Определение векторного пространства. Линейные операции над векторами. Основные свойства.

Rⁿ – n-мерное пространство

(х₁, х₂, …, х_n) – точки из пространства Rⁿ

R – множество действительных чисел.

R² – плоскость

R³ – 3-х мерное пространство

-- расстояние между двумя точками. Для 2-х мерного пространства это обычная теорема Пифагора.

Определение вектора и векторного пространства:

А, В определяют перемещение в пространстве из точки А в точку В, которые называются векторами. Эти перемещения(векторы) определяются с точностью до параллельного переноса, т.е. равенство между векторами задается следующей формулой:

Общий вид таких векторов записывается в виде , где а₁;а₂;…;а_n – координаты вектора или проекции вектора а на оси х₁;х₂;…;х_n.

 

Множество всех векторов называют векторным пространством.

Замечание:

Это определение будет вектор как отрезок и введенное равенство определяют направляющий отрезок с точностью до параллельного переноса.

АВ=CD=PQ

a={a1; a2; …; an}

a определяется как перенос(параллельный) пространства, т.е. как отображение пространства на себя.

Мы получаем: .

Для нас вектор – перемещение из точки в точку В.

 

Линейные свойства векторов:

1.

2.

3. -- нулевой вектор

Из этих определений следует правило вычитания векторов:

4.

5. -- определение противоположного вектора.

Нетрудно доказать следующие свойства векторов:

6. а+0=0+а=а

a+b=b+a – переместительный закон сложения

(a+b)+c=a+(b+c) – ассоциативность сложения

λ(a+b)= λ*a+ λ*b и т.д.

Из определения сложения и вычитания векторов получаем следующие правила: параллелограмма, треугольника и многоугольника:

Правило параллелограмма a+b

 

Правило треугольника a+b

 

 

Правило многоугольника e=a+b+c+d

 

Правило многоугольника:

Направляем векторы один за другим, соединяя начало первого с концом последнего.

 

b+(a-b)=a

 

 

a+(b-a)=b

 

 

Нетрудно проверить все эти свойства на плоскости и в пространстве.

Линейная зависимость и независимость векторов.

λ₁а₁+ λ₂а₂+…+ λ_nа_n – линейная комбинация векторов а₁, а₂, …, а_n.

Если λ₁а₁+ λ₂а₂+…+ λ_nа_n=0 и хотя бы одно из чисел λ₁, λ₂,..., λ_n не равно 0, то такую линейную комбинацию называют нетривиальной линейной комбинацией.

Линейная зависимость векторов.

Если существует нетривиальная линейная комбинация λ₁а₁+ λ₂а₂+…+ λ_nа_n, то векторы а₁, а₂, …, а_n называют линейно зависимыми. В этом случае один из векторов является линейной комбинацией других векторов.

Пусть λ_n≠0 =>

Линейная независимость векторов.

а₁, а₂, …, а_n называются линейно независимыми, если не существует нетривиальной линейной комбинации этих векторов. Для любой линейной комбинации получаем:

λ₁а₁+ λ₂а₂+…+ λ_nа_n=0 => .

Линейно зависимые вектора называются компланарными.

λ₁а₁+ λ₂а₂+λ₃а₃=0

(1) а₃=с₁а₁+с₂а₂(λ₃≠0)

Если эти векторы отложить один за другим, то получится замкнутая фигура.

Поэтому компланарные векторы параллельны одной плоскости. В условии (1) содержится условие компланарности векторов.

Два линейно зависимых вектора называют коллинеарными.

λ₁а₁+ λ₂а₂ =0 – нетривиальная комбинация

b=λа – условие коллинеарности векторов.