Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Однорідна система рівнянь. Фундаментальна система розв'язків однорідної системи рівнянь.Содержание книги
Похожие статьи вашей тематики
Поиск на нашем сайте
Розглянемо однорідну систему лінійних алгебраїчних рівнянь
(1)
Використовуючи знак підсумовування, і-те рівняння системи (1) можна записати в вигляді А тоді всю систему (1) можна подати в вигляді
Для системи (1) розв’яжемо задачі, які ставляться в теорії лінійних алгебраїчних рівнянь: 1) питання сумісності; 2) питання визначеності і невизначеності. Зрозуміло, що будь-яка однорідна система має розв’язок (0,0,…,0) (його називають нульовим або тривіальним), тому однорідна система завжди сумісна. Цей же результат випливає з теореми Кронекера-Капеллі, яка виконується для будь-якої однорідної системи. З’ясуємо умови визначеності однорідної системи, застосувавши вже відомий критерій: · Якщо ранг rA=n (n- кількісь невідомих), то система (1) має лишеодин розв’язок – нульовий, і система (1) є визначеною. · Якщо ранг rA<n (n- кількісь невідомих), то система (1) має безліч розв’язків і система (1) є невизначеною. Розглянемо властивості розв’язків однорідної системи. Властивість 1. Сума двох розв’язків однорідної системи є також розв’язком цієї системи. Властивість 2. Добуток розв’язку однорідної системи на деяке число є також розв’язоком однорідної системи. Доведення. Доведемо першу властивість, а друга доводиться аналогічно. Нехай і – розв’язки системи (1). Треба визначити, чи є розв’язком системи (1). Розглянемо систему в вигляді (1’). Тоді з означення розв’язку, маємо системи правильних числових рівностей:
Підставимо в ліву частину системи (1’) – замість .
Отже єрозв’язком системи (1). З доведених властивостей випливає. Наслідок. Будь-яка лінійна комбінація будь-яких розв’язків однорідної системи є також розв’язком цієї системи. Введемо важливе для однорідної системи поняття фундаментальної системи розв’язків. Означення. Максимальна лінійно незалежна система розв’язків однорідної системи рівнянь називається її фундаментальною системою. З цього означення випливає, що фундаментальна система розв’язків задовольняє дві умови: 1) розв’язки, що входять до фундаментальної системи – лінійно незалежні; 2) будь-який інший розв’язок є лінійною комбінацією цих розв’язків. З’ясуємо скільки розв’язків входить до фундаментальної системи. Розв’язок системи лінійних алгебраїчних рівнянь можна розглядати як вектор n-вимірного арифметичного простору. Раніше було доведено, що в n-вимірному арифметичному просторі найбільша кількість лінійно-незалежних векторів містить n-векторів. Отже маємо попередній висновок: фундаментальна система розв’язків містить не більше n розв’язків. Більш точну інформацію містить наступна теорема. Теорема. (про фундаментальну систему розв’язків) Якщо ранг p матриці A менше кількості невідомих n, то однорідна система рівнянь має фундаментальну систему розв’язків, причому кількість розв’язків, що входить до фундаментальної системи дорівнює n-p. Доведення. Нехай задано однорідну систему рівнянь
(1)
Нехай ранг матриці
= p.
Тоді кількість фундаментальних розв’язків (n-p). З того, що ранг rA=p<n випливає, що система (1) невизначена, тобто має безліч розв’язків. Запишимо всі розв’язки в вигляді (**) , (**) (зробивши попередньо для системи (1) припущення, при яких було отримано (**)). Виберемо з цієї нескінченної множини розв’язків, (n-р) розв’язков за таким правилом: 1. Надамо вільним невідомим значення Підставимо ці значення в формулу (**), отримаємо значення для . 2. Надамо вільним невідомим другий раз інші значення . Підставимо в (**), отримаємо другий розв’язок. …. Надамо вільним невідомим (n-p) раз значення . Підставимо їх в (**), отримаємо
Отже ми отримали систему розв’язків: 1-ий розв’язок () 2-ий розв’язок () (2) … () розв’язок () Зауважимо, що вільні невідомі в розв’язках (2) вибирались будь-як, але за однією умовою (3) Доведемо, що система розв’язків (2) є фундаментальною. Для цього ми повинні довести, що: 1. Розв’язки (2) лінійно незалежні. 2. Приєднання до (2) будь-якого розв’язку системи приводить до лінійно залежної системи. Для доведення першого пункту розглянемо матрицю К:
1. Доведемо rK=n-p. Це випливає з того що в цій матриці за умовою (3) є мінор порядку (n – p), що не дорівнює нулю. Мінорів більш високого порядку не можна скласти. Тоді з теореми про ранг матриці rK = n – p. З того, що rK = n – p, використовуючи другий наслідок з теореми про ранг випливає, що в матриці К є лише (n – p) лінійно незалежних рядків. А в рядках записано розв’язки (2), тобто вони лінійно незалежні. 2. Для доведення другого пункту розглянемо довільний розв’язок системи (1) . Приєднаємо його до системи розв’язків (2) і доведемо, що отримана система розв’язків вже лінійно залежна. Для цього утворимо матрицю : .
Доведемо, що ранг і цієї матриці дорівнює r = n – p. Доведемо, що в цій матриці лише (n – p) лінійно незалежних стовпців. Саме з цього тоді випливатиме, що r = n – p. З того, що мінор в правому верхньому куту не дорівнює нулю, випливає, що останнні (n – p) стовпців матриці лінійно незалежні. Доведення цього факту таке ж саме як і в першій частині про ранг. Доведемо, що перший, другий, і т.д. р-ий стовпчик матриці є лінійною комбінацією останніх (n – p) стовпців. Це твердження випливає з формули (**). Насправді, в першому стовпчику матриці записано значення для x1, в другому для x2, і т.д., в n-ому стовпчику – для xn. Зформули ж (**) випливає, що x1,…,xp єлінійною комбінацією xp+1,…,xn. Тобто в матриці – лінійно незалежними є лише останні (n-p)стовпців. Таким чином максимальна лінійно незалежна система розв’язків (ФСР) складається з (n-p) розв’язків. Теорему доведено. Зауваження. Якщо rА = р = n, то в цьому випадку система визначена, має один тривіальний розв’язок, а система з одного нульововго вектора лінійно залежна, тому фундаментальної системи розв’язків немає. Розглянемо множину розв’язків однородної системи з точки зору векторного простору. Множина розв’язків однорідної системи є підмножиною n-вимірного арифметичного простру. Більш того з властивостей розв’язків однорідної системи випливає, що в цій підмножині визначені операції додавання векторів і множення вектора на число. Тоді як випливає з попереднього множина усіх розв’язків однорідної системи є підпростором арифметичного простору. Базисом цього підпростору є фундаментальна система розв’язків. З тереми про фундаментальну систему випливає, що вимірність цього підпростору дорівнює n-r (n – кількість невідомих, r – ранг матриці системи).
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-04-08; просмотров: 739; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.144.42.233 (0.01 с.) |