. Плоскость. Плоскость в прямоугольной системе координат мо-жет быть задана уравнениями:

 

Ax + By + Cz + D = 0 – общее уравнение плоскости. (4.5)

Если в уравнении (4.5) отсутствует свободный член D, то плоскость проходит через начало координат; если в уравнении (4.5) отсутствует одна из переменных, то плоскость параллельна той оси, название которой не входит в это уравнение;

 

A (x – x ₀) + B (y – y ₀) + C (z – z ₀) = 0 –

 

уравнение плоскости, проходящей через точку М ₀(x ₀, y ₀, z ₀) перпендикулярно нормальному вектору ;

 

– уравнение плоскости в отрезках,

 

где а, b, c – величина отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях;

– уравнение плоскости, проходящей через три данные точки M ₁(x ₁, y ₁, z ₁), M ₂(x ₂, y ₂, z ₂), M ₃(x ₃, y ₃, z ₃):

(4.6)

 

Величина угла φмежду двумя плоскостями A ₁ x + B ₁ y + C ₁ z + D ₁ = 0 и A ₂ x + B ₂ y + C ₂ z +D ₂ = 0 вычисляется по формуле

 

 

Условие перпендикулярности данных плоскостей запишется в виде

 

или

 

Условие параллельности рассматриваемых плоскостей имеет вид

 

 

Расстояние от точки M ₀(x ₀, y ₀, z ₀) до плоскости , заданной уравнением (4.5), вычисляется по формуле

 

 

Пример 4.8. Cоставить уравнение плоскости, проходящей через точки М ₁(1, 0, –1), М ₂(2, –3, 0), М₃(4, 7, 1).

 

Решение. Воспользуемся формулой (4.6):

 

или

Раскрыв определитель, получаем искомое уравнение плоскости:

 

13 x – y – 16 z – 29 = 0.

 

Линии второго порядка

 

Линией второго порядка называется множество точек плоскости, координаты x, y которых в прямоугольной системе координат удовлетворяют уравнению второй степени

 

Ax ² + Bxy + Cy ² + Dx + Ey + F = 0. (4.7)

 

Уравнение (4.7) называется общим уравнением линии второго порядка (А, В, С не равны нулю одновременно).

При помощи преобразования прямоугольной системы координат (параллельного переноса и поворота) всегда можно найти такую новую прямоугольную систему координат, в которой уравнение (4.7) имеет один из следующих трех видов (каноническое уравнение):

 

(4.8)

 

(4.9)

 

, (4.10)

 

где a, b, p – положительные числа. Уравнение (4.7) может определять так называемую вырожденную кривую (пустое множество, точ-ку, прямую, пару прямых). При этом линия, приводимая к виду (4.8), (4.9), (4.10), называется соответственно эллипсом, гиперболой или параболой.

Эллипс с каноническим уравнением , имеет форму, изображенную на рис. 4.4.

 

Рис. 4.4

 

Точки F ₂(– с, 0) и F ₁(с, 0), где называются фокусами эллипса.

Числа а и b называются полуосями эллипса.

Гипербола с каноническим уравнением имеет форму, изображенную на рис. 4.5.

 

 

Рис. 4.5

Гипербола имеет две оси симметрии (координатные оси), с одной из которых (осью абсцисс) она пересекается в двух точках А ₁(а,0), А ₂(– а, 0), называемых вершинами гиперболы. Числа a и b – полуоси гиперболы: а – действительная полуось, b – мнимая. Точки F ₂(– c, 0) и F ₁(c, 0), где , называются фокусами гиперболы.

Парабола с каноническим уравнением имеет форму, изображенную на рис. 4.6.

 

 

Рис. 4.6

 

Число p называется параметром параболы, точка О – ее вершиной, а ось Оx – осью параболы, вектор – фокальный радиус-вектор точки М. Прямая называется директрисой параболы.

 

Пример 4.9. Упростить уравнение пользуясь переносом начала координат. Построить линию, определяемую этим уравнением.

 

Решение. Выделим полные квадраты по переменным x и y соответственно.

 

 

 

 

 

Обозначая х – 3 = X, y + 1 = Y, получим каноническое уравнение эллипса Начало новой системы координат – точка О ₁(3, –1); оси ОX, ОY параллельны осям Оx и Оy соответственно. Большая полуось эллипса , малая полуось Изобразим кривую на рис. 4.7.

