Постановка задачи теории управления

К практическим занятиям

по дисциплине "Теория управления"

(для студентов специальности "Прикладная математика")

 

 

У Т В Е Р Ж Д Е Н О

На заседании кафедры

прикладная математика

Протокол № от

 

 

Луганск 2013

Министерство образования и науки,
молодежи и спорта

 

Восточноукраинский национальный университет

имени Владимира Даля

 

 

Методические рекомендации

к самостоятельной и практической работе

по дисциплине "Теория управления"

(для студентов специальности "Прикладная математика")

 

 

У Т В Е Р Ж Д Е Н О

На заседании кафедры

прикладная математика

Протокол № от

 

 

Луганск 2013

 

 

УДК 378.147:51

 

Методические рекомендации к самостоятельной и практической работе по дисциплине "Теория управления" (для студентов специальности "Прикладная математика")/ Составители: Ю.М. Нефедов, Ю.С. Краснобрыжева, Т.Ю. Балицька.. – Луганск: Изд-во ВНУ им. В. Даля, 2013.– 43 с.

 

 

В методичних рекомендаціях пропонується послідовність дій для самостійного виконання логіко-дидактичного аналізу теоретичного матеріалу певної теми, а також зразок логіко-дидактичного аналізу теми "Многокутники" (9 клас).

 

Составители Ю.М. Нефедов, доц.,

Ю.С. Краснобрыжева, ст.викл.,

Т.Ю. Балицька, ас.

 

Ответственный за выпуск В.Я. Кучма, доц.

 

Рецензент С.А. Митрохин, доц.

 

Теория управления – раздел науки, посвященный изучению динамических управляемых объектов и определению наилучших способов управления ими.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ

Примеры систем управления и их

Математические модели

Реальные системы управления, как правило, достаточно сложны. Приведенные ниже примеры используются для иллюстрации основных задач теории управления. Поэтому рассматриваемые системы управления отличаются максимальной простотой и наглядностью.

Пример 1.1. Предположим, что некоторая материальная точка массы может двигаться только по прямой линии, вдоль которой на точку действует сила . Положение точки будем характеризовать координатой (рис. 1.1).

Пусть известно, что в начальный момент времени выполнены условия

(1.2)

и в течение всего движения этой точки сила удовлетворяет ограничению

. (1.3)

Можно поставить задачу: определить силу , под действием которой точка движется так, что из заданного состояния (1.2) к моменту времени перемещается в другое заданное состояние, например,

(1.4)

за минимально возможное время

. (1.5)

Согласно второму закону Ньютона уравнение движения точки можно представить в следующем виде:

. (1.6)

Точку , движение которой может изменяться за счет выбора внешней силы , будем рассматривать как пример управляемой системы. Величина является управляющим воздействием или управлением.

 

 

Поставленная задача называется задачей о быстродействии. При решении задач управления пользуются фазовыми координатами и фазовым пространством. В данном случае фазовыми координатами являются две переменные и , связанные с переменной равенствами

.

Фазовые координаты дают возможность записать граничные условия (1.2) и (1.4) в виде

(1.7)

а уравнение (1.6) в виде системы двух дифференциальных уравнений первого порядка

(1.8)

Точка с координатами на плоскости является фазовой точкой системы (рис. 1.2). С изменением времени точка изменяет свое положение и образует фазовую траекторию системы.

Пример 1.2.

Рассмотрим материальную точку массы , движущуюся в вертикальной плоскости в поле силы тяжести. Предположим, что в качестве управляющего воздействия к точке приложена реактивная сила , возникающая в результате отделения от нее частиц с элементарной массой . Тогда масса точки является величиной переменной и ее движение можно описать векторным уравнением Мещерского [7, с.25], которое соответствует второму закону Ньютона для точки с переменной массой

, (1.9)

где – вектор абсолютной скорости точки , , – неизменная часть массы точки, – реактивная масса точки; , – вектор относительной скорости отделяющейся частицы; – вес.

Проектируя уравнение (1.9) на горизонтальную и вертикальнуюоси координат, получим следующие уравнения движения:

(1.10)

где и – проекции вектора на оси и . Допуская, что абсолютная величина вектора задана и, вводя соответствующие обозначения, запишем систему уравнений (1.10) в нормальной форме

(1.11)

где , , – угол между вектором и осью (рис.1.3). В матричной форме система (1.11) запишется так:

, (1.12)

где

.

 

Пример 1.3.

Рассмотрим уравнение простого осциллятора

.

Обозначая и , получим нормальную форму уравнения движения системы в матричном виде:

,

где , , .

Импульсная переходная матрица для этой системы удовлетворяет уравнению

при начальном условии .

