Принцип максимума Понтрягина

Принцип максимума является специальным методом решения задач оптимального управления. Этот метод разработан в 1956–1961 годах Л.С.Понтрягиным и его сотрудниками.

Главным достоинством принципа максимума является то, что класс искомых экстремалей включает в себя кусочно непрерывные функции. В этом смысле принцип максимума является расширением классического вариационного исчисления. Во многих прикладных задачах на управление накладывается ограничение типа неравенства. Часто оптимальное управление в таких задачах имеет разрыв. Метод множителей Лагранжа не позволяет определить число и местоположение точек разрыва, и поэтому в этих случаях он не позволяет находить оптимальное управление. Такие задачи эффективно решаются с помощью принципа максимума Понтрягина.

Задача с закрепленными концами

И фиксированным временем

Все теоремы принципа максимума относятся к системам, поведение которых можно описать дифференциальными уравнениями:

, (4.1)

где – вектор фазового пространства и – вектор управления, причем производные от управлений в уравнения (4.1) не входят.

Ставится задача – найти управление , переводящее систему из состояния в состояние за время и доставляющее минимум функционалу

. (4.2)

Замечаем, что в отличие от обычных задач вариационного исчисления, где все искомые функции были равноправны, в принципе максимума разделяются фазовые координаты и управления. Это разделение удобно в тех случаях, когда ограничения накладываются только на управления, а не на фазовые координаты, например, если задано

.

Важную роль в принципе максимума играют вспомогательные переменные и промежуточная функция, которая называется функцией Гамильтона (или гамильтонианом):

. (4.3)

При помощи этой функции основная система уравнений (4.1) и уравнения, необходимые для определения вспомогательных переменных записываются в виде уравнений Эйлера в канонической форме (см. п. 3.2):

(4.4)

(4.5)

Действительно, так как , то уравнения (4.4) эквивалентны уравнениям (4.1); в то же время из уравнений (4.5) можно найти вспомогательные переменные . Уравнения (4.4) и (4.5) называются сопряженными уравнениями. Основное необходимое условие, которому должно удовлетворять управление для того, чтобы быть оптимальным, формулируется в виде теоремы о максимуме:

Теорема 4.1. Для оптимальности управления и траектории необходимо существование такой ненулевой непрерывной функции , удовлетворяющей уравнениям (4.5), что при любом , кроме точек разрыва , функция достигает максимума, т.е.

. (4.6)

Кроме того, в конечный момент времени выполняются соотношения:

. (4.7)

Доказательство этой теоремы основано на использовании игольчатой вариации [2, с.208–240].

При решении задач с помощью принципа максимума удобно придерживаться следующего алгоритма:

1. Записываем уравнения объекта в виде системы уравнений первого порядка (4.1), не забыв уравнение для функционала (4.2):

.

.

2. Составляем функцию :

.

3. Определяем значение , максимизирующее функцию , из системы уравнений

. (4.8)

Возможно, что максимум достигается на границе допустимой области управлений, тогда для некоторых равенство (4.8) может не выполняться при ненулевой функции .

В уравнениях (4.8) для определения содержится неизвестных: функций , функций и функций . Для их определения имеются уравнений (4.8), уравнений исходной системы (4.1) и осталось составить еще уравнений для функций вида (4.5).

4. Составляем уравнения (4.5) для определения

Из совместного решения названных уравнений находим оптимальное управление .

Особенностью принципа максимума является то, что вариационная задача нахождения функции , экстремизирующей функционал , заменена более простой задачей математического анализа нахождения параметра , доставляющего максимум вспомогательной функции . Отсюда и название метода – принцип максимума.

Отметим, что, используя теорему о максимуме, мы отыскиваем решение не в классе кусочно-гладких функций, а в более широком классе – классе кусочно-непрерывных функций.