Определение линейной системы

В настоящей разработке основным объектом исследования является линейная стационарная система, которая описывается системой линейных дифференциальных уравнений следующего вида:

(1.1)

В этих уравнениях – векторы–столбцы размерности соответственно; – называется входом системы или управлением (управляющим воздействием); – выход системы или вектор выходных переменных (выходная величина); – состояние системы или вектор фазовых координат (траектория движения) системы. С другой стороны, – решение системы дифференциальных уравнений (1.1). Управление – это то, что мы можем изменять и выбирать по нашему усмотрению; – следствие этих изменений, наблюдаемое на выходе системы.

Матрицы имеют размерность, соответственно. Элементы этих матриц не зависят от времени, в этом случае система (1.1) называется стационарной.

Соотношение называется уравнением наблюдения линейной системы или уравнением выхода. Оно используется при решении задачи наблюдаемости. При исследовании вопросов устойчивости и управляемости системы это соотношение не учитывается.

Многие вопросы теории управления, связанные с изучением математического объекта, заданного соотношениями (1.1), не имеют аналогов в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Однако, прежде чем изучать математические свойства этого объекта, необходимо ввести терминологию и соответствующие понятия, которые устанавливали бы связь этой математической модели и реальных систем управления.

Множество значений вектора называется пространством состояний и обозначается . Для системы (1.1) совпадает с -мерным векторным пространством .

Вектор называется состоянием системы в момент времени , а координаты этого вектора относительно какого-либо базиса, выбранного в пространстве состояний, называют переменными состояния.

Через обозначим множество моментов времени, для которых рассматривается движение (1.1). Обычно совпадает с отрезком или с полуинтервалом .

Пространство пар называют обычно пространством событий или фазовым пространством. Точка называется событием или фазой системы (1.1). Пространство событий представляет собой множество .

Введем множество мгновенных значений управляющих воздействий . Заметим, что в качестве множества мгновенных значений управлений рассматривается, вообще говоря, неограниченное множество.

Говорят, что входное воздействие переводит (изменяет или преобразует) состояние в состояние . Под движением системы подразумевается изменение во времени ее состояния, т. е. функцию . Размерность линейной системы равна размерности ее пространства состояний, т. е. размерности пространства .

С учетом введенных понятий можно дать определение изучаемого математического объекта.

Определение. Линейной системой с непрерывным временем называется система, описываемая соотношениями (1.1), где при любом ; – постоянные матрицы размерности соответственно, – непрерывная функция времени.

Таким образом, термином линейная система обозначается линейная, конечномерная, динамическая система с непрерывным временем.

Отметим основные моменты идеализации реальных физических систем, допущенные в этом определении.

1. Предполагается, что матрицы системы точно известны. В реальных системах это выполняется редко. Как правило, можно говорить лишь о большей или меньшей степени точности задания этих матриц, а не об их точном знании. Итак, рассматриваются только детерминированные системы.

2. Рассматриваются линейные уравнения. Реальные системы описываются, как правило, нелинейными уравнениями. Однако, исследование линейных систем имеет важное значение по следующим причинам:

а) имеется много динамических систем, движение которых описывается с помощью линейных уравнений;

б) линейная теория имеет законченный вид, разработаны достаточно эффективные численные методы решения линейных задач;

в) с помощью линейной теории можно изучать нелинейные динамические системы в окрестности их номинальных траекторий.

Таким образом, линейная теория служит основой для изучения нелинейных систем.

Примеры систем управления и их

Математические модели

Реальные системы управления, как правило, достаточно сложны. Приведенные ниже примеры используются для иллюстрации основных задач теории управления. Поэтому рассматриваемые системы управления отличаются максимальной простотой и наглядностью.

Пример 1.1. Предположим, что некоторая материальная точка массы может двигаться только по прямой линии, вдоль которой на точку действует сила . Положение точки будем характеризовать координатой (рис. 1.1).

Пусть известно, что в начальный момент времени выполнены условия

(1.2)

и в течение всего движения этой точки сила удовлетворяет ограничению

. (1.3)

Можно поставить задачу: определить силу , под действием которой точка движется так, что из заданного состояния (1.2) к моменту времени перемещается в другое заданное состояние, например,

(1.4)

за минимально возможное время

. (1.5)

Согласно второму закону Ньютона уравнение движения точки можно представить в следующем виде:

. (1.6)

Точку , движение которой может изменяться за счет выбора внешней силы , будем рассматривать как пример управляемой системы. Величина является управляющим воздействием или управлением.

 

 

Поставленная задача называется задачей о быстродействии. При решении задач управления пользуются фазовыми координатами и фазовым пространством. В данном случае фазовыми координатами являются две переменные и , связанные с переменной равенствами

.

Фазовые координаты дают возможность записать граничные условия (1.2) и (1.4) в виде

(1.7)

а уравнение (1.6) в виде системы двух дифференциальных уравнений первого порядка

(1.8)

Точка с координатами на плоскости является фазовой точкой системы (рис. 1.2). С изменением времени точка изменяет свое положение и образует фазовую траекторию системы.

Пример 1.2.

Рассмотрим материальную точку массы , движущуюся в вертикальной плоскости в поле силы тяжести. Предположим, что в качестве управляющего воздействия к точке приложена реактивная сила , возникающая в результате отделения от нее частиц с элементарной массой . Тогда масса точки является величиной переменной и ее движение можно описать векторным уравнением Мещерского [7, с.25], которое соответствует второму закону Ньютона для точки с переменной массой

, (1.9)

где – вектор абсолютной скорости точки , , – неизменная часть массы точки, – реактивная масса точки; , – вектор относительной скорости отделяющейся частицы; – вес.

Проектируя уравнение (1.9) на горизонтальную и вертикальнуюоси координат, получим следующие уравнения движения:

(1.10)

где и – проекции вектора на оси и . Допуская, что абсолютная величина вектора задана и, вводя соответствующие обозначения, запишем систему уравнений (1.10) в нормальной форме

(1.11)

где , , – угол между вектором и осью (рис.1.3). В матричной форме система (1.11) запишется так:

, (1.12)

где

.