Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Свойства линейных многомерных систем управления
Итак, уравнения движения линейной многомерной стационарной непрерывной системы в матричной форме имеют вид , (1.13) где размерности соответствующих векторов и матриц были определены в (1.1). При исследовании многомерных систем широко используют понятие функции от матрицы, в частности, понятие матричной экспоненты , где – матрица. Определение. Функцией называется функциональный ряд (1.14)
Лемма 1.1. Пусть –постоянная квадратная матрица порядка ,элементы которой равны действительным или комплексным числам. Тогда ряд (1.14) сходится абсолютно для всех конечных и равномерно на произвольном конечном промежутке. Доказательство этой леммы можно найти в [4, с.58]. Определение. Матрица размером называется фундаментальной (или интегральной) матрицей системы
тогда и только тогда, когда в ее столбцах стоят линейно независимых решений этой системы. Определитель любой фундаментальной матрицы называется определителем Вронского. Определитель Вронского не обращается в нуль ни в одной точке интервала и, следовательно, фунда-ментальная матрица при любом значении является неособенной матрицей. Теорема 1.1. Если матрица удовлетворяет условиям леммы 1.1, то решением задачи , (1.15 ) будет матрица (1.16 ) (здесь – единичная матрица порядка ). Доказательство. Процесс доказательства этой теоремы осуществляется непосредственной подстановкой матрицы (1.16) в уравнение (1.15) с учетом единственности решения и возможности ее дифференцирования. Теорема 1.2. Если матрица удовлетворяет условиям леммы 1.1, то решением задачи , является вектор . Доказательство осуществляется непосредственной проверкой. Теорема 1.3. Если матрица удовлетворяет условиям леммы 1.1, то решение задачи , (1.17 ) имеет вид . (1.18) Доказательство этой теоремы осуществляется непосредственной проверкой. Формула (1.18) является формулой Коши для системы (1.17). Для определения временных характеристик систем управления важную роль игает функция , представляющая собой обычную –функцию Дирака, обладающую свойствами:
Положим в равенстве (1.18) все компоненты вектора равными нулю, за исключением одной , которую примем равной единичному импульсу , сосредоточенному в точке . Обозначим через решение (1.18) уравнения (1.17) при условии . Тогда будем иметь
, где – единичный вектор-столбец с 1 в -ой строке. Матрица, столбцами которой являются векторы называется импульсной переходной матрицей системы (1.17) и обозначается через . Импульсная переходная матрица имеет вид Сопоставляя матрицу с результатом теоремы 1.1, замечаем, что является решением задачи , . Таким образом, импульсную переходную матрицу можно представить в виде ряда экспоненты (1.19) С другой стороны, поскольку определитель фундаментальной матрицы не обращается в нуль ни в одной точке, то при любом фиксированном существует обратная матрица . Тогда для произвольной фундаментальной матрицы можно построить нормированную фундаментальную (или нормальную интегральную) матрицу, которая, с другой стороны, по определению является импульсной переходной матрицей: . (1.20) Непосредственно из определения вытекают следующие свойства импульсной переходной матрицы: 1. . 2. при всех . 3. . Действительно, . Заметим, что импульсная переходная матрица – это такая фундаментальная матрица, которая удовлетворяет начальному условию . Пример 1.3. Рассмотрим уравнение простого осциллятора . Обозначая и , получим нормальную форму уравнения движения системы в матричном виде: , где , , . Импульсная переходная матрица для этой системы удовлетворяет уравнению при начальном условии . Ряд (1.19) для вычисления в этом примере легко суммируется потому, что матрица – постоянная и, кроме того, для нечетных и для четных. Например, , , и т.д. Простое вычисление показывает, что , где использованы разложения тригонометрических функций в ряд Тейлора Следовательно, , .
Пример 1.4. Рассмотрим неоднородное дифференциальное уравнение , которое можно представить в виде нормальной системы уравнений . Вычисление переходной матрицы немедленно дает . Используя формулу Коши получим общее решение системы .
Заметим, что несмотря на внешнюю простоту выражения для переходной матрицы в стационарной системе, вычисление функции может оказаться сложной задачей. С помощью импульсной переходной матрицы можно записать удобную связь между выходными и входными сигналами системы управления (1.13) при условии, что последняя находится в покое до момента подачи входного сигнала. Эта связь устанавливается в соответствии с результатом теоремы 1.3 и имеет вид
. (1.22) Определение. Пусть импульсная переходная матрица некоторой системы управления. Если существует преобразование Лапласа матрицы , то это преобразование называется передаточной матрицей системы и обозначается через , т. е. , (1.23) или, что то же самое, . (1.24) Здесь преобразование по Лапласу матрицы понимается как матрица преобразований по Лапласу всех ее элементов. Применяя преобразование Лапласа к равенству (1.20) и учитывая теорему о свертке (произведение изображений) , для (1.22) можем получить соотношение , где . Для решения обыкновенных дифференциальных уравнений широко используется аппарат преобразования Лапласа. Этот аппарат можно непосредственно использовать для вычисления импульсной переходной матрицы следующим образом. Используем принятое обозначение для преобразования Лапласа функции : . Тогда, согласно теории этого преобразования, если функция дифференцируема, то , где . Рассмотрим стационарную однородную систему и ее преобразование Лапласа . Тогда или . Матрица является характеристической матрицей матрицы , которая является неособенной при всех где – характеристические числа матрицы . Значит, выражение имеет смысл при всех . Взяв обратное преобразование Лапласа, найдем . Последовательность вычислений такова: 1. Вычисление обратной матрицы . 2. С помощью таблиц обратного преобразования Лапласа (см. Приложение) определение элементов переходной матрицы .
Пример 1.5. Пусть система имеет матрицу . Построить импульсную переходную матрицу. Характеристическая матрица: . Вычисляем обратную матрицу. При этом определитель исходной матрицы: . После несложных преобразований обратная матрица будет иметь следующий вид: . Пользуясь таблицей обратного преобразования Лапласа (см. Приложение), получим .
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-06-26; просмотров: 398; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.16.81.94 (0.028 с.) |