Разложение вектора по базису. Координатное представление.

Три линейно независимых вектора a, b и c образуют в пространстве базис, если любой вектор d может быть представлен в виде некоторой линейной комбинации векторов a, b и c, т. е. если для любого вектора d найдутся такие вещественные числа λ, μ и ν, что справедливо равенство:

d = λ a + μ b + ν c.

Два лежащих в плоскости π линейно независимых вектора a и b образуют на этой плоскости базис, если любой лежащий в плоскости π вектор c может быть представлен в виде некоторой линейной комбинации векторов a и b, т. е. если для любого лежащего в плоскости π вектора c найдутся такие вещественные числа λ, и μ, что справедливо равенство:

c = λ a + μ b.

Справедливы следующие фундаментальные утверждения:

1) любая тройка некомпланарных векторов a, b и c образует базис в пространстве;

2) любая пара лежащих в данной плоскости неколлинеарных векторов a и b образует базис на этой плоскости.

Принято называть равенство d = λ a + μ b + ν c разложением вектора d пo базису a, b, c, а числа λ, μ и ν — координатами вектора d относительно базиса a, Ь, c.

Аффинные координаты в пространстве определяются заданием базиса a, b, c и некоторой точки O, называемой началом координат. Аффинными координатами любой точки M называются координаты вектора OM (относительно базиса a, b, c).

Так как каждый вектор OM может быть, и притом единственным способом, разложен по базису a, b, c, то каждой точке пространства M однозначно соответствует тройка аффинных координат λ, μ, ν.

 

Координаты вектора и точки в декартовой системе координат.

Декартова прямоугольная система координат является частным случаем аффинной системы.

В случае декартовой прямоугольной системы базисные векторы принято обозначать не буквами a, b, c, а буквами i, j, k.

Итак, каждый из векторов i, j, k имеет длину, равную единице, причем эти три вектора взаимно-ортогональны (обычно направления векторов i, j, k берут совпадающими с направлениями декартовых осей Oх, Oy и Oz соответственно).

Если скалярное произведение двух элементов пространства равно нулю, то они называются ортогональными друг другу.

Каждый вектор d может быть разложен единственным способом по декартову прямоугольному базису i, j, k, т. е. для каждого вектора d найдется единственная тройка чисел X, Y и Z такая, что справедливо равенство:

d = X i + Y j + Z k.

Числа X, Y, Z называются декартовыми прямоугольными координатами вектора d.

Если вектор d имеет декартовы прямоугольные координаты X, У, Z, то мы будем использовать следующую символику: d ={X, Y, Z}.

Декартовы прямоугольные координаты X, Y и Z вектора d равны проекциям этого вектора на оси Oх, Oу

и Oz соответственно.

Возьмем произвольную точку М на прямой a. Декартовой координатой x точки M будем называть величину направленного отрезка .

Длина вектора. Расстояние между двумя точками. Орт вектора. Координаты орта. Косинусы направления.

Длина направленного отрезка определяет числовое значение вектора и называется длиной вектора или модулем вектора. Для обозначения модуля вектора используются две вертикальные линии слева и справа | |.

Величина М₁М₂ направленного отрезка М₁М₂ равна x₂ — х₁ т. е. М₁М₂ = х₂-х₁.

Рассмотрим в пространстве декартову систему координат Oxyz и точки M1(x1,y1,z1) и М2{х2, у2, z2) Расстояние ρ(М₁, М₂) между точками М₁ и М₂, равное длине направленного отрезка , равно также длине диагонали параллелепипеда, грани которого параллельны координатным плоскостям и проходят через точки М₁ и М₂. Длина параллельного оси Ох ребра этого параллелепипеда равна, абсолютной величине проекции отрезка М₁М₂ на ось Ох, т. е., согласно формуле равна |x₁ —x₂|. По аналогичным соображениям длины ребер, параллельных осям Оу и Oz, равны соответственно |y₂ — y₁| и |z₂ — z₁|.

Используя теорему Пифагора, получим следующую формулу для ρ(М₁, М₂):

ρ(М₁, М₂) =

Формула расстояния между двумя точками в случае их расположения в плоскости Оху имеет следующий вид:

ρ(М₁, М₂) =

Ортом произвольного ненулевого вектора c назовем единичный вектор, коллинеарный c и имеющий одинаковое с c направление.

Координаты орта - координаты a⁰ (), где a⁰ орт вектор.

Косинусы направления вектора - это косинусы углов, которые образует вектор с осями координат.