Поняття вектора, лінійні операції над векторами.

Векторна алгебра

 

Одним з важливих розділів даного курсу є загальна теорія лінійних алгебраїчних рівнянь. Ця теорія ґрунтується на понятті рангу системи векторів, арифметичному просторі. Тому попередньо слід вивчити векторний простір і пов’язані з ним поняття лінійної залежності, базису. Поняття абстрактного векторного простору є природним узагальненням геометричного простору, який в деякому ступеню вивчався в середній школі під назвою площина і простір. Але в шкільному курсі формально-алгебраїчний підхід до "вектора" ґрунтувався на прямокутних координатах точок (кінця і початку) вектора, (тобто первинним було поняття координат точки). В даному курсі розглядається інша концепція, яка приводить до узагальнення поняття площини, простору, до n-вимірного векторного простору.

При розгляданні "Векторної алгебри" на площині і в просторі, доведеться розв’язувати систему лінійних алгебраїчних рівнянь, тому ми почнемо з методу Гаусса, розв’язування таких систем. Цей метод не потребує попередніх знань.

 

1.1 Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Метод послідовного виключення невідомих (метод Гаусса).

 

Запишемо загальну систему лінійних алгебраїчних рівнянь. Домовимось позначати коефіцієнти при невідомих . Перший індекс вказує номер рівняння, другий індекс – номер невідомого. Невідомі (змінні) позначатимемо буквами , а вільні члени – .

Тоді систему рівнянь з невідомими можна записати у вигляді:

 

(1)

Означення 1. Розв’язком системи (1) називається упорядкована система n чисел, після підстановки яких замість відповідно, кожне рівняння перетворюється на правильну числову рівність.

Означення 2. Система (1) називається сумісною, якщо вона має принаймні один розв’язок. Якщо ж система не має жодного розв’язку, вона називається несумісною.

Сумісні системи підрозділяються також на визначені і невизначені.

Означення 3. Сумісна система називається визначеною, якщо вона має лише один розв’язок. В іншому разі сумісна система називається невизначеною.

Основні задачі теорії лінійних рівнянь такі:

1. Дослідити систему на сумісність.

2. Сумісну систему дослідити на визначеність і невизначеність.

3. Дати алгоритми розв’язування.

Суть розв’язування систем рівнянь полягає в тому, щоб звести всі рівняння до рівнянь вигляду:

(2)

або до розв’язування одного рівняння з декількома невідомими з подальшим розв’язуванням рівнянь виду (2).

Інструментом розв’язування системи є елементарні перетворення.

Означення 4. Елементарними перетвореннями системи (1):

1) перестановка двох рівнянь;

2) множення обох частин деякого рівняння на число, не рівне 0;

3) додавання до одного з рівнянь іншого рівняння, в подумках помноженого на деяке число.

Означення 5. Дві системи вигляду (1) з однаковою кількістю невідомих називаються еквівалентними, якщо вони або обидві несумісні, або, у разі сумісності, мають однакові розв’язки.

Для самостійного доведення сформулюємо теорему:

Теорема. Елементарні перетворення приводять до еквівалентних систем.

Перейдемо до дослідження системи (1) лінійних алгебраїчних рівнянь методом Гаусса.

Вважатимемо, що . Якщо це не так, цього можна досягти за рахунок або перестановки рівнянь, або за рахунок перенумерації невідомих. Зробимо такі елементарні перетворення над системою (1):

до рівняння + -ше рівняння

до рівняння + -ше рівняння

………………………………………….

до S рівняння + -ше рівняння

У результаті цих перетворень отримаємо еквівалентну систему

 

 

Зауваження. Могло трапитись, що у системі з’явилося рівняння:

(3)

У цьому випадку система , а тому і еквівалентна до неї , несумісна.

Могло трапитись і таке:

(4)

Це рівняння можна задовольнити будь-яким набором чисел. Тому його можна викинути з системи.

У системі вважатимемо, що . Цього можна досягти за рахунок або перестановки рівнянь, або за рахунок перенумерації невідомих. Зробимо такі елементарні перетворення над системою :

до -го рівняння + -ге рівняння

………………………………………….

до -го рівняння + -ге рівняння

Тоді отримаємо таку еквівалентну систему:

 

 

Продовжуючи аналогічним чином, на останньому кроці отримаємо систему:

 

 

 

Формально треба дослідити три випадки:

1)

У цьому випадку в останньому рівнянні невідомі оголосимо вільними у тому сенсі, що їм можна надавати будь-які значення. Тоді з останнього рівняння знайдемо , отже передостаннє рівняння і всі інші послідовно стають рівняннями виду (2) . У цьому випадку система має безліч розв’язків, тобто невизначена.

2)

Система набуває вигляду:

 

 

 

Звідси

У цьому випадку на кожному кроці послідовно отримаємо рівняння вигляду (2). Математики кажуть, що систему зведено до трикутного вигляду. Система є визначеною.

1)

Легко показати, що це неможливо. Припустимо супротивне , наприклад . Тоді останнє рівняння стає таким:

Ми отримали систему нееквівалентну початковій, що суперечить попередній теоремі.

Отже, метод Гаусса вирішує основні задачі в теорії лінійних рівнянь:

1. Дослідження системи на сумісність. Система буде несумісною, якщо в процесі перетворень ми отримаємо рівняння, в якому коефіцієнти при всіх невідомих рівні нулю, а вільний член - відмінний від нуля. Якщо ж ми такого рівняння не зустрінемо, то система буде сумісною.

2. Сумісна система рівнянь буде визначеною, якщо вона зводиться до трикутного вигляду, і невизначеною, якщо зводиться до вигляду , ().

3. Отримано алгоритм розв’язування системи алгебраїчних рівнянь методом послідовного виключення невідомих (метод Гаусса), поданий вище.

Доведення.

Нехай система векторів лінійно залежна за означенням 1.Треба довести, що вона лінійно залежна у сенсі означення 2.

Скористаємось означенням 1. Тоді виконується (1):

.

Додамо до обох частин даної рівності вектор протилежний до :

Внаслідок комутативності і означення нульового вектора маємо:

Тобто , що виконується і рівність і система лінійно залежна за означенням 2.

 

Нехай тепер система векторів лінійно залежна за означенням 2:

().

Треба довести, що .

Додамо вектор до лівої та правої частини даної рівності:

Відомо, що , тоді помноживши обидві частини рівності на маємо:

Тобто система є лінійно залежною за означенням 1.

Теорему доведено.

Зауваження. При , означення 1 лінійної залежності втрачає сенс, тоді як за означенням 2 рівність при стає , тобто . Маємо, що система з одного вектора лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли цей вектор нульовий.

Теорема. Якщо у системі векторів є лінійно залежна підсистема, то і вся система лінійно залежна.

Доведення.

Нехай задана система . Візьмемо її підсистему. Не зменшуючи загальності міркувань вважатимемо, що підсистема – лінійно залежна. Тоді : .

Запишемо рівність в такому виді:

Тоді такі, що .

Система лінійно залежна за означенням 2.

Теорему доведено.

Означення. Система векторів називається лінійно незалежною, якщо рівність виконується тоді і тільки тоді, коли .

З вище доведеної теореми випливає, що якщо система лінійно незалежна, то всі її підсистеми також лінійно незалежні.

Доведення.

Необхідність. Припустимо, що вектори утворюють лінійно залежну систему.

Доведемо, що вектори колінеарні.

Отже один з векторів є лінійною комбінацією. Нехай це (для визначеності). Тоді , тобто вектори колінеарні.

Достатність. Припустимо, що . Покажемо, що система лінійно залежна.

Можливі випадки:

1) Принаймні один з векторів нульовий. Тоді твердження очевидне, тому що в системі міститься лінійно залежна підсистема.

