Решение СЛУ методом Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли.

В общем виде будем рассматривать систему m линейных уравнений с n переменными. В общем виде:

Эту же систему можно записать в матричном виде:

А*Х=В, где -- столбец переменных

А*Х=О – однородная СЛУ, где . Очевидно, такая система имеет хотя бы одно тривиальное решение.

-- множество решений СЛУ. Если существует хотя бы одно решение, то СЛУ называется совместной. Иначе это несовместная СЛУ.

Решение СЛУ методом Гаусса.

Преобразование расширенной матрицы [A|B] в матрицу [C|D] из теоремы в процессе преобразований П1-П4 называется СЛУ методом Гаусса-Жордано. Его также называют методом последовательного исключения переменных.

Система А*Х=В переходит в систему C*Y=D, где расширенная матрица

В левом верхнем углу получаем единичную матрицу, получаем 0 ниже главной диагонали этой матрицы. Это называется прямой ход метода Гаусса. Дальнейшее получение 0 выше главной диагонали называется обратный ход.

Теорема Кронекера-Капелли:

Если ранг матрицы А равен рангу расширенной матрицы [A|B], то систнма имеет решения. Если ранг матрицы [A|B] больше ранга матрицы А, то система решений не имеет.

Вывод:

В процессе преобразований мы получаем расширенную матрицу [C|D], тогда

r(A)=r(C)=det

Если все свободные члены d_r+1=d_r+2=d_m=0, то система имеет решения. Это очевидно. последние строчки можно отбросить. Предположим, что одно из чисел d_r+1; d_r+2; d_m≠0. Возьмем для примера d_r=1. 0*х₁+0*х₂+…+0*х_n=1 0=1 ложно. Эта СЛУ не имеет решений. Покажем, что ранг расширенной матрицы на 1 больше ранга матрицы А.

L= det(L)=d_m=1 r(A|B)=R(C|D)=r+1=r(A)+1

Получив расширенную матрицу [C|D] мы можем исследовать СЛУ.

Пусть r<n, тогда система имеет бесконечное множество решений.

z_r+1; z_r+2; …; z_n – свободные параметры. Давая им произвольные значения получаем бесконечное множество решений.

 

 

Свободные переменные yr+1… -- становятся свободными, а остальные переменные становятся зависимыми. Давая различные значения свободным переменным, получаются различные значения зависимых переменных. Теперь понятно, что система имеет бесконечное множество решений.

Мы рассматриваем случаи, когда система имеет решения, т.е. ранг матрицы и ранг расширенной матрицы равны. Это означает, что в матрице [C|D] ниже единичной матрицы все строки нулевые, т.е. эквивалентны уравнениям 0=0 0=0 0=0 0=0 … 0=0, поэтому их можно удалить.

 

Рассмотрим случай, когда r=n. В таком случае матрица [C|D] имеет вид: слева от черты находится единичная матрица. Читаем систему . Это единственные решения системы.

Пусть r=n и число уравнений совпадает с числом переменных, тогда в матрице [C|D] слева от вертикальной черты стоит единичная матрица. Нулевых строк нет. Матрица имеет единственное решение .