Интегрирования уравнения статики. Барометрические формулы.

Интегралы основного уравнения статики атмосферы, полученные при разных предположениях относительно изменения температуры и плотности воздуха с высотой, носят общее название барометрических формул. На основе баром-ских формул решаются такие важные прак­тические задачи, как расчет распределения давления и плотно­сти по высоте, определение высот различных летательных аппа­ратов по измеренному давлению, приведение давления к уровню моря и др.Для получения интегральной формы основного урав-ния статики проинтегрируем левую и правую части в преде­лах от уровня моря z=0 (или земной поверхности),где давле­ние р , до произвольной высоты z, где давление р. Имеем: интеграл от p до p0 – dp=интеграл от 0 до z (gρdz), или – p+p0= интеграл от 0 до z (gρdz), откуда p=p0-интеграл от 0 до z (gρdz)(интегральная форма основного уравнения статики). Вторую интегральную форму основ­ному уравнению статики можно придать, если воспользоваться уравнением состояния влажного воздуха. Подстав­ляя найденное отсюда значение р, перепишем в виде: -dp/p=gdz/RcTv. Интегрируя в пределах от 0 до z и от р₀ до р, получаем

ln p = ln p₀ –

Прежде чем рассматри­вать общий случай, рассмотрим несколько частных случаев, от­личающихся один от другого различными предположениями относительно вида функций Т=Т(z) или р=р(z), с помощью которых описывается распределение температуры или плотности по высоте. Эти частные случаи являются своеобразными пре­дельными случаями для реальной атмосферы.

Однородная атмосфера. Предположим, что плотность воз­духа в пределах всей атмосферы не изменяется с высотой р = р₀ = const,где ро—плотность воздуха при z=0. Такая атмосфера носит название однородной. Пренебрежем зависимостью ускорения силы тяжести от высоты получим барометрическую формулу однородной атмосферы (О. А.): p=p₀-gρ₀dz

Согласно этой ф-ле, давление в О.А. падает с высотой по линейному закону: на сколько возрастав высота, па столько же падает и давление (рис). Отметим, что в приложении к атмосфере формула дает заведомо далекое о реальных условий распределение давлена Но для гидросферы, плотность которой из меняется в очень узких пределах (плотность воды близка 1 г/см3), формула дает вполне удовлетворительные результаты. Поэтому ее можно назвать баром-ской ф-лой гидросферы. Поставим вопрос о высоте О.А., т. е. такой высоте, на которой давление обращается в нуль (р = 0). Обозначим ее через Н. Имеем 0= p₀-gρ₀H или H= p₀/ gρ₀. Так как p₀/ ρ₀= RcT₀, где Т₀ тем-ра воздуха при z=0, то формула приним вид: H= RcT₀/g=273 Rc/g(1+αt₀).Отсюда следует, что высота О.А. конечна и зависит только от тем-ры воздуха на поверхности 3емли. При t₀=0° она составляет Н₀=273 Rc/g=273*276/981=7990=8000 м. Поскольку плотность в О.А. постоянна давление быстро падает с высотой, то тем-ра ее, равная по уравнению состояния T=p/ Rc ρ₀, должна понижаться. Беря производную по высоте от левой и правой частей, получаем dT/dz=1/Rc ρ₀*dp/dz. находим следующее выражение для вертикального градиента температуры (уA) в О.А:yA = -dT/dz=g/Rc=3,42 град/100 м. Таким образом, в однородной атмосфере температура падает с высотой по линейному закону Т= Т0 — уAz,при этом скорость падения (градиент) значительно больше среднего значения у в пределах тропосферы. Вертикальный гра­диент температуры уA в О.А. получил назва­ние градиента автоконвекции. Изменение плотности воздуха с высотой. В связи с введе­нием понятия градиента автоконвекции рассмотрим вопрос об изменении плотности воздуха с высотой в общем случае. С этой целью возьмем так называемую логарифмическую производную по высоте от левой я правой частей уравнения состояния 1/p*dp/dz=1/p*dρ/dz+1/T*dT/dz. Заменяя dp/dz: 1/ρ*d ρ /dz=-1/T(g/Rc+dT/dz), или 1/ρ*d ρ /dz=1/T(y-yA). Формула (З.Н) справедлива для любого распределения тем­-ры воздуха с высотой. На основе ее можно сделать вы­воды относительно изменения плотности воздуха с высотой. Воз­можны три различных случая. а) Если у> yA=3,42 град/м, т. е. плотность воздуха возрастает с высотой. Вертикальные градиенты температуры у больше, чем 3,42 град/ 100 м, в реальных условиях ат­мосферы могут наблюдаться лишь в дневные часы (летом) в приземном слое атмосферы. Такое состояние атмосферы яв­ляется, очевидно, сильно неустойчивым: небольшое возмущение приведет к тому, что верхние более плотные частицы начнут опускаться вниз, а нижние более легкие — подниматься вверх: возникнет движение воздуха, называемое конвекцией. Отсюда и название у —градиент автоконвекции. б) Если у= yA, то dp/dz =0, т. е. плотность воздуха не изме­няется с высотой: р = р₀ = const. Это — случай одно­родной атмосферы. в) Если y<yA, то dp/dz<0, т. е. плотность воздуха убывает (падает) с высотой. Этот случай является абсолютно преобладающим в условиях атмосферы. Прежде всего выше призем­ного слоя у< yA при любых состояниях атмосферы.

