Индивидуальная и локальная производные. Что изменяется в ур-ниях движения?

Изменение метеорологической величины р с течением времени можно рассматривать с двух точек зрения.

Во-первых, можно определять, как изменяется значение величины р в одной и той же час­тице движущегося воздуха. Такое изменение называется индивидуальным изменением.

Во-вторых, можно определять как изменяется значение величины р в неподвижной отно­сительно выбранной системы отсчёта точке пространства при прохождении через неё различных частиц воздуха. Такое изменение величины р с течением времени в одной и той же фиксирован­ной точке поля называется локальным или местным изменением.

В общем случае значение какой-либо метеорологической величины р зависит от времени и координат

р = р{г, x, y, z) (1.10.1)

Если рассматривать одну и ту же частицу воздуха, движущуюся в пространстве, то её коор­динаты с течением времени изменяются.

Следовательно, значение величины в движущейся воздушной частице является сложной функцией независимой переменной t. Поэтому индивидуальное изменение во времени величины р в движущейся частице воздуха будет равно полной производной по времени от р как от слож­ной функции. В связи с этим полная производная по времени называется индивидуальной произ­водной. Итак,

(1.10.2)

Производные по времени от координат частицы являются составляющими скорости движе­ния её в направлении соответствующих осей:

(1.10.3)

Следовательно, индивидуальное изменение во времени метеорологической величины р выразится формулой

(1.10.4)

Частная производная по времени выражает изменение величины во времени при постоянных значениях координат x, y, z, то есть в данной точке поля. Следовательно, локальное изменение величины во времени определяется частной производной по времени, которая также называется локальной производной.

В метеорологии большое практическое значение имеет локальное изменение метеорологи­ческих величин, например, изменение температуры воздуха на одной и той же станции. Из выра­жения (1.10.4) получаем

(1.10.5)

Произведения компонентов скорости движения частицы воздуха на соответствующие со­ставляющие градиента , стоящие в скобках правой части формулы (1.10.5), определяют измене­ние во времени величины в данной фиксированной точке поля, вызванное перемещением в нее частиц воздуха из других точек с другими значениями . Сумма этих произведений равна скаляр­ному произведению вектора скорости V на градиент

где - угол между вектором скорости и градиентом .

В метеорологии локальное изменение величины в данной точке, обусловленное перемеще­нием частиц воздуха, подразделяется на адвективное, вызванное горизонтальным переносом воз­духа, и на конвективное, связанное с вертикальными движениями воздуха:

(1.10.6)

где V - модуль горизонтальной скорости воздушных течений; - горизонтальный градиент ,

- угол между этими векторами. В связи с этим, индивидуальное изменение величины p, выра­жаемое формулой (1.10.4), можно переписать в следующем виде:

(1.10.7)

Таким образом, индивидуальное изменение величины внутри движущейся частицы воздуха равно сумме локального, адвективного и конвективного изменений.

Если в каждой движущейся частице воздуха значение течением времени не меняется , то в любой точке поля локальное изменение величины будет обусловлено только перемещением частиц воздуха и выразится формулой

(1.10.8)

(1.10.)

Знак минус в правых частях этих выражений указывает на то, что при увеличении в на­правлении движения в каждой точке поля значение данной величины уменьшается с течением времени.

Ур-ние неразрывности.

Уравнение неразрывности, часто называемое также уравнением сплошности, представляет собой частную форму общего закона сохранения массы, установленного Ломоносовым, специализированную для случая сплошной среды.

Рассмотрим элементарную массу жидкости δm, заполняющую объём δτ. Если проследить движение частиц жидкости, составляющих данный жидкий объём, то неизменность массы можно выразить соотношением (1)

Так как , то из (1) следует, что (2)

Но (3)

Подставляя это выражение в (2) и сокращая на δτ, получаем уравнение неразрывности

(4)

Можно перевести уравнение неразрывности также к другой форме, более удобной для дальнейших выводов. Для этого раскроем выражение для индивидуальной производной от плотности и для дивергенции скорости

Эта форма уравнения неразрывности наиболее часто используется в метеорологических исследованиях.

Для незжимаемой жидкости , и уравнение (4) принимает вид

В спаведливости этого соотношения можно убедиться также непосредственно, вспоминая физический смысл дивергенции скорости.

