ТОП 10:

Мінори і алгебраїчні доповнення визначника



Нехай задано визначник -го порядку .

Означення 1.Мінором -го порядкувизначника називається визначник -го порядку, утворений з елементів визначника , що знаходяться на перехрещенні виділених рядків і стовпців визначника .

Означення 2.Доповняльниммінороммінора називається визначник порядку , отриманий з визначника викресленням тих рядків і тих стовпців, що входять у мінор .

Означення 3.Алгебраїчнимдоповненняммінора називається, доповняльний мінор , взятий зі знаком , де – сума номерів рядків і стовбців, у яких знаходиться .

Лема до теореми Лапласа. Теорема Лапласа.

Лема(про добуток мінору на його алгебраїчне доповнення ).

Добуток мінору М на його алгебраїчне доповнення А складається з деяких членів визначника d, причому ці члени входять в М∙А і в d з одними і тими ж знаками.

Доведення .
При доведенні розглядають 2 випадки.

1) Окремий випадок. Мінор М розташований в перших k рядках і в перших k стовпцях визначника d.

З'ясуємо, як пов'язані алгебраїчні доповнення і доповняльний мінор.

A=M'(-1)1+2+…+k+1+2+..+k = M'(-1)2(1+2+..+k)=M'

Розглянемо добуток М на А. М - алгебраїчна сума k! доданків.

(1) а1α12α2….аnαn - загальний член, де

α12,…,αk - перестановка з 1,2,…,k елементів

Причому цей член (1) входить в М із знаком, який визначається парністю перестановки

Нехай α12,…,αk має і1 інверсію, тоді загальний член М

(-1)i1а1α12α2….аkαk

Загальний член А=М :

аk+1αk+1k+2αk+2….аnαn (2)

αk+1k+2,…,αn - перестановки з k+1,k+2,…,n

З'ясуємо, з яким знаком (2) входить до М:

Нехай αk+1k+2,…,αn має і2 інверсій, тоді загальний член М' буде

(-1)i2аk+1αk+1k+2αk+2….аnαn

Тоді загальний член М∙А буде набувати вигляду(3):

 

(-1)i1а1α12α2….аkαk∙ (-1)i2аk+1αk+1k+2αk+2….аnαn=

=(-1)i1+i2а1α12α2….аkαk∙аk+1αk+1k+2αk+2….аnαn

 

Якщо розглянути (3) без знака, то бачимо що це буде якийсь член визначника n-го порядку d, тому що з кожного рядка і стовпця взято по одному елементу.

З'ясуємо, з яким знаком цей член входить до визначника d. Для цього треба скласти підстановку з перших і других індексів

Розіб'ємо нижню перестановку на 2 частини. В І частині і1 інверсія за припущенням, в ІІ - і2 інверсія за припущенням. Жодний символ ІІ частини не утворює інверсій з символам І частини, тому що найменший символ ІІ частини k+1, найбільший символ І частини - k. Тому загальна кількість інверсій в нижній перестановці і12.Таким чином, ми довели, що член (3) входить до М∙А і до визначника d з одним і тим же знаком (-1)i1+i2

Окремий випадок доведено.

2) Загальний випадок. Нехай мінор М знаходиться в рядках з номерами m1<m2<…<mk і стовпцями з номерами j1<j2<…<jk

За допомогою перестановки рядків і стовпців заженемо вільно розташований мінор в лівий верхній кут. Ми хочемо, щоб m1 рядок був на 1-му місці, m2 - на 2-му, mk - на k-му. Тобто над рядком m1 зробимо m1-1 транспозицію, над рядком m2 - m2-2 транспозицію, над рядком mk - mk-1 транспозицію. Над j1стовпцем зробимо j1-1 транспозицію, над j2стовпцем зробимо j2-2 транспозицію, над jkстовпцем зробимо jk-1 транспозицію. Підрахуємо, скільки взагалі зроблено транспозицій:

S=(m1-1)+(m2-2)+…+(mk-k)+(j1-1)+(j2-2)+…+(jk-k)=

=m1+m2+…+mk+j1+j2+…+jk-2(1+2+…+k)

Таким чином, ми змінили при цих перетвореннях знак визначника S раз. Одержали d1

Між цими визначниками існує співвідношення:

d=(-1)Sd1=(-1)Sm-2(1+2+..+k)d1=(-1)Smd1(4)

Для визначника d1 в І випадку було доведено, що М∙М' є d1. Якщо всі ці члени ми помножимо на (-1)Sm тоді (-1)Sm М∙М' є d1(-1)Sm, тобто M∙A є d.

Теорема Лапласа.Якщо в визначнику d виділити k рядків, то визначник d дорівнює сумі добутків всіляких мінорів k-го порядку, розташованих в цих k рядках, на їх алгебраїчні доповнення.

Доведення.

Нехай задано визначник d.

Для визначеності проведемо доведення, виділивши перші k рядків. Складемо всілякі мінори k-го порядку, що знаходяться у перших k рядках. Нехай це будуть мінори М12,…,Мs. Побудуємо до кожного з мінорів його алгебраїчне доповнення. Треба довести, що d = M1A1+M2A2+…+MsAs.

Для доведення рівності доведемо 2 факти: кожний член d належить правій частині, і навпаки, кожний член правої частини є членом лівої частини. Другий факт безпосередньо випливає з леми про добуток мінору на його алгебраїчне доповнення. Доведемо перше. Візьмемо загальний член визначника d.

а1α12α2…аkαk∙аk+1αk+1k+2αk+2…аnαn, де α12,…,αn - перестановка з 1,2,…,n

Розіб'ємо загальний член на дві частини . Таким чином, ми довели, що а1α12α2…аkαk∙аk+1αk+1k+2αk+2…аnαn

Для того, щоб збігались знаки розглянутого члена в d з М∙М', треба замінити А1 (це випливає з леми). Таким чином, перший факт також доведений.

 

Наслідок.Визначник дорівнює сумі добутків елементів будь-якого рядка на їх алгебраїчні доповнення.

 

 

Нехай в теоремі Лапласа k=1.

Виділимо і-ий рядок. Тоді мінорами І порядку, розташованими в цьому рядку, будуть елементи цього рядка.

З цього наслідку випливає, що обчислення визначника n-го порядку зводиться до обчислення n визначників (n-1)-го порядку. Користуючись властивістю 8) визначників можна звести обчислення визначника n-го порядку до обчислення лише одного визначника (n-1)-го порядку.

Для цього доведемо, що в будь-якому рядку (якщо не всі елементи рядка нулі) за допомогою властивості 8) можна отримати всі нулі, крім одного.

Нехай . Зробимо такі перетворення. До другого стовпця додамо перший, помножений на , …, до n-стовпця – перший помножений на . Тоді отримаємо

 

 

Таким чином, обчислення визначника n-го порядку зведено попереднім перетворенням до обчислення визначника (n-1)-го порядку







Последнее изменение этой страницы: 2016-04-08; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 35.175.113.29 (0.006 с.)