![]() Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву ![]() Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Понятие линейного векторного пространства.Аксиомы векторного пространства.Содержание книги
Поиск на нашем сайте
1.Множество векторов это:совокупность однородных объектов,обладающих некоторым общим свойством. 2.Множество W элементов x,y,z-наз-ся линейным пространством,если по некоторому правилу: 1)Любым двум элементам x и y из множества W поставлен в соот-е элемент из множества W1 обозначаемый x+y и называемый суммой; 2)Любому элементу x из множ. W поставлен в соот-е элемент из множ. W1,обозначаемый (дельта x- ^x),называемый произведением числа x на x1,причем справедливы след.аксиомы лин.пространства: 1.x+y=y+x; 2.(x+y)+z=x+(y+z); 3.^(x+y)=^x+^y; 4.(^+M)x=^x+Mx; 5.^(Mx)=(^M)x; 6.Существует элемент,называемый единичный элементом такой,что выполняется правило:1*x=x; 7.Существует такой нулевой элемент,что 0+x=x; 8.Для каждого элемента x сущ-ет противоположный элем-т (-x) такой,что выполняется равенство x+(-x)=0; Если элементами множ.W,которое удовл. двум правилам и 8 аксиомам,явл-ся вектора,то в этом случае множ.W наз-ся лин.век.простр. Линейная зависимость и независимость векторов.Свойства линейно зависимости векторов. Линейная зависимость векторов-любой вектор набора a1,a2…an может быть представлен как линейная комбинация остальных векторов набора.Рассм равенство: c1a1+c2a2+…+cnan=0 c1a1=-c2a2-c3a3-…-cnan/:c1 a1=(-c2:c1)a2+(-c3:c1)a3+…+(-cn:c1)an Это равенство показывает,что вектор a1 явл-ся линейной комбинацией оставшихся векторов.Аналогично можно представить все ост.векторы набора a1,a2…an. Размерность векторного простр-ва.Базис векторного пространства. Векторное пространство наз-ся n-мерным,если среди множ-ва его векторов найдётся n линейно независимых и любых n+1 векторов уже окажутся линейнозависимыми. Опр-е.Упорядоченная совокупность n линейнонезависимых векторов n-мерного векторного пространства,наз-ся базисом этого пространства. Рассм.простр-во R^2: a=(a1a2)-множ.двумерных векторов.В этом простр-ве есть базис: e1=(1,0);e2=(0,1); Т.к. базис-линнезав. сист.векторов,то любой вектор из простр-ва R^2 может быть представлен,как линейная комбинация базисных векторов. Рассм. прост-во R^3: e1=(1,0,0);e2=(0,1,0);e3=(0,0,1)----базис прост-ва R^3 Базис векторного прост-ва.Разложение вектора по базису. Опр-е.Упорядоченная совокупность n линейнонезависимых векторов n-мерного векторного пространства,наз-ся базисом этого пространства. Рассм.простр-во R^2: a=(a1a2)-множ.двумерных векторов.В этом простр-ве есть базис:
e1=(1,0);e2=(0,1); Т.к. базис-линнезав. сист.векторов,то любой вектор из простр-ва R^2 может быть представлен,как линейная комбинация базисных векторов. Рассм. прост-во R^3: e1=(1,0,0);e2=(0,1,0);e3=(0,0,1)----базис прост-ва R^3 Теорема(о разложении вектора по базису):Каждый вектор линейного простр-ва можно представить,и при том единственным образом,в виде линейной комбинации векторов базиса. Пусть a1,a2…an-это вектора,которые образуют базис,это сист. линнезав. векторов.Возьмём некот.вектор x,тогда x,a1,a2…an-линейнозависимы,а значит,по опр-ю,найдутся числа c,c1,c2…cn такие,что cx+c1a1+c2a2+…cnan=0.Разделим обе части равенства на коэф. с и получим: x=(-c1:c)a1+(-c2:c)a2+…+(-cn:c)an. Оно означает,что вектор x есть линейная комбинация базисных векторов.Это равенство наз-ся разложением вектора x по базису a1,a2…an. Теорема о дополнении до базиса. Пусть векторы a1,a2…an линейного прост-ва размерности W-линнезав.,причем k<n.Тогда в прост-ве W найдутся векторы ak+1,ak+2…an такие,что совокупность векторов a1,a2…ak,ak+1,ak+2…an будет явл-ся базисом прост-ва W. Евклидово прост-во.Отображения.Образ,ядро,дефект отображения. Линейное векторное прост-во W наз-ся Евклидовым,если любым двум векторам x и y из прост-ва W ставится в соот-е число,называемое скаляр. произ-ем,причём выполняется след.условие: xy=(x1y)=x1y1+x2y2+…+xnyn 1.xy=yx;2.(x+y)z=xz+yz;3.(^x)y=^(xy);4.x*x>0,если x ненулевой вектор;5.x*x=0,если x нулевой вектор. Пусть даны Rⁿ₁ Rᵐ₂. Опред.: Отображением лин.пространства Rⁿ₁ в лин.пространство Rᵐ₂ - наз-ся правило Р~ по которому каждому элементу R₁ ставится в соответствие элемент из пространства R₂. у=р~(х) Элементом пространства может быть скаляр,Ю вектор, матрица. Частным случаем отображения явл-ся функция. Опред.: Отображ-е наз-ся линейным, если для любого элемента х и любого числа λ выполн-ся соотношения: 1. р~(х1+х2)=р~(х1)+р~(х2) 2. р~(λх1)=λр~(х1) Замеч.: Если каждому вектору х ставится в соответ.вектор у=ԃх (ԃне равна 0), то говорят,что задано отображ-е подобия. Если матрице Хn*1 (матрица столбец) из пространства Rⁿ*¹ ставится в соответствие матрица столбец Уm*1 из пространства Rᵐ*¹, то задано отобр-е пространства столбцов n*1 в пространство столбцов m*1. Y m*1 = P m*n *X m*1