Приведём ещё выражение для уравнения неразрывности в сферической системе координат (для вывода которого достаточно выразить в этих координатах)

(6)

13 Турбулентность в атмосфере. Изменения в уравнениях

Вследствие неравномерности распределения давления в атмосфере ее воздушные массы перемещаются в горизонтальном направлении, вызывая ветер.

Скорость ветра и его направление непрерывно изменяются. Средние значения скорости ветра составляют 5-10 м/с, но могут достигать 50 м/с и более. В верхних слоях атмосферы в струйных течениях скорость ветра может превышать 100 м/с.

Перемещение воздуха в атмосфере носит турбулентный характер. Сущность явления турбулентности заключается в том, что в массе воздуха, находящейся в движении, образуются вихревые потоки. Эти вихри вызывают хаотические колебания характеристик движущихся масс воздуха, т.е. их скорости, направления, температуры, давления и плотности. Одним из источников возникновения турбулентности является различие скоростей ветра в смежных слоях. Особенно велика турбулентность в нижних слоях тропосферы: в приземном слое высотой 50-100м и в слое трения, простирающемся до высоты 1000-1500м. Турбулентность, вызываемая разностью скоростей в смежных слоях, называется динамической.

Кроме горизонтальных перемещений воздушных масс, в атмосфере присутствуют и вертикальные перемещения. Скорости вертикальных перемещений значительно ниже горизонтальных. В обычных условиях вертикальные перемещения измеряются в сантиметрах в секунду. Развитие этих перемещений связано с наличием архимедовой или гидростатической силы. Воздух, более теплый у земной поверхности и, следовательно, менее плотный, чем окружающая среда, перемещается вверх, а более холодный опускается на его место.

Вертикальные перемещения воздуха называются конвекцией. При слабом развитии конвекция носит беспорядочный турбулентный характер. При развитой конвекции, над отдельными участками разогретой земной поверхности возникают мощные восходящие и нисходящие токи воздуха, достигающие стратосферы. Нисходящие потоки обычно менее интенсивны, но охватывают на много большие площади.

Турбулентное перемешивание в десятки и тысячи раз превышает молекулярное перемешивание или молекулярную диффузию.

Турбулентная диффузия приводит к распространению в атмосфере тепла и влаги в вертикальном направлении. Следствием турбулентности является перенос количества движения сверху вниз, что приводит к некоторому выравниванию распределения скорости ветра по высоте. Количество движения определяется выражением

, где m – масса воздуха, v – скорость движения этой массы.

Поскольку в более высоких слоях атмосферы скорость ветра больше, чем вблизи земной поверхности, то при перемешивании массы воздуха, имеющие более высокие скорости, перемещаются на нижние уровни, в результате чего возникает турбулентное трение.

Помимо основных компонентов в состав воздуха входят переменные части: водяной пар, двуокись углерода, озон, а также различные примеси, т.е. мельчайшие твердые и жидкие частицы, называемые, аэрозолями. Количество любой субстанции характеризуется ее удельным содержанием s, т.е. массовой долей субстанции.

В процессе турбулентного обмена воздуха любая субстанция распространяется в том направлении, в котором она убывает. Изменение субстанции на единицу расстояния называется ее градиентом. В атмосфере убывание субстанции обычно наблюдается в направлении снизу вверх.

Количественной характеристикой турбулентного обмена является поток субстанции, т.е. количество субстанции, переносимой через единицу площади в единицу времени.

В соответствии с теорией, переносимая в процессе турбулентного обмена субстанция, должна удовлетворять следующим условиям.

1.Количество субстанции в индивидуальной частице воздуха в процессе ее движения, пока она не смешалась с окружающим воздухом, должно сохраняться неизменным.

2.При смешении двух масс воздуха должно сохраняться общее количество субстанции.

3.Субстанция должна быть пассивной примесью, т.е. не оказывать влияния на турбулентное движение.

При соблюдении этих условий поток субстанции пропорционален градиенту массовой доли субстанции. В случае переноса субстанции по вертикали ее поток может быть выражен формулой Sв= -А* dS/dZ, где Sв - вертикальный перенос субстанции, -dS/dZ -вертикальный градиент субстанции, А – коэффициент турбулентного обмена, зависящий от атмосферных условий и характера подстилающей поверхности.

