Сложение векторов и умножение вектора на число

Приложения

Аналитическая геометрия. Геометрические векторы

(Примерное содержание одной из глав будущего учебного пособия)

 

Основные понятия

Геометрическим вектором называется направленный отрезок, который можно перемещать параллельно ему самому.

Направленный отрезок с началом в точке A и концом в точке B обозначается . Векторы обозначаются строчными латинскими буквами со стрелками:

Таким образом, два направленных отрезка , имеющие одинаковые длины и направления, изображают один и тот же вектор , и именно в этом смысле мы будем писать равенства между векторами и направленными отрезками:

Всегда выражение «вектор AB » означает вектор, изображаемый направленным отрезком AB.

Длиной (или модулем) вектора называется расстояние между точками A и B. Будем считать, что единица измерения длин выбрана и, говоря о длинах отрезков, не будем указывать, какой единицей они измеряются. Модуль вектора AB обозначается символом . Вектор нулевой длины называется нулевым и обозначается символом ,

Вектор , равный по длине вектору и противоположно направленный, называется противоположным и обозначается − .

Вектор, длина которого равна 1, называется единичным. Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора AB, называется ортом вектора AB и обозначается .

Углом между векторами и называется угол (0 ≤ ≤ π), образованный этими векторами, при условии, что начальные точки этих векторов совпадают (этого можно добиться параллельным переносом векторов).

Векторы, лежащие на параллельных или совпадающих прямых, называются коллинеарными.

Векторы, лежащие в параллельных или совпадающих плоскостях, называются компланарными. Если угол между векторами равен , то векторы называются ортогональными.

Сложение векторов и умножение вектора на число

 

Суммой векторов называется вектор с началом в точке A и концом в точке C (правило треугольника).

Произведением вектора и действительного числа называется вектор , модуль, которого равен , направление совпадает с направлением вектора при и противоположно направлению вектора при (рис.2). При произведение

Операции сложения векторов и умножения вектора на число называются линейными операциями.

Свойства линейных операций с векторами

Для любых векторов и любых чисел α, β:

 

Условие коллинеарности векторов: два ненулевых вектора и коллинеарны тогда и только тогда, когда они пропорциональны, т.е. существует число () такое, что .

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

 

Скалярное произведение векторов

 

Скалярным произведением векторов и называется число, обозначаемое и равное произведению их модулей и косинуса угла между ними, т.е.

Свойства векторного произведения векторов

Для любых векторов и любых чисел α, β:

, т.е. векторное произведение антикоммутативно;

1. , т.е. векторное произведение дистрибутивно относительно сложения;

2. , т.е. векторное произведение ассоциативно относительно вещественного множителя.

 

Условие коллинеарности векторов: два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, т.е.

|| , если

(нулевой вектор можно считать коллинеарным любому вектору).

Смешаное произведение векторов

 

Смешанным произведением векторов называется число, обозначаемое () и определяемое равенством

,

т.е. векторное произведение двух векторов умножается скалярно на третий вектор .

По определению скалярного и векторного произведений имеем

() = ( = = ,

причем знак (+) берется в том случае, когда угол θ острый, т.е. тройка векторов — правая, знак (−) берется в том случае, когда угол θ тупой, т.е. тройка векторов — левая (здесь — угол между векторами , а — угол между векторами () и ).

Геометрический смысл смешанного произведения: смешанное произведение векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах как на сторонах, взятому со знаком (+), если тройка векторов — правая, и со знаком (−), если тройка векторов — левая.

Контрольная работа

Класс «Аналитическая геометрия».

Угол прямой с плоскостью.

(Из примерного содержания методического пособия для учителя)

 

 

1. В основании прямого параллелепипеда АВСДА₁ В₁ С₁ Д₁ лежит параллелограмм с углом при вершине А равным 60⁰. Отношение ребер АВ: АД: АА = 1: 2: 3. Найдем угол между прямой В₁ Д и плоскостью грани АА₁ Д Д₁.

2. В основании пирамиды SABC лежит равнобедренный треугольник с прямым углом С. Каждое боковое ребро образует с плоскостью основания угол, равный 45⁰. На ребре SB взята точка М – середина этого ребра. Найдем угол между прямой АМ и плоскостью грани SBC.