Изотермическая атмосфера. Атмосфера называется изотер­мической ( И.А ), если тем-ра не изменяется с высотой T= T₀ = сonst,где То — тем-ра на уровне моря или пов-сти земли. И.А. по своим свойствам во многом про­тивоположна О.Аю. Считая атмосферу сухой (Т₀= Т) и пренебрегая зависимостью ускорения силы тяжести от высоты полу­чаем барометрическую формулу изотермической атмосферы ln p=ln p₀-gz/ RcT₀, или p(z)= p₀exp(-gz/ RcT₀).Абсолютная величина падения давления в нижних слоях атмосферы больше, чем в верхних, если высота изменяется на одну и ту же величину. Так, в слое от 0 до 5 км давление падает на примерно на 500 мб, в слое от 5 до 10 км - 250 мб, а в слое от 20 до 25 км - на 31—32 мб. Таким обра­зом, чем выше расположен слой атмосферы определенной тол­щины, тем меньше величина падения давления в этом слое. Высота И.А. равна бесконечности, т. е. p→0 только при z→∞. Формула для плотности воздуха может быть получена, если обратиться к уравнению состояния, согласно которому ρ=ρ₀=p/p₀*T₀/T. Так как в изотермической атмосфере Т/Т₀=1, то ρ(z)=ρ₀exp(-gz/RcT₀).Величина б = р/р₀ носит название относительной плотности.

Политропная атмосфера. Политропной называют такую ат­м-ру (П.А.), которая хар-тся линейным изменением тем­-ры с высотой (или постоянной величиной вертикального градиента тем-ры) T=T₀-yz. Считая атмосферу сухой (Тv=Т) и подставляя Т получаем: ln p=ln p₀-1/Rc*интеграл от 0 до z (gdz/T₀-yz). Выполнив интегрирование (g = соnst), при­ходим к барометрической формуле политропной атмосферы p/p₀=((T₀- yz)/ T₀) в степени g/ R_cy. Давление при большем значении вертикального градиента тем­пературы падает с высотой быстрее, чем при меньшем значении градиен­та у₂. Высота П.А. конечна. В самом деле давление р об­ращается в нуль на такой высоте z= Нy на которой T₀-y Нy=0, Нy= T₀/y. Формула для плотности воздуха в П.А. имеет вид p/p₀=((T₀- yz)/ T₀) в степени g/ R_cy-1.

Полная бар-ческая формула (формула Лапласа). Рас­смотрим общий случай, т. е. случай произвольного распределе­ния температуры с высотой. Учтем также, что реальный воз­дух — влажный, а ускорение силы тяжести — функция широты и высоты. Привлекая соотношение и замечая, что Tv=T(1+0,608s)=273(1+αt)(1+0,608s), dz=-H₀(1+αt)(1+0,608s)(1+a1cos2φ)(1+a2z)dp/p,где Но= 273Rc/g45—высота однородной атмосферы при t=0°. Проинтегрируем в пределах от высоты z1, где давле­ние р1 до высоты z2, где давление р₂. Выполнив интегрирование, получим z₂-z₁=-H₀(1+αtm)(1+0,608sm) (1+a1cos2φ)(1+a2zm)ln p₂/p₁ Поскольку –ln p₂/p₁= ln p₁/p₂=2,30lg p₁/p₂ полная барометрическая формула (формула Лапласа) оконча­тельно принимает вид: z₂ - z₁=B(1+αtm)(1+0,608sm)(+a1cos2φ)(1+a2zm)ln p₁/p₂. Величина B= 2,30 H₀=18400 м называется барометрической постоянной, а средине значения tm и sm носят название средних барометрических (температуры и удельной влажности соответ­ственно). барометрической формулой реальной атмосферы. она получается если считать воздух сухим (sm = 0) и пренебречь зависимостью ускорения силы тя­жести от широты и высоты: z₂-z₁=B(1+αtm) ln p₁/p₂.Возвращаясь к натуральным логарифмам и абсолютной тем­пературе, формулу можно записать также в виде p₂=p₁exp[-(g(z₂-z₁))/ RcTm]

где Tm = 273(1 +аtт) — средняя барометрическая температура слоя воздуха, заключенного между уровнями z₁ i z₂.