Турбулентный перенос тепла в атмосфере носит более сложный характер. Вследствие сжимаемости воздуха и непрерывно происходящих в его толще адиабатических изменений его температуры, о направлении переноса тепла нельзя судить по направлению градиента температуры. При сухоадиабатическом процессе сохраняющейся характеристикой теплового состояния воздушной массы является ее потенциальная температура.

 

14. Скалярные, векторные, тензорные величины

Скалярная величина (от лат. scalaris — ступенчатый) в физике — величина, каждое значение которой может быть выражено одним действительным числом. То есть скалярная величина определяется только своим значением, в отличие от вектора, который кроме значения имеет направление. К скалярным величинам относятся длина, площадь, время, температура и т. д.

Векторная величина - величина называется вектором (векторной), если она определяется двумя элементами различной природы: алгебраическим элементом - числом, показывающим длину вектора и являющимся скаляром, и геометрическим элементом, указывающим направление вектора.

Обозначаются векторные величины соответствующими буквами со стрелкой наверху или выделяются жирным шрифтом. Примеры векторных физических величин:

сила; скорость; импульс.

Векторы изображают направленными отрезками. Началом вектора называют ту точку, откуда начинается направленный отрезок (точка А на рис. 1), концом вектора – точку, в которой заканчивается стрелка (точка B на рис. 1).

Тензорные величины - объекты линейной алгебры, линейно преобразующие элементы одного линейного пространства в элементы другого. Частными случаями тензоров являются скаляры, векторы, билинейные формы и т.п. Термин «тензор» также часто служит сокращением для термина «тензорное поле», изучением которых занимается тензорное исчисление. Многие тензорные величины, ранг тензора которых равен 2 определяются уравнением вида, где и — две векторные физические величины, связанные преобразованием. Примеры: тензор инерции; тензор эффективной массы; тензор диэлектрической проницаемости.

 

15. Теория подобия. Масштаб.

Учение об исследовании физич. явлений, основанное на понятии о физич. подобии. Два физич. явления подобны, если но численным значениям характеристик одного явления можно получить численные значения характеристик другого явления простым пересчетом, к-рый аналогичен переходу от одной системы единиц измерения к другой. Для всякой совокупности подобных явлений все соответствующие безразмерные характеристики (безразмерные комбинации из размерных величин) имеют одинаковое численное значение. Обратное заключение тоже верно, т. е. если все соответствующие безразмерные характеристики для двух явлений одинаковы, то эти явления физически подобны.

 

Анализ размерностей и П. т. тесно связаны между собой и положены в основу экспериментов с моделями. В таких экспериментах осуществляются замены изучения нек-рого явления в натуре изучением аналогичного явления на модели меньшего или большего масштаба (обычно в специальных лабораторных условиях).

 

После установления системы параметров, определяющих выделенный класс явлений, устанавливаются условия подобия двух явлений. Именно, пусть явление определяется пнезависимыми параметрами, нек-рые из к-рых могут быть безразмерными. Пусть, далее, размерности определяющих переменных и физич. постоянных выражены через размерности kиз этих параметров с независимыми размерностями ().Тогда из n величин можно составить только n-kнезависимых безразмерных комбинаций. Все искомые безразмерные характеристики явления можно рассматривать как функции от этих п-k независимых безразмерных комбинаций, составленных из определяющих параметров. Среди всех безразмерных величин, составленных из определяющих характеристик явления, всегда можно указать нек-рую базу, т. е. систему безразмерных величин, к-рые определяют собой все остальные.

 

Определенный соответствующей постановкой задачи класс явлений содержит явления, вообще неподобные между собой. Выделение из него подкласса подобных явлений осуществляется с помощью следующего условия.

