Векторное произведение векторов: определение и геометрический смысл

Определим векторное произведение векторов в 3-х мерном пространстве, которое будет определять вращение в этом пространстве. Векторное произведение:

Чтобы получить координаты нового вектора, надо разложить его по первой строке: .

Выясним геометрический смысл этого произведения. Берем координаты следующим образом:

|a|=a

|b|=b

φ=a^b

a={a;0;0}

b={b*cos φ;b*sin φ;0}

 

Найдем векторное произведение .

.

Единичный вектор перпендикулярный плоскости параллелограмма. С конца этого вектора видим вращение а к b по углу φ против часовой стрелки.

Модуль векторного произведения – площадь параллелограмма, построенного на векторах а и b.

Физический смысл векторного произведения:

Пусть О – точка вращения твердого тела

А – точка, где к телу приложена сила F.

Тогда момент этой силы можно рассчитать по формуле:

M=OA x F

ОА – плечо силы

|M|=|OA|*sinφ*|F|.

 

Основные свойства векторного произведения

1. -- антикоммутативность.

Следует из определения векторного произведения, т.к. переставляя множители местами, переставляем строки в определителе.

2. -- дистрибутивность

Вывод:

3. , где λ R.

 

 

Смешанное произведение. Основные свойства и геометрический смысл

В 3-х мерном пространстве смешанное произведение 3-х векторов:

(1) Разложим определитель по 1-й строке:

 

Иногда это свойство принимают в качестве определения. Тогда формулу (1) надо доказать. Теперь нетрудно показать геометрический смысл смешанного произведения.

, где V – объем параллелепипеда. Покажем это:

 

h – высота параллелепипеда.

Определение ориентации в пространстве:

если , то векторы образуют правую тройку, при этом говорят, что они имеют положительную ориентацию.

если , то векторы образуют левую тройку, при этом говорят, что они имеют отрицательную ориентацию.

Рассмотрим ориентацию стандартного базиса:

Стандартный базис имеет положительную ориентацию.

Если вектора линейно зависимы, то они называются компланарными. Условие компланарности векторов:

Если в смешанном произведении 2 вектора переставить местами(рядом стоящие), то знак изменится.

При циклической перестановке знак не меняется:

Выбирая 3 последовательных множителя они образуют циклическую перестановку.

 

Параметрическое и каноническое уравнение прямой в пространстве

Пусть l – прямая.

x={x; y; z} l

A, B

S – направляющий вектор прямой.

Тогда

АХ и АВ коллинеарны.

АХ=λS – параметрическое уравнение прямой, λ – параметр.

или

Это параметрическое уравнение прямой в координатной плоскости. Исключая параметр λ получаем каноническое уравнение прямой:

Вторая формула здесь – уравнение прямой (АВ).