Смешанное произведение векторов.

Определение. Смешанным произведением упорядоченной тройки векторов называется скалярное произведение первого вектора навекторное произведение второго вектора на третий и обозначается

.

Теорема. (Геометрический смысл смешанного произведения.)

1) Модуль смешанного произведения трех векторов численно равен объему параллелепипеда, построенного на трех данных векторах, как на его ребрах:

.

2), если тройка – правоориентированная и в противном случае.

Доказательство. 1) Обозначим через объем параллелепипеда, построенного на данных векторах, как на его ребрах.

 

рис.3.

Объем параллелепипеда V равен произведению площади основания S на высоту Н:.

Площадь основания S численно равна модулю векторногопроизведения:, а высота Н равна модулю проекции вектора на вектор:

.

Отсюда получаем:

, ч.т.д.

2) Так как

, где, то знак смешанного произведениязависит от угла. Если он острый, то смешанное произведение и, если угол – тупой. А это зависит, в свою очередь, от ориентации тройки векторов. На рисунке 3 изображена правая тройка векторов. Если смотреть со стороны третьего вектора , то кратчайший поворот первого вектора ко второму осуществляется против часовой стрелки. В этом случае угол – острый и. Если же тройка – левая, то конец вектора будет лежать нижеплоскости векторов и (по сравнению с рис.3) и угол будет тупым и, ч.т.д.

Теорема доказана.

Будем говорить, что тройки векторов и получились из тройки с помощью круговой перестановки векторов. В первом случае третий вектор переставляется на первое место, а векторы и сдвигаются вправо на второе и третье места соответственно. Во втором случае, первый вектор переставляется на третье место, авекторы и сдвигаются влево на первое и второе места соответственно. Заметим, что при круговой перестановке векторов ни один из них не остается на своем месте.

Если же в тройке векторов меняются местами только два вектора, а один из векторов остается на своем месте, то такую перестановку мы будем называть не круговой перестановкой (или транспозицией). Так тройки,, получаются из тройки транспозицией векторов. Так, например, в тройке остался на третьем месте вектор .

Любую тройку векторов можно упорядочить 6-ю способами. Из них три тройки будут правыми и три тройки будут левыми.

Если тройка правая (как на рис.3), то правыми будут и тройки полученные из нее круговой перестановкой: и. В то же время, тройка будет левой и левой же будут тройки, полученные из нее круговой перестановкой: и.

Лемма. Круговая перестановка в тройке векторов не изменяет ее ориентации, а транспозиция векторов изменяет ориентацию тройки на противоположную.

Доказательство проведите самостоятельно с использованием соответствующих картинок.

1);

2);

3).

Доказательство. 1) По модулю все эти смешанные произведения равны друг другу, т.к. параллелепипед, построенный на данных трех векторах, как его ребрах, не зависит от того, в каком порядке мы записываем его ребра и, соответственно, не изменяется его объем.

2) Знак смешанного произведения упорядоченной тройки векторов зависит от ее ориентации, которая не меняется при круговой перестановке и меняется при транспозиции, откуда и следуют доказываемые равенства.

3) Воспользуемся уже доказанным равенством, определением смешанного произведения и свойством коммутативности скалярногопроизведения:

.

Следствие доказано.

 

-26-

Пусть в пространстве даны два вектора и . Отложим от произвольной точки O векторы и . Углом между векторами и называется наименьший из углов . Обозначается . Рассмотрим ось l и отложим на ней единичный вектор (т.е. вектор, длина которого равна единице). Под углом между вектором и осью l понимают угол между векторами и . Итак, пусть l – некоторая ось и – вектор. Обозначим через A1 и B1 проекции на ось l соответственно точек A и B. Предположим, что A1 имеет координату x1, а B1 – координату x2 на оси l. Тогда проекцией вектора на ось l называется разность x1 – x2 между координатами проекций конца и начала вектора на эту ось. Проекцию вектора на ось l будем обозначать . Ясно, что если угол между вектором и осью l острый, то x2 > x1, и проекция x2 – x1 > 0; если этот угол тупой, то x2 < x1 и проекция x2 – x1 < 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси l, то x2 = x1 и x2 – x1 = 0. Таким образом, проекция вектора на ось l – это длина отрезка A1B1, взятая с определённым знаком. Следовательно, проекция вектора на ось это число или скаляр. Аналогично определяется проекция одного вектора на другой. В этом случае находятся проекции концов даного вектора на ту прямую, на которой лежит 2-ой вектор. Рассмотрим некоторые основные свойства проекций. 1. Проеция вектора на ось l равна произведению модуля вектора на косинус угла между вектором и осью: Доказательство. Ясно, что проекция вектора не изменится при его параллельном переносе, поэтому достаточно рассмотреть случай, когда начало вектора совпадает с началом отсчёта O оси l. Так как координата проекции начала равна нулю, то обозначим . 1. Если угол φ острый, то из прямоугольного получаем . Откуда или 2. Если угол φ тупой, то x < 0, . Тогда из или . Т.е. . 2. Проекция суммы двух векторов на ось равна сумме проекций векторов на ту же ось: . Доказательство. Пусть . Обозначим через x1, x2 и x3 координаты проекций A1, B1, C1 на ось l точек A, B и C. Тогда . Но . Это свойство можно обобщить на случай любого числа слагаемых. 3. Если вектор умножается на число λ, то его проекция на ось также умножается на это число: . Доказательство. Пусть угол между вектором и осью . Если λ > 0, то вектор имеет то же направление, что и , и составляет с осью такой же угол . При λ > 0 . Если же λ < 0, то и имеют противоположные направления и вектор составляет с осью угол π – φ и . Следствие. Проекция разности двух векторов на ось равна разности проекций этих векторов на ту же ось.

Коллинеарные и компланарные векторы

Определение. Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Определение. Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.

Коллинеарные векторы всегда компланарны, но не все компланарные векторы коллинеарны.

Определение. Векторы называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые модули.

Всякие векторы можно привести к общему началу, т.е. построить векторы, соответственно равные данным и имеющие общее начало. Из определения равенства векторов следует, что любой вектор имеет бесконечно много векторов, равных ему.

-27-

Общее уравнение прямой

Общее уравнение прямой линии на плоскости в декартовых координатах:

где A, B и C — произвольные постоянные, причем постоянные A и B не равны нулю одновременно. Вектор с координатами (A, B)называется нормальным вектором и он перпендикулярен прямой. Вектор с координатами (-B,A) или (B,-A) называется направляющим вектором.

При C = 0 прямая проходит через начало координат. Также уравнение можно переписать в виде: