Определение n- мерного векторного пространства. Свойства.

Векторное пространство называют. n-мерным (или имеет «размерность n»), если в нём существуют n линейно независимых элементов e ₁, e ₂,... e _n, а любые n+1 элементов линейно зависимы. Векторное пространство называют бесконечномерным, если в нём для любого натурального n существует n линейно независимых векторов. Любые n линейно независимых векторов n-мерного векторного пространства образуют базис этого пространства. Если e ₁, e ₂,... e _n - базис векторного пространства, то любой вектор x этого пространства может быть представлен единственным образом в виде линейной комбинации базисных векторов:
x = α₁ e ₁ + α₂ e ₂ +... + α_n e _n.
При этом числа α₁, α₂,...,α_n называют координатами вектора x в данном базисе.

Примеры векторных пространств:

Множество всех векторов 3-мерного пространства образует векторное пространство. Более сложным примером может служить так называемое n-мерное векторное пространство. Векторами этого пространства являются упорядоченные системы из n действительных чисел (λ₁, λ₂,..., λ_n). Сумма двух векторов и произведение на число определяются соотношениями:
(λ₁, λ₂,..., λ_n) + (μ₁, μ₂,..., μ_n) =
= (λ₁ + μ₁, λ₂ + μ₂,..., λ_n + μ_n),
α∙(λ₁, λ₂,..., λ_n) = (α∙λ₁, α∙λ₂,..., α∙λ_n).
Базисом в этом пространстве может служить, например, следующая система из n векторов: e ₁ = (1, 0,..., 0), e ₂ = (0, 1,..., 0),... e _n = (0, 0,..., 1).

Множество L всех многочленов α₀ + α₁ u +... + α_n u ⁿ (любых степеней n) от одного переменного с действительными коэффициентами α₀, α₁,..., α_n с обычными алгебраическими правилами сложения многочленов и умножения многочленов на действительные числа образует векторное пространство. Многочлены 1, u, u ²,..., u ⁿ (при любом n) линейно независимы в L, поэтому L - бесконечномерное векторное пространство. Многочлены степени не выше n образуют векторное пространство размерности n+1; его базисом могут служить многочлены 1, u, u ²,..., u ⁿ.

Скалярное произведение векторов. Пример в д. метеорологии.

Скаля́рное произведе́ние — операция над двумя векторами, результатом которой является число (скаляр), не зависящее от системы координат и характеризующее длины векторов-сомножителей и угол между ними. Данной операции соответствует умножение длины данного вектора а на проекцию другого вектора b на данный вектор а.

Из ф-лы следует, что , если - острый угол, , если - тупой угол; в том и только в том случае, когда векторы и перпендикулярны (в частности, , если или ).

Для любых векторов a, b и c и любого числа λ справедливы равенства:

1. причем

2. (переместительный закон).

3. (распределительный закон).

4. (сочетательный закон).

Если векторы и заданы своими координатами:

, ,

то их скалярное произведение может быть вычислено по формуле

.

Отсюда следует необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов

.

Угол между векторами

, ,

дается формулой , или в координатах .

Векторное произведение векторов. Пример в динам. Метеорологии

Если для определение физ величины. Кроме численного значения, необходимо указать направление в пространстве, то такие величины называют векторами.

Векторным произведением АхВ двух векторов называет­ся вектор С = А*В (рис.), направленный перпендикуляр­но плоскости векторов-сомножителей в ту сторону, откуда поворот от первого сомножителя ко второму на меньший угол против хода часовой стрелки и равный по величине площади параллелограмма, построенного на этих векторах, т.е. |C|=|A*B|=ABsin(A,B)

Векторное произведение векторов определяется следующими условиями:

1). Модуль вектора |С| равен ABsin(A,B), где (A,B) - угол между векторами A и B;

2). Вектор |C| перпендикулярен к каждому из векторов A и B;

3). Направление вектора |С| соответствует «правилу правой руки». Это означает, что если векторы A, B и |С| приведены к общему началу, то вектор |С| должен быть направлен так, как направлен средний палец правой руки, большой палец которой направлен по первому сомножителю (то есть по вектору A), а указательный - по второму (то есть по вектору B).

Векторное произведение зависит от порядка сомножителей, именно: .

Необходимое и достаточное условие параллельности векторов имеет вид: А*В=0.

Если система координатных осей правая и векторы А и В заданы в этой системе своими координатами:

, ,

то векторное произведение вектора А на вектор В определяется формулой

Или С=А*В=(A₁i₁+A₂i₂+A₃i₃)*(B₁i₁+B₂i₂+B₃i₃)=i₁(A₂B₃-A₃B₂)+i₂(A₃B₁-A₁B₃)+i₃(A₁B₂-A₂B₁)

Пример в динамич метеорологии:

Такие векторы, направление которых устанавливается соглашением и которые изменяют свое направление при замене правой системы координат на левую, называются аксиальными, например момент силы и угловая скорость. Векторы, направление которых определяется физическим смыслом и которые не меняют своего направления при изменении системы координат, называют полярными, например сила и скорость.

