Линейное (векторное) пространство

Как известно, линейные операции (сложение, вычитание, умножение на число) определены по-своему для каждого множества (числа, многочлены, направленные отрезки, матрицы). Сами операции различны, но их свойства одинаковы.

Эта общность свойств позволяет обобщить понятие линейных операций для любых множеств вне зависимости от того, что это за множества (числа, матрицы и т.д.).

Для того, чтобы дать определение линейного (векторного) пространства рассмотрим некоторое множество L действительных элементов, для которых определены операции сложения и умножения на число.

Эти операции обладают свойствами:

1) Коммутативность + = +

2) Ассоциативность (+) + = + (+)

3)Существует такой нулевой вектор, что +=для  L

4) Для  L существует вектор = -, такой, что +=

5)1 =

6) () = ()

7) Распределительный закон ( + ) = + 

8) (+) = + 

 

Определение: Множество L, элементы которого обладают перечисленными выше свойствами, называется линейным (векторным) пространством, а его элементы называются векторами.

Важно не путать понятие вектора, приведенное выше с понятием вектора как направленного отрезка на плоскости или в пространстве. Направленные отрезки являются всего лишь частным случаем элементов линейного (векторного) пространства. Линейное (векторное) пространство – понятие более широкое. Примерами таких пространств могут служить множество действительных чисел, множество векторов на плоскости и в пространстве, матрицы и т.д.

Если операции сложения и умножения на число определены для действительных элементов, то линейное (векторное) пространство является вещественным пространством, если для комплексных элементов – комплексным пространством.

 

2.1.1. Пространство арифметических векторов R ⁿ. Линейные операции с векторами

Определение. Арифметическим вектором называется упорядоченная совокупность n чисел. Обозначается , числа называются компонентами арифметического вектора.

Для арифметических векторов определены линейные операции — сложение арифметических векторов и умножение вектора на число: ,

для любых и и любого числа

Определение. Множество арифметических векторов, для которых определены операции сложения и умножения на число называется пространством рифметических векторов Rⁿ.

Вектор называется нулевым вектором, а вектор — противоположным вектором для вектора .

Для любых , , из Rⁿ и любых чисел ,  справедливо:

1. , сложение коммутативно;
2. ,сложение ассоциативно;
3. 
4. 
5. , умножение на число ассоциативно;
6. ;
7. , умножение на число дистрибутивно относительно сложения элементов;
8. , умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения чисел.

Примерами пространства арифметических векторов являются пространства геометрических векторов на плоскости, записанных в координатной форме.

 

 

Линейная зависимость и независимость векторов. Базис.

Говорят, что вектор пространства Rⁿ линейно выражается через векторы , если его можно представить в виде линейной комбинации этих элементов , т.е. представить в виде .

Определение. Если хотя бы один вектор системы векторов из Rⁿ линейно выражается через остальные векторы системы, то система векторов называется линейно зависимой.

Определение. Система векторов, которая не является линейно зависимой, называется линейно независимой.

Свойства базиса, естественный базис, координаты вектора в заданном базисе

Итак установлено, что в пространстве Rⁿ существует система из n линейно независимых векторов, а любые n +1 вектора линейно зависимы.

Число n — размерность пространства Rⁿ.

Определение. Любая упорядоченная линейно независимая система n векторов пространства арифметических векторов Rⁿ называется базисом в Rⁿ.

Нетрудно показать, что любой вектор единственным образом выражается через векторы базиса: . (На лекции единственность доказана).

Числа называют координатами вектора в базисе .

Линейно независимая система векторов

образует базис в Rⁿ, который называют естественным базисом в Rⁿ.