 

Для подобия двух явлений необходимо и достаточно, чтобы численные значения безразмерных комбинаций, составленных из полного перечня определяющих параметров, образующих базу, в этих двух явлениях были одинаковы. Условия о постоянстве базы отвлеченных параметров, составленных из заданных величин, определяющих явление, наз. критериями подобия. В гидродинамике важнейшими критериями подобия являются Рейнольдса число, характеризующее соотношение между инерционными силами и силами вязкости, Маха число, учитывающее сжимаемость газа, и Фруда число, характеризующее соотношение между инерционными силами и силами тяжести. Основными критериями подобия процессов теплопередачи между жидкостью (газом) и обтекаемым телом являются: Прандтля число, характеризующее термодинамич. состояние среды; Нуссельта число, характеризующее интенсивность конвективного теплообмена между поверхностью тела и потоком жидкости (газа); Пекле число, характеризующее соотношение между конвективным и молекулярным процессами переноса тепла в жидкости; Стэнтона число, характеризующее интенсивность диссипации энергии в потоке жидкости или газа. Для распределения, тепла в твердом теле критериями подобия являются Фурье число, характеризующее скорость изменения тепловых условий в окружающей среде и скорость перестройки поля темп-ры внутри тела, и число Био, определяющее характер соответствия между температурными условиями среды и распределением температуры внутри тела. В процессах, изменяющихся с течением времени, основными критериями подобия, характеризующими одинаковость протекания процессов во времени, являются критерии гомохронности. В задачах аэрогидромеханики этот критерий наз. Струхаля числом. Критерием подобия механич. движения является Ньютона число. При изучении упругих деформаций критерием подобия является коэффициент Пуассона. Если условия подобия выполнены, то для фактич. расчета всех характеристик в натуре по данным о размерных характеристиках на модели необходимо знать переходные масштабы для всех соответствующих величин. Если явление определяется ппараметрами, из к-рых kимеют независимые размерности, то для величин с независимыми размерностями переходные масштабы могут быть произвольными и их нужно задать с учетом условий задачи, а при экспериментах - и с учетом условий опыта. Переходные масштабы для всех остальных размерных величин получаются из формул, выражающих размерности каждой размерной величины через размерности kвеличин с независимыми размерностями, для к-рых масштабы подсказаны условиями опыта и постановки задачи.

 

Напр., в задаче об установившемся обтекании тела несжимаемой вязкой жидкостью все безразмерные величины, характеризующие движение в целом, определяются тремя параметрами: углами a, b (направление поступательной скорости тела относительно его поверхности) и числом Рейнольдса R. Условия физич. подобия - критерии подобия - представляются соотношениями:

 

Число гомохронности. Пример применения

Критерии подобия - безразмерные числа, составленные из размерных физ. величин, определяющих рассматриваемое физ. явление. Любая физ. величина представляет собой произведение численного значения на единицу измерения и, т. о., всегда зависит от выбора системы единиц измерения. Значения критерия подобия от единиц измерения не зависят. Равенство всех однотипных критериев для двух физ. явлений (процессов) или систем - необходимое и достаточное условие физ. подобия этих систем.

Число гомохронности характеризует нестационарность процесса движения и его используют при изучении теплообмена в нестационарных (например, пульсирующих) потоках. Число Эйлера определяет подобие полей давления. В некоторых системах это число является однозначной функцией числа Рейнольдса.

VT/L=Но, где V-характерная скорость, Т-характерное время изменения процесса, L-характерный линейный размер.

Число Струхала— частный вид критерия гомохронности, применяемый в гидроаэромеханике.

Число гомохронности Но и число Фурье Fo являются определяющими критериями для нестационарных процессов. Число, или критерий Фурье— один из критериев подобия нестационарных тепловых процессов. Характеризует соотношение между скоростью изменения тепловых условий в окружающей среде и скоростью перестройки поля температуры внутри рассматриваемой системы (тела), который зависит от размеров тела и коэффициента его температуропроводности:

Fo = at0/l2,

где а = l/rc — коэффициент температуропроводности, (l — коэффициент теплопроводности, r — плотность, с — удельная теплоёмкость), l — характерный линейный размер тела, t0 — характерное время изменения внешних условий.

Поскольку критерии, устанавливающие связь между скоростями развития различных эффектов, называются критериями гомохронности, число Фурье является критерием гомохронности тепловых процессов, т.е. связывает времена различных эффектов.

 

Число Фруда. Пример применения

Число́ Фру́да (), или критерий Фруда, — один из критериев подобия движения жидкостей и газов, является безразмерной величиной. Применяется в случаях, когда существенно воздействие внешних сил. Введено Уильямом Фрудом в 1870 году.