3. В правильной призме АВСА₁ В₁ С₁ угол между прямыми АВ и АС равен 2а. Найдем угол между прямой ВС и плоскостью грани АСС₁ А.

4. В основании прямой призмы АВСА₁ В₁ С₁ лежит равнобедренный треугольник с прямым углом при вершине С. Высота призмы равна катету основания. На ребрах АВ, СС, АС взяты соответственно точки Р, Q, R – середины этих ребер. Построим сечение призмы плоскостью, проходящей через вершину С, параллельно прямой РQ и В R и найдем угол, который образует с секущей плоскостью прямая СВ.

5. На ребрах А В и ДД куба АВСД А₁ В₁ С₁ Д₁ взяты соответственно точки P и Q – середины этих ребер. Найдем угол, который образует прямая В₁ Д с секущей плоскостью а, проходящей через вершину С, перпендикулярно прямой PQ. Построим сечение куба плоскостью а и найдем точку пересечения прямой PQ с плоскостью а.

 

Контрольная работа

Контрольная работа

Класс

I вариант.

 

1. На ребрах A₁B₁ и BC куба ABCDA₁B₁C₁D₁ взяты соответственно точки P и Q – середины этих ребер. Считая ребро куба равным a, найдите расстояния до прямой PQ от следующих точек: C₁; б) D₁; в) D.

2. На ребре C₁D₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка P – середина этого ребра. Считая ребро куба равным a, найдите расстояния до плоскости BDP от следующих точек: A₁; б) A; в) C₁.

3. На ребрах AB, CC₁ и С₁D₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ взяты соответственно точки P, Q и R – середины этих ребер. Считая ребро куба равным а, найдите расстояния между прямой B₁D₁ и следующими прямыми: DP; б) DQ; в) DR.

4. В правильной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ угол между прямыми BD₁ и B₁D равен 90^о. Найдите углы, которые образует прямая B₁D со следующими прямыми: AA₁; б) A₁C; в) CD₁.

5. На ребре СС₁ правильной призмы ABCDA₁B₁C₁D₁, боковое ребро которой в два раза больше стороны основания, взяты точки Е₁, Е₂ и Е₃ – такие, что СЕ₁=Е₁Е₂=Е₂Е₃=Е₃С₁, а на ребре CD взята точка К – середина этого ребра. Найдите углы, которые образуют с плоскостью АА₁К следующие прямые: DE₁; б) DE₂; в) DE₃.

6. Основанием пирамиды MABCD является прямоугольник, а ее боковое ребро MB перпендикулярно плоскости основания и АВ: AD: МВ=1:2:1. На ребрах АD и АВ взяты соответственно точки K и L – середины этих ребер. Найдите следующие двугранные углы: а) MCLB; б) MACB; в)MCKB.

 

Список литературы для учащихся

 

1. Александров А.Д. и др. Геометрия 10-11 класс. - М.: «Просвещение», 1992.

2. Атанасян Л.С. и др. Геометрия 10-11 класс. - М.: «Просвещение», 1993.

3. Бевз Г.П. и др. Геометрия 10-11 класс. - М.: «Просвещение», 1994.

4. Жафяров А.Ж. Аналитическая геометрия. - Новосибирск, 1993.

5. Звавич Л.И. и др. Геометрия. 8-11 классы. Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики. – М.: «Дрофа», 2000

6. Земляков А.Н. Геометрия в 9 классе. - М.: «Просвещение», 1988.

7. Зив Б.Г. «Дидактические материалы по геометрии 10 класс». - М.:

«Просвещение», 2000.

8. Зив Б.Г. «Дидактические материалы по геометрии 11 класс». - М.:

«Просвещение», 2000.

9. Зив Б.Г. «Задачи по геометрии 7-11 класс». - М.: «Просвещение», 2000.

10. Клетеник Д.В. Сборник задач по Аналитической геометрии. - М.: «Наука», 1986.

11. Марков Л.Н. и др. Основы Аналитической геометрии. - Минск: «Амалфея», 1999.

12. Погорелов. Геометрия 10 -11 класс. - М.: «Просвещение», 1992.