2) Обидва вектори ненульові.

Для доведення потрібна така лема.

Лема. Якщо і , то : .

Дійсно, якщо , то , якщо , то .

Згідно із лемою маємо, що . Таким чином система лінійно залежна.

Теорему доведено.

Теорема 3. Необхідною і достатньою умовою лінійної залежності трьох векторів є їх компланарність.

Доведення.

Необхідність. Припустимо, що вектори утворюють лінійно залежну систему. Покажемо, що вони компланарні.

Якщо серед векторів системи пара колінеарних, то очевидно, що вони є компланарними. Нехай тоді вектори попарно неколінеарні. Тоді за означенням 1 лінійної залежності існує вектор (наприклад, ), що є лінійною комбінацією інших .

Візьмемо точку А і прикладемо до неї вектори . Побудуємо паралелограм зі сторонами .

 

 

A

C

D

B

 

 

(для визначеності )

 

 

Тоді з попередньої рівності випливає, що – сторони і діагональ паралелограма. Отже ці вектори компланарні. Оскільки , то вектори також компланарні.

Достатність. Припустимо, що – компланарні. Покажемо, що вони лінійно залежні.

Якщо серед векторів системи пара колінеарних, то в системі є лінійно залежна підсистема і тому вся система залежна. Нехай тоді вектори попарно неколінеарні.

Прикладемо вектори до однієї точки А і побудуємо паралелограм ABDC з діагоналлю і сторонами, що знаходяться на прямих, на яких знаходяться вектори . Тоді .

Оскільки , то . Тоді , тобто є лінійною комбінацією і . Отже вектори лінійно залежні за першим означенням.

Теорему доведено.

Теорема 4. Довільні чотири вектори геометричного простору лінійно залежні.

Доведення.

Нехай маємо систему . Якщо серед них є трійка компланарних, то вони очевидно лінійно залежні. Нехай такої трійки немає.

Візьмемо точку А і прикладемо до неї дані вектори. Побудуємо паралеліпіпед, діагональ якого є , а ребра знаходяться на прямих, що містять вектори .

D1

C1

B1

B

D

A

C

A1

 

 

За означенням додавання векторів маємо . Оскільки , маємо .

Тоді , а тому – лінійно залежна.

Теорему доведено.

Зауваження. Мимохідь ми довели таке важливе твердження: будь-який вектор у просторі можна розкласти за трійкою некомпланарних векторів.

Доведення.

Доведемо цю теорему в просторі.

Розглянемо базисні вектори . Візьмемо довільний вектор .

Зауважимо, що можливість розкладання доведено у теоремі 4 про геометричний зміст лінійної залежності.

Тож маємо .

Доведемо єдиність розкладання.

Припустимо супротивне, що для має місце ще одне розкладання.

.

Зауважимо, що оскільки розкладання відрізняються, то різними є принаймні одна пара коефіцієнтів c_i, d_i. Припустимо (для визначеності), що .

Тоді отримуємо:

Оскільки , то отримано рівність , що стверджує про лінійну залежність векторів базису. Отримано суперечність до означення базису.

Теорему доведено.

Означення. Координатами вектора у заданому базисі називаються коефіцієнти розкладання цього вектора за векторами базису.

Афінна система координат.

Доведення.

У афінній системі координат задані координати точки А, отже:

Отримали, що має координати .

Теорему доведено.

Прямокутна декартова система координат є окремим випадком афінної системи координат. При цьому базисні вектори взаємно перпендикулярні і мають одиничну довжину. Вони позначаються:

 

I. Скалярний добуток

1. Скалярна проекція вектора на вісь.

Почнемо з допоміжного поняття величини напрямленого відрізку.

Розглянемо вісь u і напрямлені відрізки на осі u.

Означення 1. Величиною напрямленого відрізку називається число, що позначається :

Розглянемо тепер вектори, що не обов’язково належать осі u.