Число Фруда в гидродинамике

Число Фруда характеризует соотношение между силой инерции и внешней силой, в поле которой происходит движение, действующими на элементарный объём жидкости или газа:

Fr=v²/gL

где v— характерный масштаб скорости, g— ускорение, характеризующее действие внешней силы, L— характерный размер области, в которой рассматривается течение.

Например, если рассматривается течение жидкости в трубе в поле силы тяжести, то под величиной g понимается ускорение свободного падения, под величиной v — скорость течения, а за L можно принять длину трубы или её диаметр.

В судостроении используется другая версия числа Фруда - корень из выше указанного гидродинамического числа Фруда.

Число Фруда позволяет сравнивать условия волнообразования для судов разного размера. Для больших водоизмещающих судов число Фруда обычно равно 0,2—0,3, а для малых глиссирующих судов оно, как правило, превышает 1, но обычно выбирается из диапазона 2—3.

Также Число Фруда применяют при моделировании течений воды в открытых руслах и испытаниях моделей гидротехнических сооружений.

Число Фруда в теплопередаче

В теплопередаче критерий Фруда также характеризует соотношение между силой инерции и силой тяжести, но выражается иначе:

Fr=gl/w²

где

g — ускорение свободного падения,

l— определяющий (характéрный) размер,

w— скорость потока жидкости или газа.

Чем больше число Fr, тем меньше влияние силы тяжести на свойства движения.

Учитывая интервалы изменения длины L (10² – 2·10⁶ м) и скорости V (10 - 50 м/с) и приближенно принимая g ≈ 10 м/с², ω =7*10^-5 1/с и v= 1,5*10^-5 м2/с, для критериев подобия получаем следующие значения верхнего и нижнего пределов возможных значений числа Фруда:

Верхний предел 50²/10*10²²=2,5

Нижний предел 10/2*7*10^-5*2*10⁶=4*10^-2

Число отклонения от геострофичности. Пример применения

V/2ωL=De

V-характерная скорость, L-характерный размер, ω-угловая скорость

Чем больше число De, тем меньше влияет на движение отклоняющая сила вращения

Земли.

При больших значениях числа De на свойства движения большое влияние оказывают си-

лы инерции, определяемые конвективным членом в уравнениях движения.

Учитывая интервалы изменения длины L (10² – 2·10⁶ м) и скорости V (10 - 50 м/с) и приближенно принимая g ≈ 10 м/с², ω =7*10^-5 1/с и v= 1,5*10^-5 м2/с, для критериев подобия получаем следующие значения верхнего и нижнего пределов возможных значений:

Верхнего предела 50/2*7*10^-5*10²=4*10³

Нижнего предела 10*10²/1,5*10^-5=7*10⁷

 

Число Эйлера. Пример применения

Число Эйлера (Eu) — безразмерный коэффициент, имеющий место в уравнениях Навье — Стокса, описывающий отношение между силами давления на единичный объём жидкости (или газа) и инерционными силами.

Eu=Δp/v²ρ

где ρ— плотность, Δр— перепад давления, расходуемый на преодоление гидравлического сопротивления, v— скорость.

 

Число Рейнольдса. Пример применения.

Число Рейнольдса – один из критериев подобия (безразмерные величины, характеризующие соотношения различных сил, действующих в жидкости (газе).

Число Рейнольдса используется в динамике до звуковых потоков (потоков со скор. меньшими скор. звука) и определяется по ф-ле где U – скорость потока, L - характерный линейный размер теч. (в качестве такового может выступать как верт. размер Н, так и гориз. размер L в зависимости от специфики рассматриваемого течения и необходимости разделения линейных размеров по вертикали и горизонтали), v_m - кинематическая вязкость жидкости (традиционно (при рассмотрении ламинарных течений) под этой величиной понимают молекулярную вязкость, но в метеорологии, где изучаются турбулизованные течения, под ней чаще всего подразумевают «турбулентный» аналог ). Число Рейнольдса (названо в честь англ. физика Осборна Рейнольдса) характеризует отношение между силами инерции и силами трения в потоке жидкости. Весьма часто используются другие формулировки числа Рейнольдса, напр., где - разность скорости потока на границах рассматриваемой области, - градиент

скорости в рассматриваемом слое жидкости. Наиболее часто число Рейнольдса используется

при изучении закономерностей движения жидкостей и газов в каналах в отсутствии вращения.