13. Погорелов А.В., Основания А.В. Геометрии. - М.: «Наука», 1977.

14. Энциклопедия для детей «Аванта+». Том 11. Математика. - М.: «Аванта», 1998.

 

Список литературы для учителя

 

1. Александров А.Д. и др. Геометрия 10-11 класс. - М.: «Просвещение», 1992.

2. Атанасян Л.С. и др. Геометрия 10-11 класс. - М.: «Просвещение», 1993.

3. Бевз Г.П. и др. Геометрия 10-11 класс. - М.: «Просвещение», 1994.

4. Жафяров А.Ж. Аналитическая геометрия. - Новосибирск, 1993.

5. Звавич Л.И. и др. Геометрия. 8-11 классы. Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики. - М.: «Дрофа», 2000.

6. Земляков А.Н. Геометрия в 9 классе. - М.: «Просвещение», 1988.

7. Зив Б.Г. «Дидактические материалы по геометрии 10 класс». - М.: «Просвещение», 2000.

8. Зив Б.Г. «Дидактические материалы по геометрии 11 класс». - М.: «Просвещение», 2000.

9. Зив Б.Г. «Задачи по геометрии 7-11 класс». - М.: «Просвещение», 2000.

10. Клетеник Д.В. Сборник задач по Аналитической геометрии. - М.: «Наука», 1986.

11. Марков Л.Н. и др. Основы Аналитической геометрии. – Минск:

«Амалфея», 1999.

12. Погорелов А.В. Геометрия 10-11 класс. - М.: «Просвещение», 1992.

13. Погорелов А.В. Основания геометрии. - М.: «Наука», 1977.

14. Поповский и др. «Улубленное изучение геометрии в 10-11 классе. - М.: «Просвещение», 2002.

15. Энциклопедия для детей «Аванта+». Том 11. Математика. М. «Аванта». 1998

16. Вебер Н.П. Информационная компетенция. – «Гимназия № 1 г. Нерюнгри», 2004.

17. Вебер Н.П. Учебно-воспитательная компетенция. - «Гимназия № 1 г. Нерюнгри», 2004.

18. Сизонова В.Г., Фатькина Н.Н. Коммуникативная компетенция. – «Гимназия № 1 г. Нерюнгри», 2004.

Приложения

Аналитическая геометрия. Геометрические векторы

(Примерное содержание одной из глав будущего учебного пособия)

 

Основные понятия

Геометрическим вектором называется направленный отрезок, который можно перемещать параллельно ему самому.

Направленный отрезок с началом в точке A и концом в точке B обозначается . Векторы обозначаются строчными латинскими буквами со стрелками:

Таким образом, два направленных отрезка , имеющие одинаковые длины и направления, изображают один и тот же вектор , и именно в этом смысле мы будем писать равенства между векторами и направленными отрезками:

Всегда выражение «вектор AB » означает вектор, изображаемый направленным отрезком AB.

Длиной (или модулем) вектора называется расстояние между точками A и B. Будем считать, что единица измерения длин выбрана и, говоря о длинах отрезков, не будем указывать, какой единицей они измеряются. Модуль вектора AB обозначается символом . Вектор нулевой длины называется нулевым и обозначается символом ,

Вектор , равный по длине вектору и противоположно направленный, называется противоположным и обозначается − .

Вектор, длина которого равна 1, называется единичным. Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора AB, называется ортом вектора AB и обозначается .

Углом между векторами и называется угол (0 ≤ ≤ π), образованный этими векторами, при условии, что начальные точки этих векторов совпадают (этого можно добиться параллельным переносом векторов).

Векторы, лежащие на параллельных или совпадающих прямых, называются коллинеарными.

Векторы, лежащие в параллельных или совпадающих плоскостях, называются компланарными. Если угол между векторами равен , то векторы называются ортогональными.

Сложение векторов и умножение вектора на число

 

Суммой векторов называется вектор с началом в точке A и концом в точке C (правило треугольника).

Произведением вектора и действительного числа называется вектор , модуль, которого равен , направление совпадает с направлением вектора при и противоположно направлению вектора при (рис.2). При произведение

Операции сложения векторов и умножения вектора на число называются линейными операциями.