B

A

 

 

Означення 2. Векторною проекцією вектора AB на вісь u називається вектор , де ортогональна проекція точки A, – отрогональна проекція точки B.

Позначимо векторну проекцію

Означення 3. Скалярною проекцією вектора на вісь u називається величина його векторної проекції

.

Теорема 1. Скалярна проекція вектора на вісь дорівнює добутку довжини цього вектора на косинус кута між вектором та віссю.

Доведення. (навести доведення)

Для доведення властивостей скалярних проекцій векторів корисною є теорема про геометричний зміст декартових прямокутних координат.

Теорема 2. Декартові прямокутні координати є проекціями вектора на відповідні координатні осі.

Скалярна проекція має такі властивості.

Теорема 3. Скалярна проекція суми двох векторів дорівнює сумі скалярних проекцій цих векторів

.

Доведення. (навести доведення)

Теорема 4. Скалярна проекція добутку вектора на число дорівнює добутку цього числа на скалярну проекцію вектора

.

2. Поняття скалярного добутку.

Означення 3. Скалярним добутком двох векторів і називається число , що дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними.

Останню рівність можна записати у вигляді

або

Звідси випливає інше означення скалярного добутку.

Означення 4. Скалярним добутком векторів та називається добуток довжини одного з векторів на скалярну проекцію другого вектора на напрямок першого.

3. Алгебраїчні та геометричні властивості скалярного добутку

Доведемо, що скалярний добуток має такі алгебраїчні властивості:

1) (властивість симетрії)

2) (дистрибутивність)

3)

4)

(навести доведення перелічених властивостей).

Зауваження. З властивостей 3) та 1) випливає, що .

Зі скалярним добутком пов’язана така геометрична властивість:

Для того щоб вектори були ортогональними (перпендикулярними) необхідно і достатньо, щоб їх скалярний добуток дорівнював нулю (навести доведення необхідності і достатності умови).

 

4. Вираз скалярного добутку через координати векторів

Означення. Базис простору (площини) називається ортонормованим, якщо він складається з попарно ортогональних векторів, довжина яких дорівнює одиниці.

Нехай в просторі введено ортонормований базис , тобто

нехай далі вектори і мають координати , відповідно.

Теорема. Скалярний добуток в ортонормованому базисі дорівнює сумі добутків відповідних координат векторів і , тобто

II. Векторний добуток

1. Поняття векторного добутку

Введемо спочатку поняття 1)правої та 2)лівої трійки векторів.

Означення 1. Упорядкована трійка векторів a, b, c називається правою, якщо з кінця останнього вектора поворот від першого до другого спостерігається проти годинникової стрілки, якщо ж за годинниковою, то трійка векторів називається лівою.

Тепер можна ввести поняття векторного добутку.

Означення 2. Векторним добутком векторів і називається вектор, що умовно позначається через і задовольняє умови:

1) ( – кут між векторами і );

2) вектор є ортонормованим і до вектора , і до вектора .

3) трійка векторів , , є правою.

 

2. Геометричні та алгебраїчні властивості векторного добутку.

Геометричні властивості пов’язані з векторним добутком містять дві наступні теореми.

Теорема 1. (про геометричний зміст довжини векторного добутку).

Довжина векторного добутку дорівнює добутку довжин цих векторів на синус кута між ними.

Доведення. (навести доведення).

Теорема 2. Для того щоб два вектори були колінеарними необхідно і достатньо, щоб їх векторний добуток дорівнював нульовому вектору.

Доведення. (навести доведення).

Розглянемо алгебраїчні властивості векторного добутку:

1) (антикомутативність);

2) ;

3) (дистрибутивність);

4) .

Доведення. (навести доведення).

Рекомендації щодо доведення дистрибутивності векторного добутку.

Крім доведення, поданого в основному підручнику [1] (література, навчально-методична), можна запропонувати більш геометричне доведення [9]. Наведемо його.