Чем больше Re, тем меньше влияет на свойства движения сила вязкости.

Значение числа Рейнольдса, при кот. ламинарный поток сменяется турбулентным, называют критическим числом Рейнольдса . Если , то течение происходит в ламинарном режиме, а если , то возможно возникновение турбулентности. Физически это означает, что силы трения при возрастании сил инерции не в состоянии поддерживать динамическое равновесие, свойственное ламинарному потоку, и оно сменяется новой формой динамического равновесия, при кот. структура течений становится зависящей от времени.

Число Re применяется в гидравлике (напр., вычисление гидравлического радиуса труб и каналов).

21. Определяющие и внутренне обусловленные критерии. Примеры.

Критерии подобия делятся на 2 группы:

а) Критерии подобия, содержащие, определяющие параметры, т. е. внешне обусловленные характерные величины и физические константы. Физическими констан­тами жидкости являются характерная плотность и кинематический коэффициент вязкости. Угловая скорость вращения Земли и ускорение силы тяжести также относятся к определяющим парамет­рам.

Наличие этих критериев накладывает дополнительные условия на внешне обусловленные величины. Действительно, движении будут подобны только тогда, когда внешне обусловленные величины удовлетворяют одновременно критериям, образованным из уравнений движения и из краевых условий. Иначе говоря, каждый такой критерий ограничивает возможность осуществления подобия движений и является, таким образом, определяющим.

б) Критерии подобия, содержащие хотя бы одну из внутренне обусловленных величин, явл. неоопределяющими. Если осуществлены все усл. подобия, вытекающие из определяющих критериев и краевых условий, то эти критерии обязательно выполняются для всего класса подобных движений.

Т. о., когда соответствующее безразмерное число определено для какого-то одного случая, то неопределяющий критерий представляет собой соотношение, связывающее характерные значения.

При вычислении числа определяющих критериев необходимо соблюдать одно важное правило – критерии должны быть приведены к такой форме, чтобы каждая внутренне обусловленная величина встречалась лишь в одном из них. Очевидно, что эта всегда может быть достигнуто путем перемножения или деления критериев, содерж. одну и ту же внутренне обусловленную величину. Если это правило не соблюдено, то никаких заключений о том, какие критерии явл. определяющими, конечно, сделать нельзя.

Для пояснения определ. и неопредел. критериев подобия разберем некоторые вопросы, связанные с моделированием обтекания горного массива установившимся воздушным потоком. Направим ось х по направлению невозмущенного потока, ось z по вертикали, и пусть вдали от массива u=u(z), v=0, w=0. Высоту препятствия в пункте с координатами х, у описываем ур-нием z=h(x,y) при х>0.

Тогда условие «прилипания» запишетсяв виде:

Из этих краевых условий следует, что при моделировании движения необх. воспроизвести в некоторых определенных соотношениях профиль горного массива

и набегающий на препятствие поток, т.е. величины L и V в дан. случае явл. внешне обусловленными.

Отсюда следует, что из 5 безразмерных критериев подобия определяющими будут три – совпадение чисел Фруда, Рейнольдса и отклонения ветра от геострофического.

Если, например, задать определенный характерный размер модели, то соотношение L₁/L₂ явится известной величиной, то определяющими критериями будут все те же три числа – Fr, Re, De. Совпадение чисел Но будет выполняется автоматически, т. к. в слу­чае установившегося движения период равен бесконечности, то ни­каких новых выводов отсюда сделать нельзя.

Совпадение же чисел Еu в данном случае приводит к очень важ­ному результату. Если определить из опыта разность давлений между двумя какими-то точками модели, то разность давлений в соответ­ственных точках при естественном обтекании может быть найдена из соотношения

Следовательно, неопределяющий критерий дает правила пересчета результатов опыта на натуру. Необходимо отметить, что такое соотношение критериев, когда Fг, Rе, Dе явлю определяющими, а Но и Еu неопределяющими критериями, имеет место в очень многих зад. гидромеханики. Однако в ряде метеорологических задач величина L оказывается не внешне, а внутренне обусловленным размером. Это приводит к ко­ренному изменению определяющих критериев подобия.