Выражение смешанного произведения векторов через их координаты.

 

Теорема.

Смешанное произведение трех векторов, заданных своими координатами, равно определителю третьего порядка, составленному из координат перемножаемых векторов:

= (4.1)

Доказательство.

= ( ´ )× = × = ( × - × + × )×(c_x× + c_y × +

+ c_z × ) = c_x × - c_y × + c_z × = . Fin.

 

Следствие 1.

Три вектора компланарны, если их смешанное произведение равно нулю.

 

= = 0 (4.2)

Следствие 2.

Объем параллелепипеда, построенного на трех векторах , , , равен модулю их смешанного произведения.

V = | | = mod (4.3)

 

 

Следствие 3.

Объем треугольной пирамиды, построенной на трех векторах , , равен модуля их смешанного произведения.

V_пир. = | | = mod (4.4)

Доказательство. Так как объем треугольной пирамиды равен произведения площади ее основания на высоту, то V_пир. = S_DOAB × h = × S_ОАDВ × h = V_парал. = | | = = mod . Fin.

 

 

 

С

 

В D

h

 

О А

 

Рисунок 4.2

 

Пример 1.

Найти объем треугольной пирамиды, если известны координаты ее вершин: А(1; 1; 1), В(4; 4; 4), С(3; 5; 5), D(2; 4; 7).

Решение.

Найдем координаты трех векторов, приведенных к общему началу, которые образуют ребра треугольной пирамиды АBСD. Например,

= = (3; 3; 3), = = (2; 4; 4), = = (1; 3; 6). Тогда

V_пир. = | | = mod = ×{ = 3×2× _-1 = 6× = =6× = = 6×1×1×3 = 18} = = 3 (ед³.). Ответ: V_пир. = 3 (ед³.)

 

Пример 2.

Даны координаты вершин треугольной пирамиды А(2; -4; 5), В(-1; -3; 4), С(5; 5; -1), D(1; -2; 2). Найти длину ее высоты h_A, проведенной из вершины А.

Решение.

Найдем векторы , , и по формуле (4.4) определим объем V пирамиды (рис.4.3).

 

А

 

 

D

 

В С

 

Рисунок 4.3

Обозначим = = (3; -1; 1), = = (6; 8; -5), = = (2; 1; -2). Тогда V_пир.= | |.

С другой стороны V_пир.= ×S_DВСD×h_A, где S_DВСD = | ´ |. Следовательно, h_A = =

= = . Найдем = ^-3 = = = = -45

´ = = × - × + × = -11 + 2 -10 = (-11; 2; -10) Þ | ´ | = = = 15. Тогда h_A = = 3. Ответ: h_A = 3 ед.

 

 

Приложение 1.

Тема: «Векторная алгебра».

 

Точки А, В, С, D заданы координатами (см. таблицу).

 

Индивидуальная домашняя работа.

 

1) Найти координаты векторов = , = , = , = , = . Посчитать их длины | |, | |, | |, | |, | | и найти координаты их ортов , , , , .

2) Найти координаты вектора || и удовлетворяющего условию: × = 1.

3) Найти координаты вектора = - 2 + 3 и определить его модуль | |.

4) Найти координаты вектора , если известно, что ­¯ и | | = 2.

5) Проверить на линейную зависимость векторы , , . Могут ли эти векторы образовать базис в пространстве R³. Если могут, то разложить вектор по базису { , , }.

6) Вычислить скалярные произведения векторов × , × , × , × . Будут ли пары векторов и , и , и , и перпендикулярны между собой? Ответ обосновать.

7) Найти проекции , , , , .

8) В треугольнике АВС найти:

а) площадь треугольника;

б) длины всех сторон;

в) длины всех высот;

г) длины всех медиан;

д) координаты точки пересечения медиан;

е) все внутренние углы;

ж) острый угол между медианой CМ и стороной АВ.

 

9) Вычислить векторные произведения векторов ´ , ´ , ´ и их модули | ´ |, | ´ |, | ´ |.

10) Дано: = + , = - , = + - . Компланарны ли векторы , , ? Могут ли эти векторы образовать базис в пространстве R³. Если могут, то разложить вектор по базису { , , }.

