Расстояние от точки до прямой

 

Теорема. Если задана точка М(х₀, у₀), то расстояние до прямой Ах + Ву + С =0 определяется как

.

 

Доказательство. Пусть точка М ₁(х ₁, у ₁) – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную прямую. Тогда расстояние между точками М и М₁:

(1)

Координаты x₁ и у₁ могут быть найдены как решение системы уравнений:

Второе уравнение системы – это уравнение прямой, проходящей через заданную точку М ₀ перпендикулярно заданной прямой.

Если преобразовать первое уравнение системы к виду:

A(x – x ₀) + B(y – y₀) + Ax₀ + By₀ + C = 0,

то, решая, получим:

Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим:

Теорема доказана.

 

 

Взаимное расположение прямых и исследование системы двух уравнений с двумя неизвестными.

??? 16 вопрос

Коллинеарные прямые

 

Две прямые называются коллинеарными, если они параллельны или совпадают.

 

Получим условие коллинеарности двух прямых и , заданных общими уравнениями:

 

Необходимым и достаточным условием коллинеарности прямых (3.19) является условие коллинеарности их нормалей и . Следовательно, если прямые (3.19) коллинеарны, то , т.е. существует такое число , что

 

и наоборот.

Прямые совпадают, если помимо этих условий справедливо . Тогда первое уравнение в (3.19) имеет вид , т.е. равносильно второму, поскольку .

 

Таким образом, прямые (3.19) параллельны тогда и только тогда, когда соответствующие коэффициенты при неизвестных в их уравнениях пропорциональны, т.е. существует такое число , что , но . Прямые (3.19) совпадают тогда и только тогда, когда все соответствующие коэффициенты в их уравнениях пропорциональны:

 

 

Условия параллельности или совпадения прямых (3.19) можно записать в виде

 

Условие коллинеарности двух прямых (3.19) можно записать в виде

 

 

Пересекающиеся прямые

 

Необходимым и достаточным условием пересечения двух прямых (3.19) является условие неколлинеарности их нормалей, или, что то же самое, условие непропорциональности коэффициентов при неизвестных:

 

или

При этом условии система уравнений

 

имеет единственное решение , которое определяет точку пересечения прямых (3.19).

 

Угол между прямыми

 

Углом между двумя прямыми на плоскости называется угол между их направляющими векторами. По этому определению получаются не один угол, а два смежных угла, дополняющих друг друга до . В элементарной геометрии из двух смежных углов, как правило, выбирается меньший, т.е. величина угла между двумя прямыми удовлетворяет условию .

 

 

Если и направляющие векторы прямых и соответственно (рис.3.23,а), то величина угла между этими прямыми вычисляется по формуле:

 

Чтобы получить величину острого угла между прямыми, нужно правую часть взять по абсолютной величине:

 

Угол между прямыми (3.19) можно вычислить как угол между их нормалями и :

 

Чтобы получить величину острого угла между прямыми, нужно правую часть взять по абсолютной величине:

 

Необходимым и достаточным условием перпендикулярности прямых (3.19) является условие ортогональности их нормалей, т.е. :

 

 

По формуле (3.22) получаем острый угол между прямыми (3.19), если (рис.3.23,а), и тупой в противном случае: (рис.3.23,6). Другими словами, по формуле (3.22) находится тот угол между прямыми, в котором лежат точки, принадлежащие разноименным полуплоскостям, опреляемым данными прямыми. На рис.3.23 положительные и отрицательные полуплоскости отмечены знаками плюс или минус соответственно.

 

Если прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами:

 

 

то угол между ними (один из смежных углов) находится по формуле

 

 

Если правая часть (3.23) положительна, то угол острый (рис.3.24), в противном случае - тупой. Чтобы получить острый угол , нужно правую часть (3.23) взять по абсолютной величине:

 

 

Если (условие параллельности прямых), то . Если (условие перпендикулярности прямых), то правая часть (3.23) не определена . Тогда полагают, что .

Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между

Плоскостями.)

??? Плоскость в пространстве

План лекции

1. Уравнение плоскости. Полное и неполные уравнения плоскости.

2. Частные случаи уравнения плоскости.

3. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости.

4. Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве.

 

1. Уравнение плоскости. Полное и неполные уравнения плоскости.

Всякая плоскость в пространстве, снабженном декартовой системой координат, есть множество вех точек, удовлетворяющих некоторому линейному уравнению вида:

(1)

Обратно, множество всех точек ,являющихся решениями произвольного уравнения (1), есть плоскость.

(1) – общее уравнение плоскости.

Пусть точка лежит в плоскости (1), тогда выполняется равенство: (2)

Вычтем (2) из (1):

Следовательно, векторы и ортогональны. Таким образом, вектор является нормалью к плоскости (1) и называется нормальным вектором плоскости.

Неполные уравнения плоскости:

А) - уравнение плоскости, проходящей через начало координат;

Б) - уравнение плоскости, параллельной оси ;

В) - уравнение плоскости, параллельной оси ;

Г) - уравнение плоскости, параллельной оси ;

Д) - уравнение плоскости, параллельной координатной плоскости ;

Е) - уравнение плоскости, параллельной координатной плоскости ;

Ж) - уравнение плоскости, параллельной координатной плоскости .

2. Частные случаи уравнения плоскости.

Всякую плоскость в пространстве можно задать, указав какую – ни будь ее точку и два произвольных приложенных к этой точке неколлинеарных вектора:

и .

Прилагая векторы и к точке , получим всевозможные закрепленные векторы вида , где - произвольные вещественные числа; концы этих векторов и заполняют плоскость, проходящую через точку и два приложенных к ней вектора .

В координатной форме уравнение (3) записывается так:

(4)

(4) – параметрическое уравнение плоскости.

Уравнение (4) выражают линейную зависимость столбцов матрицы

Что эквивалентно равенству:

(5)

Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через три данные точки: ; ; .

Решение. Искомая плоскость содержит точку и неколлинеарные векторы:

и , следовательно, ее уравнение можно записать в виде (5):

Если все коэффициенты уравнения (1) отличны от нуля, тогда его можно записать в виде:

Или

(6)

Где ; ; .

(6) – уравнение плоскости в отрезках, т.к. числа - алгебраические значения отрезков, отсеченных плоскостью (1) на осях координат.

3. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости.

Пусть дана плоскость . Проведем через начало координат прямую , будем называть эту прямую нормалью; точка - пересечение плоскости и нормали . Обозначим через углы, которые составляет вектор с осями координат; . Выведем уравнение плоскости , считая известными . Для этого возьмем на плоскости произвольную точку , тогда , отсяда

Или

(7)

(7) – нормальное уравнение плоскости.

Теорема. Расстояние от точки до плоскости вычисляется по формуле:

Доказательство. Спроектируем точку на нормаль ; - ее проекция, тогда или , но ; , следовательно,

Теорема доказана.

Если плотность задана общим уравнением (1), то расстояние от точки до этой плоскости находится по формуле:

4. Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве.

Пусть в пространстве даны две плоскости и :

Соответствующие им векторы нормали имеют вид

,

Плоскости в пространстве могут быть параллельны, совпадать, перпендикулярны и, наконец, пересекаться под произвольным углом.

Рассмотрим эти случаи.

А) Плоскости и параллельны, следовательно, , т.е. .

Б) Плоскости и совпадают, следовательно, уравнения, их описывающие, эквивалентны, т.е. .

В) Плоскости пересекаются под прямым углом, тогда и , т.е. .

Г) Плоскости пересекаются под произвольным углом; найдем этот угол. За угол между плоскостями принимается угол между любыми двумя перпендикулярными к ним векторами, следовательно, это будет угол между нормалями и , а его можно вычислить по формуле:

 

 

УГОЛ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ

Рассмотрим две плоскости α₁ и α₂, заданные соответственно уравнениями:

Под углом между двумя плоскостями будем понимать один из двугранных углов, образованных этими плоскостями. Очевидно, что угол между нормальными векторами и плоскостей α₁ и α₂ равен одному из указанных смежных двугранных углов или . Поэтому . Т.к. и , то

.

Пример. Определить угол между плоскостями x +2 y -3 z +4=0 и 2 x +3 y + z +8=0.