Наблюдаемость в линейных системах управления

Для линейной стационарной управляемой системы нами установлено, что существует управление, которое переводит систему из любого состояния в заданное за произвольное время. Можно произвольно менять состояние замкнутой системы в том случае, если все компоненты вектора состояния доступны для измерения.

На практике, как правило, все компоненты вектора состояний не доступны для измерения (например, потому, что часть переменных состояний в принципе нельзя измерить). Обычно выходными величинами объекта служат лишь отдельные компоненты вектора состояний, либо линейные комбинации этих компонент. В связи с этим в теории управления рассматриваются так называемые задачи о наблюдаемости, основным содержанием которых является установление алгоритмов определения части или всех координат системы при условии, что известна другая часть координат или некоторые функции от этих координат, а также математическая модель системы управления в виде системы дифференциальных уравнений.

Для оценки состояния естественно воспользоваться информацией о выходных величинах системы и о ее структуре, т.е. о матрицах и системы уравнений (1.1):

(2.11)

Определение. Задачу нахождения вектора состояния системы (2.11) или отдельных его компонент по известной на некотором промежутке функции

, (2.12)

где – известная матрица, будем называть задачей наблюдаемости линейной системы (2.11). При этом вектор называют функцией выхода системы (2.11).

Рассмотрим матрицу размером , первые столбцов которой совпадают со столбцами матрицы , следующие столбцов совпадают со столбцами матрицы и т. д., последние столбцов матрицы образованы матрицей . Матрицу записывают так:

. (2.13)

Наблюдаемость стационарной системы (2.11) связанасо свойствами матрицы , поэтому называется матрицей наблюдаемости. Для системы (2.11) справедлив следующий критерий полной наблюдаемости.

Теорема 2.3. (критерий наблюдаемости стационарной системы). Линейная стационарная п-мерная система (2.11) вполне наблюдаема тогда и только тогда, когда ранг матрицы (2.13) равен .

Доказательство критерия наблюдаемости аналогично доказательству теоремы 2.2.

Замечание. В случае, если вектор в системе (2.11) одномерный, матрица имеет вид столбца , а поэтому необходимое и достаточное условие полной наблюдаемости принимает форму

. (2.14)

 

МЕТОДЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ В

ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

В теории вариационного исчисления разработан универсальный математический аппарат, позволяющий решать экстремальные задачи в функциональных пространствах. Этот аппарат позволяет решать широкий круг оптимизационных задач, в том числе и задачи оптимального управления.

Постановка задачи оптимального управления как

Задачи вариационного исчисления

Задачей вариационного исчисления является задача отыскания функций, доставляющих экстремальное (максимальное или минимальное) значение некоторым величинам, которые зависят от этих функций и называются функционалами. Функционал можно рассматривать как функцию особого рода, в которой роль независимой переменной играет другая функция.

Рассмотрим постановку задачи оптимального управления и основные задачи вариационного исчисления (Лагранжа, Майера, Больца).

Задача оптимизации системы управления

Дано:

– дифференциальные уравнения системы управления

; (3.1)

где и – векторы размерности n;

– начальное состояние системы

; (3.2)

– критерий оптимальности

. (3.3)

Требуется определить вектор-функцию , обеспечивающую минимум критерию и удовлетворяющую условиям (3.1), (3.2).

Задача Лагранжа

Дано:

– функционал

– ; (3.4)

– начальные условия

. (3.5)

Требуется найти вектор-функцию , обеспечивающую минимум функционалу и удовлетворяющую условиям (3.5).

Предположим, что система уравнений (3.1) позволяет найти управление в виде

. (3.6)

Подставляя вектор в функционал (3.3), получим

. (3.7)

Таким образом, задача оптимизации системы управления заключается в нахождении оптимальной траектории системы из условия минимума функционала (3.7), что полностью совпадает с задачей Лагранжа.

Как известно, основными задачами вариационного исчисления, кроме задачи Лагранжа, являются задача Майера и задача Больца. Напомним их постановку в терминах и символах теории систем управления.

Задача Майера.

Дано:

– уравнения движения системы (3.1);

– начальное состояние системы(3.2);

– конечное состояние системы

; (3.8)

– критерий оптимальности

, (3.9)

где функция, определенная на не полностью заданном множестве конечных состояний системы.

Требуется определить вектор-функцию , доставляющую минимум функционалу (3.9) и удовлетворяющую условиям (3.1), (3.2), (3.8).

Замечание 1. В этой задаче условия (3.8) могут заменяться условиями

. (3.8*)

Замечание 2. Если в задаче Майера функция , то она становится задачей о быстродействии.

Задача Больца

Дано:

– уравнения движения системы (3.1);

– начальное состояние системы (3.2);

– конечное состояние системы (3.8) или (3.8*);

– критерий оптимальности

, (3.10)

где и – функции, определенные на заданном множестве состояний системы.

Задача заключается в нахождении функции , минимизирующей критерий оптимальности (3.10) и удовлетворяющей условиям (3.1), (3.2), (3.8) или (3.8’).

Формулировка задачи Больца - наиболее общая. Но всегда возможно ввести некоторые дополнительные переменные, преобразующие задачу Лагранжа в задачу Больца или в задачу Майера и наоборот.

На наш взгляд, целесообразно рассмотреть один такой прием, достаточно часто используемый в приложениях.

Рассмотрим задачу Лагранжа (3.1), (3.2), (3.3). Введем дополнительную переменную по формуле

, (3.11)

или, иначе

, (3.12)

. (3.13)

Присоединяя уравнение (3.12) ксистеме (3.1), а условие (3.13) к начальным условиям (3.2), получим

, (3.14)

. (3.15)

Итак, задача оптимизации управления сведена к нахождению экстремума критерия

(3.16)

при условиях (3.14) и (3.15), т. е. к задаче Майера.

Приведем теперь основные положения вариационного исчисления, используемые для оптимизации систем управления.