 

24. Понятие тензора. Пример в динам. Метеорологии

Те́нзор (от лат. tensus, «напряженный») — объект линейной алгебры, линейно преобразующий элементы одного линейного пространства в элементы другого. Частными случаями тензоров являются скаляры, векторы, билинейные формы и т.п.

Скаляр или тензор нулевого ранга — физическая величина, полностью определяемая в любой координатной системе одним числом (или функцией), которое не меняет­ся при изменении пространственной системы координат. Скаляр имеет одну компоненту.

Таким образом, если ф — значе­ние скаляра в одной системе коор­динат, а ф' — в другой, то ф'=ф.

Векторы — величины более высокого ранга по сравнению со скалярами; они могут быть названы тензорами 1-го ранга. Три числа или функции, определяющие вектор, меняются при изменении пространственной системы координат, но по такому закону, что в любой из координатных систем они определяют один и тот же вектор.

Если в пространстве задан вектор А, то его компоненты А₁ определятся, если выбрана какая-то система (К) декартовых координат. В другой системе координат (К") его компо­ненты, естественно, будут другими А'_i, хотя сам вектор А остается неизменным, в том смысле, что А'_i определяют тот же самый вектор. Для того чтобы обеспечивалась неизменность вектора в этом смысле, независимость его как физической величины от выбора системы координат, необходимо, чтобы его компонен­ты менялись так же, как и координаты точки:

Некоторые геометрические объекты, а также целый ряд физических свойств, требуют для своей характеристики больше чем трех чисел (или функций). Это приводит к понятию величин, тензорные свойства ко­торых сложнее, чем у векторов и скаляров. Эти величины, тензоры 2-го ранга, не могут быть составлены в виде просто­го набора векторов или скаляров. Это — качественно новые величины, отвечающие физическому или геометрическому смыслу описываемых объектов.

Тензор 2-го ранга — физическая величина, определяемая в любой системе координат девятью числами (или функ­циями) A_ik, которые при изменении системы координат преобразуются в A'_ik по закону

Величины являются компонентами тензора 2-го ранга. Если компоненты тензора заданы в одной декартовой системе координат (A_ik), то по предыдущей формуле можно опре­делить компоненты тензора () в любой другой декарто­вой системе, оси которой составляют с осями первоначаль­ной системы углы с косинусами . Если все компоненты тензора обращаются в нуль в какой-либо системе координат, то они равны нулю в любой другой системе вследствие однородности закона преобразования.

Тензор n-го ранга — физическая величина, определяемая в каждой системе декартовых координат совокупностью 3ⁿчисел или функций А_kl... (n —число индексов), кото­рые при изменении системы координат преобразуются по закону

Сумма справа является однородной функцией (формой) степени n относительно косинусов углов .

27. Ковариантное и контравариантное преобразование

Ковариантность и контравариантность — математическое и физическое понятие, которое описывает то, как величины изменяются при преобразовании системы координат.

Общее определение ковариантности и контравариантности исходит из того, как компоненты объектов преобразуются при изменении базиса. Пусть V — векторное пространство размерности n над полем скаляров S, и пусть каждый из f = (X ₁,…, X_n) и f' = (Y ₁,…, Y_n) — базис V. Также, пусть изменение базиса из f в f′ даётся

для некоторой обратимой n × n матрицы A с величинами . Здесь, каждый вектор Y_j из f' базисов — это линейная комбинация векторов X_i из f базиса, поэтому

.

Контравариантные преобразования

Вектор v в V представляется единственным образом как линейная комбинация элементов f базиса как

, (2)

где vⁱ [f] — это скаляры из S известные как компоненты v в f базисе. Обозначают вектор столбец компонентов v как v[f]:

поэтому (2) может быть переписано как произведение матриц

Вектор v может также быть выражен в виде f' базиса, поэтому

.

Однако, так как вектор v сам инвариантен при изменении базиса,

Инвариантность v комбинирует с отношением (1) между f и f' обеспечивает

что дает правило преобразования

В виде компонент,

,где коэффициенты есть величины обратной матрицы к A. Потому, что компоненты вектора v преобразуются обратно к матрице A, про эти компоненты говорят, что они преобразуются контравариантно при преобразовании базиса.

Ковариантные преобразования

Линейный функционал α на V представляется единственным образом в виде sкомпонент (скаляров в S) в f базисе как

Эти компоненты есть действие α на базисные вектора X_i f базиса.

При изменении базиса из f в f' (1), компоненты преобразуются как

. (3)

поэтому может быть переписано как произведение матриц

Поскольку компоненты линейного функционала α преобразуются с матрицей преобразования A, говорят, что эти компоненты преобразуются ковариантно при изменении базиса.