Опред.: Линейные отбраж-я р1~, р2~ наз-ся равными, если для любого элемента x из пространства Rᵐ выполняется равенство р1~(х)=р2~(х). Опред.: Образом imP~ отображения Р~ наз-ся множество всех элементов из пространства Rᵐ для каждого из которых найдется элемент Х из простр. Rⁿ такой, что Р~(х)=у. Опред.: Рангом лин.отображения наз-ся размерность образа этого отобр-я. Опред.: Ядром лин.отображения наз-ся множество элем. х принадлеж. простр. R1, каждый из которых отображением Р~ переводится в нулевой элемент пространства Rᵐ. Опред.: Деффектом лин.отображ-я наз-ся размерность ядра этого отображ-я. Понятие матрицы.Виды матриц.Операции над матрицами. Матрицей размерности m*n наз-ся прям-ая таблица чисел,содерж-я m строк и n столбцов.Числа,составляющие матрицу наз-ся элементами матрицы и обознаются aij: i-номер строки,j-номер столбца,на пересечении которых стоит это элемент. Виды: Матрица,сост. из 1 строки наз-ся матрицей-строкой A=(a11,a12..a1n) Матрица,сост. из 1 столбца наз-ся матрицей-столбцом A=(a11)(a21)…(an1). Матрица,у которой число строк совпадает с числом столбцов,наз-ся квадратной матрицей.
Матрица,у которой все недиагон.элементы равны 0,наз-ся диагон.матрицей.A=(100) (020) (003) Квадратичная матрица,у которой на глав.диагонали стоят единицы,а все ост.элементы нули,наз-ся единичной матрицей. E=(100) (010) (001) Квадратичная матрица,у которой все элементы выше или ниже глав.диагонали=0,наз-ся треугольной матрицей.A=(123) (034) (005) Матрица,сост-ая из двух матриц,наз-ся расши-ой матрицей.C=(A/B). Операции над матрицами: 1.Две матрицы один-ой размерности Am*n, Bm*n наз-ся равными,если равны соот-щие элементы aij=bij. 2.Умнож-е матрицы на число.При умнож. матрицы на k,все элементы матрицы умнож. на это число k. 3.Суммы двух матриц один.размерности Cm*n=Am*n+Bm*n,наз-ся новая матрица,элементы которой,есть суммы соот-щих эл-тов матриц A и B. 4.Произ-е матриц.При умнож. матрицы должно выполняться правило размерности:при умнож. м.A на м.B число столбцов м.A должно совпадать с числом строк м.B. 5.Транспонирование.При транс-и мат.Am*n происходит переход к матрице A^T,у которой строки и столбцы меняются местами Am*n^T. Понятие определителя квадратной матрицы,его свойства. Каждой кавдратной матрице Am*n=An поставим в соот-е число,назовем его определителем квадратной матрицы /A/=det(A)=дельтаA. Это число вычисляется по след. правилу: 1)Если матрица состоит из одного числа,то ее определитель=самому числу 2)Определитель матрицы второго порядка-это разность произ-й диаг.элементов. Опр-е.Пусть дана квадратная матрица порядка n,ее элементами явл-ся числа I и j. Минором эл. I и j наз-ся определитель MIj,полученный из определителя м.A,вычеркиванием i-той строки и j-того столбца. Опр-е.Алгебраическим дополнением aij квад. Матрицы Aij наз-ся число,равное Aij=(-1)^ij * Mij/ Свойства: 1.Определитель с нулевой строкой или нулевым столбцом=0. 2.При умнож.опред-ля на число K какая либо одна строка или один столбец умнож. на это число. 3.При транспон-и матрицы величина опред-ля не меняется. 4.При перестановке строк или столбцов величина опр-ля меняет свой знак на противоположный. 5.Опред-ль с двумя один. строками или двумя один. столбцами=0. 6.Опред-ль с двумя пропорц.строками(столбцами)=0. 7.Если эл-ты какой-либо строки(столбца) можно представить как сумму 2-ух слагаемых,то и сам опред-ль можно предст.как сумму двух опред-лей.
8. Величина опред-ля не меняется,если к эл-там одной строки прибавить соот. эл-ты другой строки умнож.на некоторое число. 9.Сумма произ-й эл-тов одной строки на алгебр.дополнение к эл-там др.строки матрицы=0.(ai1Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn=0). 10.Опред-ль произ-я равен произ-ю определителей(/AB/=/A/*/B/).
|
|||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-09-20; просмотров: 343; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.143.205.184 (0.008 с.) |