11) В треугольной пирамиде АBCD найти:

а) ориентацию тройки векторов , , ;

а) объем пирамиды;

б) длины всех ребер;

в) длины всех высот;

г) площадь каждой грани пирамиды;

д) углы между ребрами АВ и АС, АВ и АD, AC и AD.

12) Вычислить ( × ) × , ( ´ ) × , ( ´ ) ´ .

13) Найти координаты вектора = (x; y; z), если известно, что:

а) × = 1, × = -1, × = 2,

б) ^ , ^ , = | |,

в) ^ , ^ , | | = 1.

ТАБЛИЦА

 

0) А(-3; 1; -2); В(2; -2; 3); С(3; 2; -1); D(1; -3; -1).

1) A(-1; 2; 3); B(-3; -1; -2); C(2; 3; 1); D(-3; 2; 1).

2) A(1; 3; 2); B(2; -2; 3); C(-1; 2; -1); D(3; 2; 3).

3) A(2; -1; 1); B(-2; -3; 3); C(1; 3; 2); D(-1; -2; -3).

4) A(-1; 3; -1); B(2; -2; -1); C(1; -1; 2); D(-2; -2; -2).

5) A(-1; 1; 1); B(3; -3; 2); C(2; 3; 3); D(-3; -2; -1).

6) A(-3; 2; -1); B(2; -1; 2); C(3; 3; -1) D(1; 2; 3).

7) A(1; 2; 3); B(-1; -2; 3); C(3; 1; 2); D(1; -3; -2).

8) A(3; -1; 2); B(-2; -2; -2); C(1; 3; -2); D(-3; 3; -1).

9) A(-1; 3; 2); B(1; 2; -3); C(2; 1; 1); D(3; -1; 2).

10) A(1; -1; 1); B(-1; 2; 3); C(2; 1; -1); D(-2; -2; -3).

11) A(1; -2; 3); B(-2; 1; 3); C(3; -2; -1); D(1; 2; -2).

12) A(-1; 3; 2); B(1; -2; -1); C(2; 2; 1); D(-2; 1; -3).

13) A(-3; 1; 2); B(2; -2; -1); C(1; 2; 3); D(-2; -3; -3).

14) A(2; 3; 2); B(1; -2; 3); C(-1; -1; -2); D(-3; 2; 1).

15) A(-2; 2; 3); B(1; -1; -2); C(2; 3; 1); D(-3; -2; -1).

16) A(-2; 3; 1); B(1; -3; 2); C(3; -2; -1); D(2; 1; -3).

17) A(-3; -1; 2); B(2; 1; 3); C(3; 2; -3); D(-2; -2; -2).

18) A(2; -1; 3); B(-1; 3; 2); C(1; 2; -1); D(3; -2; -2).

19) A(1; 1; -3); B(2; -1; 2); C(-3; 2; 3); D(-2; -3; -2).

20) A(1; -3; 2); B(2; 3; 1); C(3; 2; -1); D(-2; -1; -2).

21) A(1; -2; 1); B(-2; 2; 1); C(2; 1; -1); D(-1; -3; -3).

22) A(1; 1; -2); B(2; 3; 1); C(-1; -2; -3); D(-2; 2; -1).

23) A(-2; 2; 2); B(3; -1; -2); C(1; 2; 3); D(-3; -2; 1).

24) A(-2; 1; -3); B(2; 3; 1); C(1; -2; 3); D(-3; -3; 2).

25) A(2; -2; 3); B(3; 3; 2); C(-2; -3; 1); D(-3; 2; 2).

26) A(2; -1; 2); B(3; 2; 3); C(-1; -2; -3); D(-3; -1; 1).

27) A(-2; -2; 3); B(1; -1; -1); C(2; 3; 1); D(3; -3; -2).

28) A(-2; -3; -1); B(1; -2; 1); C(2; 1; 2); D(-3; 3; -2).

29) A(-3; 2; -1); B(2; -1; 3); C(1; 1; -3); D(3; 3; 2).

30) A(2; 2; 3); B(-3; 1;-2); C(3; 1; 2); D(-2; -3; -1).

 

Требования к оформлению студентами индивидуальных домашних работ (ИДР).

 

1. Вариант ИДР должен соответствовать порядковому номеру фамилии студента в журнале его группы.

2. Каждая ИДР выполняется в отдельной ученической тетради чернилами любого цвета, кроме красного. В тетради должны быть поля для замечаний проверяющего, а в конце тетради должно быть несколько чистых листов для работы над ошибками в соответствии с замечаниями проверяющего.

3. Оформление обложки тетради должно соответствовать образцу:

Индивидуальная домашняя работа

по высшей математике

на тему: Векторная алгебра

студента (ки) гр. ……..

Ф.И.О. ………………...

вариант № ……………

4. Работа, выполненная по чужому варианту, не засчитывается.

5. Задачи и их решения располагаются в порядке возрастания их номеров в соответствии с нумерацией ИДР.

6. Условие задачи полностью переписывается с заменой общих данных на конкретные из своего варианта.

7. Решение задачи записывается аккуратно и подробно с необходимыми выкладками, чтобы было понятно, откуда что получено.

8. Незачтенная ИДР возвращается студенту для исправления ошибок. Студент должен в конце ИДР в работе над ошибками исправить их и вновь cдать ИДР на проверку.

Студент, не выполнивший хотя бы одну ИДР, к экзамену не допускается.

 

 

Список рекомендуемой литературы

 

1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. -М.: Наука, 1984. -320с.

2. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. -М.: Наука, 1971. – 232 с.

3. Бахвалов С.В. и др. Аналитическая геометрия. -М.: Просвещение, 1970. – 376 с.

4. Гурский Е.И. Основы линейной алгебры и аналитической геометрии. -Минск: Вышейш. шк., 1982. - 272с.

5. Гусак А.А. Высшая математика. Т.1. - Минск: ТетраСистемс, 2001. - 544с.

6. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. 1 часть. -М.: Рольф, 2000. - 288с.

7. Добротин Д.А. Основы линейной алгебры и аналитической геометрии. -Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1977. - 120 с.

8. Лунгу К.Н. и др. Сборник задач по высшей математике. 1 курс. -М.: Айрис-пресс, 2003. -576с.

 

 

Оглавление

 

Стр.

 

1. Векторы………………………………………………………………………………………..1

1.1. Основные понятия…………………………………………………………………………..1

1.2. Линейные операции над векторами………………………………………………………..2

1.3. Линейная зависимость векторов…………………………………………………………...3

1.4. Линейно-векторное пространство. Базис. Разложение вектора по базису……………...5

1.5. Проекция вектора на ось……………………………………………………………………9

1.6. Декартовы координаты вектора………………..………………………………………….11

1.6.1. Радиус-вектор точки и ее координаты………………………………………………….11

1.6.2. Декартовы координаты произвольного вектора на плоскости.………………………13

1.6.3. Декартовы координаты произвольного вектора в пространстве.…………………….14

1.7. Действия над векторами, которые заданы своими координатами.…………………….15

1.8. Деление отрезка в данном отношении…………………………………………………...15

2. Скалярное произведение двух векторов……………………………………………………18

2.1. Основные понятия…………………………………………………………………………18

2.2. Свойства скалярного произведения векторов……………………………………………18

2.3. Выражение скалярного произведения векторов через их координаты………………...19

3. Векторное произведение двух векторов……………………………………………………20

3.1. Основные понятия…………………………………………………………………………20

3.2. Свойства векторного произведения векторов…………………………………………....21

3.3. Выражение векторного произведения векторов через их координаты ……………….22

4. Смешанное произведение трех векторов…………………………………………………...23

4.1. Основные понятия………………………………………………………………………….23

4.2. Свойства смешанного произведения векторов…………………………………………...24

4.3. Выражение смешанного произведения векторов через их координаты………………..25

Приложение 1. Индивидуальная домашняя работа по теме: «Векторная алгебра»…...…...28

Таблица…………………………………………………………..………………………………29

Требования к оформлению студентами индивидуальных домашних работ (ИДР)………...30

Список рекомендуемой литературы…………………………………………………………...31