Задача максимального быстродействия

Для задачи о максимальном быстродействии, когда функционалом, минимум которого отыскивается, является время

,

уравнение для переменного отпадает и функция (4.3) принимает вид

.

Заметим, что задачу о минимуме любого функционала (4.2) можно свести к задаче о быстродействии, введя новую переменную и дополнительное уравнение

.

Пользуясь теоремой о максимуме, можно фактически определять оптимальные управления , доставляющие минимум функционалу (4.2) при учете уравнений связи (4.1).

Пример 4.1.

Пусть система управления описывается уравнениями вида

(4.9)

где – компоненты вектора управления, удовлетворяющие условиям .

Требуется решить задачу оптимального перевода этой системы из произвольной точки фазового пространства в начало координат.

Матрицы и в данном случае имеют вид

, .

Согласно критерию управляемости исходная система управляема. Можно применить принцип максимума, который в данном случае является необходимым и достаточным условием оптимальности, т.к. эта задача о максимальном быстродействии с начальным состоянием и конечным состоянием .

Построим решение указанной задачи оптимального управления в соответствии с принципом максимума. Функция здесь имеет вид

. (4.10)

Из условия максимума (4.6) получим

при ;

при . (4.11)

Функции , определяются как ненулевое решение сопряженной системы уравнений, которая в этом случае принимает вид

. (4.12)

Общее решение этой системы можно записать так:

,

где – произвольные постоянные.

Проанализируем полученный результат.

1) При и функция , а функция меняет знак, переходя от положительных значений к отрицательным. Отсюда, из (4.11), получаем:

; вначале равно +1, а затем –1.

2) При и : ; .

3) При и :

; вначале равно –1, а затем +1.

4) При и : ; .

5) При функция , поэтому в выражении (4.10) можно положить равным любому допустимому значению. Значение же управления в зависимости от знака постоянной может быть равно либо +1, либо –1. Таким образом, в этом случае – произвольное допустимое; .

Эти результаты позволяют заключить, что оптимальные траектории системы (4.9) можно построить при управлениях . Подставляя последовательно указанные управления в систему (4.9) и интегрируя ее, получим четыре семейства траекторий, из которых можно построить оптимальную траекторию, ведущую в начало координат. Например, подставляя в (4.9) , получим

откуда находим . После интегрирования этого уравнения определим семейство траекторий , одна из которых при проходит через начало координат. Полученное семейство траекторий изображено на рис. 4.1. На этом же рисунке пунктиром изображено семейство траекторий, соответствующее управлениям и .

 

Аналогично, подставляя в уравнения (4.9) управления и , а также и , после интегрирования получаем соответственно два семейства фазовых траекторий. Эти фазовые траектории изображены на рис. 4.2.

На всех семействах траекторий можно выделить те траектории, которые проходят через начало координат. Те части выделенных траекторий, которые оканчиваются в начале координат называются линиями переключений.

 

 

Эти линии представлены на рис. 4.3. На рисунке приняты следующие обозначения: линии соответствует часть фазовой траектории при и , линии – при и , линии – при и , линии – при и .

Изображающая точка, начальное положение которой не лежит на одной из линий переключения, должна перемещаться согласно принципу максимума вдоль одной из линий семейств траекторий в соответствии с системой уравнений (4.9) при определенных значениях управлений и до пересечения с одной из линий переключения (рис. 4.3). В момент пересечения происходит переключение управления и движение в дальнейшем будет происходить вдоль линии переключения в начало координат.

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

 

Вариант 1

Задача 1. Построение импульсной переходной матрицы системы.

Линейная динамическая система описывается следующей нормальной системой дифференциальных уравнений:

Построить импульсную переходную матрицу системы с помощью обратного преобразования Лапласа.