Отже треба довести, що .

Ця рівність очевидна, коли принаймні один з векторів нульовий.

Нехай тепер усі вектори ненульові. Проведемо спочатку доведення, в окремому випадку, коли . Для цього опишемо геометричну побудову вектора . До довільної точки O простору прикладемо вектори і . Через точку O проведемо площину перпендикулярну :

A

C

O

A’’

A’

.

 

 

Спроектуємо точку А на площину, отримаємо вектор . Повернемо в площині за годинниковою стрілкою на кут g w:val="UK"/></w:rPr><m:t>2</m:t></m:r></m:den></m:f></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> , отримаємо вектор . Доведемо, що вектор . Насправді ці вектори мають однакову довжину, тому що

,

.

Доведемо, що ці вектори однаково напрямлені. Вектор є перпендикулярним до площини векторів і (до на основі теореми про три перпендикуляри, до за означенням перпендикулярності прямої та площини). Вектор є також перпендикулярним до векторів і за означенням. Отже вектори і перпендикулярні до однієї площини, а тому колінеарні. Залишилося довеси, що вони однаково напрямлені. Це випливає з того, що за побудовою поворот від вектора до вектора спостерігається з кінця вектора проти годинникової стрілки. Тому трійка векторів , , є правою. Трійка векторів , , є також правою за означенням векторного добутку.

Перейдемо до доведення рівності .

Прикладемо до точки О вектори , , , . За правилом трикутника побудуємо вектор . Спроектувавши точки А і В, отримаємо вектори . Повернемо їх в площині на кут g w:val="UK"/></w:rPr><m:t>2</m:t></m:r></m:den></m:f></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> за годинниковою стрілкою. Отримаємо вектори .

 

 

А

В

С

А’

B’

O

A’’

B’’

 

 

За означенням додавання векторів маємо . Але з наведеної вище конструкції випливає, що

. А тому з попередньої рівності випливає:

.

Доведемо дистрибутивність в загальному випадку. Для цього подамо , де – вектор одиничної довжини того ж напряму, що і . Тоді можна записати

,

що і треба було довести.

 

3. Вираз координат векторного добутку через координати векторів.

Нехай вектори і в ортонормованому базисі мають розкладання .

Треба знайти координати вектора .

Для того щоб це зробити, треба попередньо скласти таблицю множення

Доведення таблиці множення (навести доведення).

Використовуючи таблицю множення, доведемо, що розкладання вектора в базисі має вигляд:

Доведення (навести доведення).

 

III. Мішаний добуток.

1. Поняття мішаного добутку

Означення 1. Мішаним добутком трьох векторів , , називається скалярний добуток двох векторів векторного добутку і вектора : .

 

2. Геометричні та алгебраїчні властивості.

Теорема 1 (про геометричний зміст мішаного добутку). Мішаний добуток векторів , , дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на векторах , , , зведених до спільного початку, зі знаком (+), якщо трійка векторів , , – права, і зі знаком (-), якщо вона ліва.

Доведення (навести доведення).

З цієї теореми можна отримати наслідок.

Наслідок. Для того щоб три вектори були компланарними необхідно і достатньо, щоб їх мішаний добуток дорівнював нулю.

Наслідком теореми 1 є також така алгебраїчна властивість

(Навести доведення цієї властивості).

Оскільки з доведеної рівності виходить, що квадратні дужки можна поставити будь-як, то домовились позначати мішаний добуток так .

Що стосується інших алгебраїчних властивостей, то є наслідками скалярного і векторного добутку.

Наприклад, можна довести, що

(Навести доведення)

 

3. Вираз мішаного добутку через координати векторів.

Нехай в ортонормованому базисі вектори мають такі розкладання:

.

Треба знайти вираз через координати векторів.

Користуючись властивостями скалярного і мішаного добутків, можна довести таку формулу: