Понятие линейного векторного пространства.Аксиомы векторного пространства.

1.Множество векторов это:совокупность однородных объектов,обладающих некоторым общим свойством.

2.Множество W элементов x,y,z-наз-ся линейным пространством,если по некоторому правилу:

1)Любым двум элементам x и y из множества W поставлен в соот-е элемент из множества W1 обозначаемый x+y и называемый суммой;

2)Любому элементу x из множ. W поставлен в соот-е элемент из множ. W1,обозначаемый (дельта x- ^x),называемый произведением числа x на x1,причем справедливы след.аксиомы лин.пространства:

1.x+y=y+x;

2.(x+y)+z=x+(y+z);

3.^(x+y)=^x+^y;

4.(^+M)x=^x+Mx;

5.^(Mx)=(^M)x;

6.Существует элемент,называемый единичный элементом такой,что выполняется правило:1*x=x;

7.Существует такой нулевой элемент,что 0+x=x;

8.Для каждого элемента x сущ-ет противоположный элем-т (-x) такой,что выполняется равенство x+(-x)=0;

Если элементами множ.W,которое удовл. двум правилам и 8 аксиомам,явл-ся вектора,то в этом случае множ.W наз-ся лин.век.простр.

Линейная зависимость и независимость векторов.Свойства линейно зависимости векторов.

Линейная зависимость векторов-любой вектор набора a1,a2…an может быть представлен как линейная комбинация остальных векторов набора.Рассм равенство:

c1a1+c2a2+…+cnan=0

c1a1=-c2a2-c3a3-…-cnan/:c1

a1=(-c2:c1)a2+(-c3:c1)a3+…+(-cn:c1)an

Это равенство показывает,что вектор a1 явл-ся линейной комбинацией оставшихся векторов.Аналогично можно представить все ост.векторы набора a1,a2…an.

Размерность векторного простр-ва.Базис векторного пространства.

Векторное пространство наз-ся n-мерным,если среди множ-ва его векторов найдётся n линейно независимых и любых n+1 векторов уже окажутся линейнозависимыми.

Опр-е.Упорядоченная совокупность n линейнонезависимых векторов n-мерного векторного пространства,наз-ся базисом этого пространства.

Рассм.простр-во R^2:

a=(a1a2)-множ.двумерных векторов.В этом простр-ве есть базис:

e1=(1,0);e2=(0,1); Т.к. базис-линнезав. сист.векторов,то любой вектор из простр-ва R^2 может быть представлен,как линейная комбинация базисных векторов.

Рассм. прост-во R^3:

e1=(1,0,0);e2=(0,1,0);e3=(0,0,1)----базис прост-ва R^3

Базис векторного прост-ва.Разложение вектора по базису.

Опр-е.Упорядоченная совокупность n линейнонезависимых векторов n-мерного векторного пространства,наз-ся базисом этого пространства.

Рассм.простр-во R^2:

a=(a1a2)-множ.двумерных векторов.В этом простр-ве есть базис:

e1=(1,0);e2=(0,1); Т.к. базис-линнезав. сист.векторов,то любой вектор из простр-ва R^2 может быть представлен,как линейная комбинация базисных векторов.

Рассм. прост-во R^3:

e1=(1,0,0);e2=(0,1,0);e3=(0,0,1)----базис прост-ва R^3

Теорема(о разложении вектора по базису):Каждый вектор линейного простр-ва можно представить,и при том единственным образом,в виде линейной комбинации векторов базиса.

Пусть a1,a2…an-это вектора,которые образуют базис,это сист. линнезав. векторов.Возьмём некот.вектор x,тогда x,a1,a2…an-линейнозависимы,а значит,по опр-ю,найдутся числа c,c1,c2…cn такие,что cx+c1a1+c2a2+…cnan=0.Разделим обе части равенства на коэф. с и получим: x=(-c1:c)a1+(-c2:c)a2+…+(-cn:c)an. Оно означает,что вектор x есть линейная комбинация базисных векторов.Это равенство наз-ся разложением вектора x по базису a1,a2…an.

Теорема о дополнении до базиса.

Пусть векторы a1,a2…an линейного прост-ва размерности W-линнезав.,причем k<n.Тогда в прост-ве W найдутся векторы ak+1,ak+2…an такие,что совокупность векторов a1,a2…ak,ak+1,ak+2…an будет явл-ся базисом прост-ва W.

Евклидово прост-во.Отображения.Образ,ядро,дефект отображения.

Линейное векторное прост-во W наз-ся Евклидовым,если любым двум векторам x и y из прост-ва W ставится в соот-е число,называемое скаляр. произ-ем,причём выполняется след.условие:

xy=(x1y)=x1y1+x2y2+…+xnyn

1.xy=yx;2.(x+y)z=xz+yz;3.(^x)y=^(xy);4.x*x>0,если x ненулевой вектор;5.x*x=0,если x нулевой вектор.

Пусть даны Rⁿ₁ Rᵐ₂.

Опред.: Отображением лин.пространства Rⁿ₁ в лин.пространство Rᵐ₂ - наз-ся правило Р~ по которому каждому элементу R₁ ставится в соответствие элемент из пространства R₂.

у=р~(х)

Элементом пространства может быть скаляр,Ю вектор, матрица. Частным случаем отображения явл-ся функция.

Опред.: Отображ-е наз-ся линейным, если для любого элемента х и любого числа λ выполн-ся соотношения:

1. р~(х1+х2)=р~(х1)+р~(х2)

2. р~(λх1)=λр~(х1)

Замеч.: Если каждому вектору х ставится в соответ.вектор у=ԃх (ԃне равна 0), то говорят,что задано отображ-е подобия.

Если матрице Хn*1 (матрица столбец) из пространства Rⁿ*¹ ставится в соответствие матрица столбец Уm*1 из пространства Rᵐ*¹, то задано отобр-е пространства столбцов n*1 в пространство столбцов m*1.

Y m*1 = P m*n *X m*1

Опред.: Линейные отбраж-я р1~, р2~ наз-ся равными, если для любого элемента x из пространства Rᵐ выполняется равенство р1~(х)=р2~(х).

Опред.: Образом imP~ отображения Р~ наз-ся множество всех элементов из пространства Rᵐ для каждого из которых найдется элемент Х из простр. Rⁿ такой, что Р~(х)=у.

Опред.: Рангом лин.отображения наз-ся размерность образа этого отобр-я.

Опред.: Ядром лин.отображения наз-ся множество элем. х принадлеж. простр. R1, каждый из которых отображением Р~ переводится в нулевой элемент пространства Rᵐ.

Опред.: Деффектом лин.отображ-я наз-ся размерность ядра этого отображ-я.

Понятие матрицы.Виды матриц.Операции над матрицами.

Матрицей размерности m*n наз-ся прям-ая таблица чисел,содерж-я m строк и n столбцов.Числа,составляющие матрицу наз-ся элементами матрицы и обознаются aij: i-номер строки,j-номер столбца,на пересечении которых стоит это элемент.

Виды:
Матрица,все элементы которой=0,наз-ся нулевой матрицей.

Матрица,сост. из 1 строки наз-ся матрицей-строкой A=(a11,a12..a1n)

Матрица,сост. из 1 столбца наз-ся матрицей-столбцом A=(a11)(a21)…(an1).

Матрица,у которой число строк совпадает с числом столбцов,наз-ся квадратной матрицей.

 

Матрица,у которой все недиагон.элементы равны 0,наз-ся диагон.матрицей.A=(100)

(020)

(003)

Квадратичная матрица,у которой на глав.диагонали стоят единицы,а все ост.элементы нули,наз-ся единичной матрицей.

E=(100)

(010)

(001)

Квадратичная матрица,у которой все элементы выше или ниже глав.диагонали=0,наз-ся треугольной матрицей.A=(123)

(034)

(005)

Матрица,сост-ая из двух матриц,наз-ся расши-ой матрицей.C=(A/B).

Операции над матрицами:

1.Две матрицы один-ой размерности Am*n, Bm*n наз-ся равными,если равны соот-щие элементы aij=bij.

2.Умнож-е матрицы на число.При умнож. матрицы на k,все элементы матрицы умнож. на это число k.

3.Суммы двух матриц один.размерности Cm*n=Am*n+Bm*n,наз-ся новая матрица,элементы которой,есть суммы соот-щих эл-тов матриц A и B.

4.Произ-е матриц.При умнож. матрицы должно выполняться правило размерности:при умнож. м.A на м.B число столбцов м.A должно совпадать с числом строк м.B.

5.Транспонирование.При транс-и мат.Am*n происходит переход к матрице A^T,у которой строки и столбцы меняются местами Am*n^T.

Понятие определителя квадратной матрицы,его свойства.

Каждой кавдратной матрице Am*n=An поставим в соот-е число,назовем его определителем квадратной матрицы /A/=det(A)=дельтаA. Это число вычисляется по след. правилу:

1)Если матрица состоит из одного числа,то ее определитель=самому числу

2)Определитель матрицы второго порядка-это разность произ-й диаг.элементов.

Опр-е.Пусть дана квадратная матрица порядка n,ее элементами явл-ся числа I и j. Минором эл. I и j наз-ся определитель MIj,полученный из определителя м.A,вычеркиванием i-той строки и j-того столбца.

Опр-е.Алгебраическим дополнением aij квад. Матрицы Aij наз-ся число,равное Aij=(-1)^ij * Mij/

Свойства:

1.Определитель с нулевой строкой или нулевым столбцом=0.

2.При умнож.опред-ля на число K какая либо одна строка или один столбец умнож. на это число.

3.При транспон-и матрицы величина опред-ля не меняется.

4.При перестановке строк или столбцов величина опр-ля меняет свой знак на противоположный.

5.Опред-ль с двумя один. строками или двумя один. столбцами=0.

6.Опред-ль с двумя пропорц.строками(столбцами)=0.

7.Если эл-ты какой-либо строки(столбца) можно представить как сумму 2-ух слагаемых,то и сам опред-ль можно предст.как сумму двух опред-лей.

8. Величина опред-ля не меняется,если к эл-там одной строки прибавить соот. эл-ты другой строки умнож.на некоторое число.

9.Сумма произ-й эл-тов одной строки на алгебр.дополнение к эл-там др.строки матрицы=0.(ai1Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn=0).

10.Опред-ль произ-я равен произ-ю определителей(/AB/=/A/*/B/).