 

 

Рис. 4.7

 

Поверхности второго порядка

 

Поверхностью второго порядка называется множество точек про-странства, координаты x, y, z которых в прямоугольной системе координат удовлетворяют уравнению второй степени:

 

(4.11)

Уравнение (4.11) называется общим уравнением поверхности второго порядка (коэффициенты A, B, C, D, E, F не равны нулю одновременно). Если поверхность невырожденная, то при помощи преобразования прямоугольных координат (параллельного переноса и поворота) всегда можно найти такую новую систему координат, в которой уравнение (4.11) имеет один из следующих видов (каноническое уравнение):

 

– эллипсоид; (4.12)

 

– однополостный гиперболоид; (4.13)

 

– двухполостный гиперболоид; (4.14)

 

– конус; (4.15)

 

– эллиптический параболоид; (4.16)

 

– гиперболический параболоид; (4.17)

 

– эллиптический цилиндр; (4.18)

 

– гиперболический цилиндр; (4.19)

 

– параболический цилиндр. (4.20)

 

В уравнениях (4.12)–(4.20) a, b, c, p положительны.

Пример 4.10. Построить тело, ограниченное поверхностями

 

Решение. Тело ограничено снизу поверхностью параболоида: , а сверху – поверхностью сферы

 

Тело изображено на рис. 4.8.

 

 

Рис. 4.8

 

Пример 4.11. Построить тело, ограниченное поверхностями

 

 

Решение. Поверхность – эллиптический цилиндр. Он пересечен плоскостями х = 0, z = 0 (координатные плоскости Ozy и Оxy). По оси Оy тело ограничено плоскостями y = 3, y = –3 (рис. 4.9).

 

 

Рис. 4.9

 

ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

 

Дифференцирование функций

 

Производной функции y = f(x) в точке х называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда при-ращение аргумента стремится к нулю:

 

 

где

 

Производная обозначается у', y' (x), y'_x.

 

Правила дифференцирования функций. Пусть С – постоянная, а u(x) и v(x) – дифференцируемые функции. Тогда C' = 0,

 

 

Производная сложной функции y = f (u (x)). Если функция u = u (x) дифференцируема в точке х, а функция y = f(u) дифференцируемая в соответствующей точке u = u (x), то сложная функция y = f (u (x)) дифференцируема в точке х и ее производная равна

 

 

Таблица производных.

 

1.

2.

3.

4.

5.

6.

 

7.

8. (

9.

10.

11.

12.

 

13.

14.

 

Функция неявно задана уравнением если для всех выполняется равенство

Для вычисления производной функции, заданной неявно, следует тождество продифференцировать по х (рассматривая левую часть как сложную функцию от х), а затем полученное уравнение решить относительно f'(x).

 

Пример 6.1. Найти производную показательно-степенной функции

 

.

Решение. Логарифмируя, а затем дифференцируя левую и правую части, получим

 

 

 

Умножая обе части равенства на у, имеем:

 

 

Пример 6.2. Найти производную функции , заданной неявно уравнением .

 

Решение. Дифференцируя по х тождество , получим . Выражая из этого равенства, находим:

 

.

 

Дифференциал функции равен произведению ее про-изводной на приращение независимой переменной: или .

При достаточно малых имеет место приближенная формула , т.е. или .

Пример 6.3. Найти приближенное значение объема шара, радиус которого равен 1,02 м.

 

Решение. Воспользуемся формулой . Тогда . Полагая , получим м³.

 

Приложение теорем Ролля, Лагранжа, Коши.

Правило Лопиталя

1. Теорема Ролля. Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале и , то существует хотя бы одна точка такая, что .

2. Теорема Лагранжа. Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале , то существует точка такая, что (формула Лагранжа).

3. Теорема Коши. Если функции и непрерывны на отрезке , дифференцируемы на интервале и , то существует точка такая, что (формула Коши).

 

Пример 6.8. Доказать, что уравнение имеет только один действительный корень.

 

Решение. Поскольку функция непрерывна и на концах отрезка принимает значение разных знаков , то по первой теореме Больцано–Коши на интервале уравнение имеет корень. Предположим, от противного, что это уравнение имеет два действительных корня .

Тогда по теореме Ролля на интервале существовала бы точка , в которой . Но при действительных . Полученное противоречие доказывает, что действительный корень – единственный.

 

Пример 6.9. Используя формулу Лагранжа, доказать неравен-ство .

 

Решение. Функция удовлетворяет условиям тео-ремы Лагранжа на любом отрезке . Поэтому . Отсюда, учитывая, что , имеем .

 

Пример 6.10. Написать формулу Коши и найти значение для функций на отрезке .

Решение. Все условия теоремы Коши выполнены: . Поэтому

 

 

Правило Лопиталя (раскрытие неопределенностей и ).

Пусть – окрестность точки с выброшенной точки .

 

Теорема. Пусть функции и дифференцируемы на ; .