Системы линейных неоднородных уравнений (СЛНУ)

Рассмотрим систему неоднородных уравнений

(7.4)

Пусть .

Пусть – решение этой системы, т.е. (7.5)

Вычитая из (7.4) выражение (7.5), получим:

.

является решением соответствующего однородного уравнения.

Согласно (7.3) .

В нашем случае или (7.4).

Таким образом:

 

Теорема 7.2

Общее решение представляется в виде суммы произвольного частного решения этой системы и общего решения соответствующей ей однородной системы.

Следствие 1

Разность двух произвольных решений систем линейных неоднородных уравнений является решением соответствующей системы линейных однородных уравнений.

Следствие 2

Сумма любого частного решения системы линейных неоднородных уравнений с любым частным решением соответствующей системы линейных однородных уравнений дает частное решение системы линейных неоднородных уравнений.

Замечание 2. В формуле (5.5) - частное решение системы.

Пример 7.2

 

 

,

Матричные уравнения

1. Рассмотрим матричное уравнение

A · X = B,

где A — квадратная невырожденная (det A ≠ 0) матрица порядка n, B — матрица размера n × m и X — неизвестная матрица.

Так как матрица A — невырожденная, то существует обратная матрица A⁻¹. Умножим обе части уравнения слева (операция умножения матриц некоммутативна!) на матрицуA⁻¹. По определению обратной матрицы, получим

(A^−1 · A) · X = A^−1 · B Þ E · X = A^−1 · B Þ X = A^−1 · B.

Таким образом, искомое решение матричного уравнения определяется формулой

X = A^−1 · B

Обратите внимание на то, что количество строк матрицы B должно быть равно порядку матрицы A.

2. Рассмотрим матричное уравнение

X · A = B,

где A — квадратная невырожденная (det A ≠ 0) матрица порядка n, B — матрица размера m × n и X — неизвестная матрица.

Так как матрица A — невырожденная, то существует обратная матрица A⁻¹. Умножим обе части уравнения справа на матрицу A⁻¹. По определению обратной матрицы, получим

X · (A · A^−1) = B · A^−1 Þ X · E = B · A^−1 Þ X = B · A^−1.

Таким образом, искомое решение матричного уравнения:

X = B · A^−1.

Обратите внимание на то, что количество столбцов матрицы B должно быть равно порядку матрицы A.

Решить матричное уравнение.

Записываем в матричном виде AX=B

Равенство AX=B обычно называют матричным уравнением, и если матрица А невырожденная, то можно найти решение уравнения AX=B с помощью обратной матрицы А ^-1

Пусть |А| 0. Умножая обе части AX=B на А ^-1 слева, получим А ^-1 (AX) = А ^-1 B,

откуда A ^-1 (AX) = (A ^-1 A) X = EX = А^-1 B

или X = А ^-1 B.

Последнее равенство даёт нам все решения матричного уравнения

Для А ^-1

det |А| = 4 (11) + 3 (4) + 18 (-3) = 44 + 12 - 54 = 56 - 54 = 2

Вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы А:

A₁₁ = 11 A₁₂ = -4 A₁₃ = -3

A₂₁ = -3 A₂₂ = 2 A₂₃ = 1

A₃₁ = -36 A₃₂ = 12 A₃₃ = 10

X = А ^-1 B

x₁ = 3, x₂ = -1, x₃ = 1, x₄ = 7, x₅ = 2, x₆ = -1

-17-

 

-18-

-19-

------

-20-

Векторы. Линейные операции над векторами. Проекция вектора на ось. Декартовы координаты векторов и точек.Скалярное произведение векторов, его основные свойства, координатное выражение.

Определение 5.1. Вектором называется направленный отрезок.

Обозначения: a, ¯a, ¯AB.

Определение 5.2. Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Вектор называется нулевым, если его начальная и конечная точки совпадают. Нулевой вектор не имеет определенного направления.

Определение 5.3. Два вектора называются равными,если они коллинеарны, имеют одинаковую длину (модуль) и одинаковое направление.

Замечание.Таким образом, мы изучаем так называемые свободные векторы, начальная точка которых может быть выбрана произвольно. Векторы, для которых важна точка приложения, называются присоединенными (связанными) и используются в некоторых разделах физики.

Линейные операции над векторами

Суммой двух векторов и называется вектор, который идет из начала вектора в конец вектора при условии, что вектор приложен к концу вектора (правильно треугольника). Построение суммы изображено на рис. 1.

Наряду с правилом треугольника часто пользуются (равносильным ему) правилом параллелограма: если векторы и приведены к общему началу и на них построен параллелограмм, то сумма есть вектор, совпадающий с диагональю этого паралеллограмма, идущей из общего начала и (рис. 2). Отсюда сразу следует, что .

Сложение многих векторов производится при помощи последовательного применения правила треугольника (см. рис. 3, где изображено построение суммы четырех векторов , , , ).

Разность двух векторов и называется вектор, который в сумме с вектором составляет вектор . Если два вектора и приведены к общему началу, то разность их есть вектор, идущий из конца («вычитаемого») к концу («уменьшаемого»). Два вектора равной длины, лежащие на одной прямой и направленные в противоположные стороны, называются взаимно обратными: если один из них обозначен символом , то другой обозначается символом . Легко видеть, что . Таким образом, построение разности равносильно прибавлению к «уменьшаемому» вектора, обратного «вычитаемого».

Произведение (или также ) вектора на число называется вектор, модуль которого равен произведению модуля вектора на модуль числа ; он параллелен вектору или лежит с ним на одной прямой и направлен так же, как вектор , если - число положительное, и противоположно вектору , если - число отрицательное.

Сложение векторов и умножение вектора на число называются линейными операциями над векторами.

Имеют место следующие две основные теоремы о проекциях векторов:

1). Проекция суммы векторов на какую-нибудь ось равна сумме ее проекций на эту же ось:

2). При умножении вектора на число его проекция умножается на то же число:

.

В частности, если

, ,

то

,

и

.

Если , то для любого числа

.

Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными. Признаком коллинеарности двух векторов

, ,

является пропорциональность их координат:

.

Тройка векторов , , называется координатным базисом, если эти векторы удовлетворяют следующим условиям:

1). Вектор лежит на оси Ох, вектор - на оси Оу, вектор - на оси Oz;

2). Каждый из векторов , , направлен по своей оси в положительную сторону;

3). Векторы , , единичные, то есть , , .

Каким бы ни был вектор , он всегда может быть разложен по базису , , , то есть может быть представлен в виде

;

коэффициенты этого разложения являются координатами вектора (то есть X, Y, Z суть проекции вектора на координатные оси).