Ряд (1.19) для вычисления в этом примере легко суммируется потому, что матрица – постоянная и, кроме того, для нечетных и для четных. Например,

,

,

и т.д.

Простое вычисление показывает, что

,

где использованы разложения тригонометрических функций в ряд Тейлора

Следовательно,

,

.

 

Пример 1.4.

Рассмотрим неоднородное дифференциальное уравнение

,

которое можно представить в виде нормальной системы уравнений

.

Вычисление переходной матрицы немедленно дает

.

Используя формулу Коши

получим общее решение системы

.

 

Заметим, что несмотря на внешнюю простоту выражения для переходной матрицы в стационарной системе, вычисление функции может оказаться сложной задачей.

С помощью импульсной переходной матрицы можно записать удобную связь между выходными и входными сигналами системы управления (1.13) при условии, что последняя находится в покое до момента подачи входного сигнала. Эта связь устанавливается в соответствии с результатом теоремы 1.3 и имеет вид

. (1.22)

Определение. Пусть импульсная переходная матрица некоторой системы управления. Если существует преобразование Лапласа матрицы , то это преобразование называется передаточной матрицей системы и обозначается через , т. е.

, (1.23)

или, что то же самое,

. (1.24)

Здесь преобразование по Лапласу матрицы понимается как матрица преобразований по Лапласу всех ее элементов.

Применяя преобразование Лапласа к равенству (1.20) и учитывая теорему о свертке (произведение изображений)

,

для (1.22) можем получить соотношение

,

где

.

Для решения обыкновенных дифференциальных уравнений широко используется аппарат преобразования Лапласа. Этот аппарат можно непосредственно использовать для вычисления импульсной переходной матрицы следующим образом. Используем принятое обозначение для преобразования Лапласа функции : . Тогда, согласно теории этого преобразования, если функция дифференцируема, то

,

где .

Рассмотрим стационарную однородную систему

и ее преобразование Лапласа

.

Тогда

или .

Матрица является характеристической матрицей матрицы , которая является неособенной при всех где – характеристические числа матрицы . Значит, выражение имеет смысл при всех . Взяв обратное преобразование Лапласа, найдем

.

Последовательность вычислений такова:

1. Вычисление обратной матрицы .

2. С помощью таблиц обратного преобразования Лапласа (см. Приложение) определение элементов переходной матрицы

.

 

 

Пример 1.5.

Пусть система имеет матрицу . Построить импульсную переходную матрицу.

Характеристическая матрица: .

Вычисляем обратную матрицу. При этом определитель исходной матрицы: . После несложных преобразований обратная матрица будет иметь следующий вид:

.

Пользуясь таблицей обратного преобразования Лапласа (см. Приложение), получим

.

 

ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ

Критерий управляемости

В стационарном случае критерий управляемости принимает простую и компактную форму.

Пусть заданы матрицы системы и . Составим матрицу размером , первые столбцов которой совпадают со столбцами матрицы , вторые столбцов совпадают со столбцами матрицы (или просто ) и т. д., последние столбцов матрицы образованы матрицей . Матрицу записывают так:

.

Управляемость стационарной системы (2.1) связанасо свойствами матрицы , поэтому называется матрицей управляемости.

Лемма 2.1. Если ранг матрицы равен рангу матрицы , то дальнейшее прибавление столбцов вида , , не увеличивает ранга матрицы.

Доказательство этой леммы можно найти в [4, с.86].

Из этой леммы, в частности, следует, что прибавление каждого последующего элемента вида либо увеличивает ранг матрицы на некоторое постоянное число, либо не меняет ранга. В последнем случае и прибавление всех последующих столбцов вида не будет увеличивать ранга матрицы.

Сформулируем теперь основной (в смысле управляемости) результат теории линейных стационарных систем.

Теорема 2.2. (критерий управляемости стационарной системы). Линейная стационарная п-мерная система (2.1) вполне управляема тогда и только тогда, когда

ранг . (2.3)

Доказательство.

Достаточность. Предположим, что ранг матрицы равен и покажем, что в этом случае вектор-функции матрицы при и линейно независимы на произвольном интервале . Иначе говоря, следует доказать, что, если ранг матрицы равен , то не существует такого постоянного вектора , что имеет место тождество

. (2.4)

Сформулированное утверждение равнозначно следующему: если существует некоторый отрезок и некоторый вектор , для которых выполняется равенство (2.4), то ранг матрицы меньше, чем .

Для доказательства последнего утверждения продифференцируем раз тождество (2.4) по переменной

(2.5)

Учитывая формулу (1.20), можем записать

,

где – обратная матрица по отношению к матрице фундаментальных решений однородного уравнения для уравнения (2.1).

Известно [4, с.62], что матрица удовлетворяет уравнению

,

а поэтому имеем

или

. (2.6)

Используя свойство (2.6), из равенств (2.5) легко получить соотношения

Положив здесь , имеем

(2.7)

Это в свою очередь возможно только в том случае, если ранг матрицы меньше .

Необходимость условий теоремы будет установлена, если докажем, что из линейной независимости вектор-функции (2.2) при на произвольном отрезке вытекает равенство ранга матрицы числу . Но это утверждение равнозначно следующему: если ранг матрицы меньше чем , то вектор-функции (2.2) при линейно зависимы на произвольном промежутке . Докажем справедливость этого утверждения.

Предположим, что ранг матрицы меньше, чем . Тогда, как известно, обязательно существует такой -мерный вектор , что

. (2.8)

Учитывая утверждение леммы 2.1, приходим к выводу, что

(2.9)

для всех целых .

Принимая во внимание, что матрицу можно изобразить степенным рядом

,

то для линейной комбинации векторов (2.4) получим выражение

.

Если в этом равенстве за вектор принять вектор, фигурирующий в равенстве (2.9), то получим

,

что означает линейную зависимость векторов (2.2).

Замечание. В случае, если вектор управления в системе (2.1) одномерный, матрица имеет вид столбца , а поэтому необходимое и достаточное условие вполне управляемости принимает форму

. (2.10)

Соотношения (2.3) и (2.10) назовем условиями вполне управляемости стационарных систем.

Определение. Система (2.1) называется вполне управляемой на заданном промежутке , если для двух произвольных значений и из фазового пространства можно указать такую функцию управления , что решение уравнения(1) удовлетворяет краевым условиям

и .

Согласно доказанной теореме 2.2 свойство управляемости системы полностью определяется алгебраическими свойствами пары матриц . Именно, если матрица , составленная указанным выше образом, имеет полный ранг, то система управляема.

Задача Лагранжа

Дано:

– функционал

– ; (3.4)

– начальные условия

. (3.5)

Требуется найти вектор-функцию , обеспечивающую минимум функционалу и удовлетворяющую условиям (3.5).

Предположим, что система уравнений (3.1) позволяет найти управление в виде

. (3.6)

Подставляя вектор в функционал (3.3), получим

. (3.7)

Таким образом, задача оптимизации системы управления заключается в нахождении оптимальной траектории системы из условия минимума функционала (3.7), что полностью совпадает с задачей Лагранжа.

Как известно, основными задачами вариационного исчисления, кроме задачи Лагранжа, являются задача Майера и задача Больца. Напомним их постановку в терминах и символах теории систем управления.

Задача Майера.

Дано:

– уравнения движения системы (3.1);

– начальное состояние системы(3.2);

– конечное состояние системы

; (3.8)

– критерий оптимальности

, (3.9)

где функция, определенная на не полностью заданном множестве конечных состояний системы.

Требуется определить вектор-функцию , доставляющую минимум функционалу (3.9) и удовлетворяющую условиям (3.1), (3.2), (3.8).

Замечание 1. В этой задаче условия (3.8) могут заменяться условиями

. (3.8*)

Замечание 2. Если в задаче Майера функция , то она становится задачей о быстродействии.

Задача Больца

Дано:

– уравнения движения системы (3.1);

– начальное состояние системы (3.2);

– конечное состояние системы (3.8) или (3.8*);

– критерий оптимальности

, (3.10)

где и – функции, определенные на заданном множестве состояний системы.

Задача заключается в нахождении функции , минимизирующей критерий оптимальности (3.10) и удовлетворяющей условиям (3.1), (3.2), (3.8) или (3.8’).

Формулировка задачи Больца - наиболее общая. Но всегда возможно ввести некоторые дополнительные переменные, преобразующие задачу Лагранжа в задачу Больца или в задачу Майера и наоборот.

На наш взгляд, целесообразно рассмотреть один такой прием, достаточно часто используемый в приложениях.

Рассмотрим задачу Лагранжа (3.1), (3.2), (3.3). Введем дополнительную переменную по формуле

, (3.11)

или, иначе

, (3.12)

. (3.13)

Присоединяя уравнение (3.12) ксистеме (3.1), а условие (3.13) к начальным условиям (3.2), получим

, (3.14)

. (3.15)

Итак, задача оптимизации управления сведена к нахождению экстремума критерия

(3.16)

при условиях (3.14) и (3.15), т. е. к задаче Майера.

Приведем теперь основные положения вариационного исчисления, используемые для оптимизации систем управления.

Экстремума функционалов

Основной вопрос вариационного исчисления – вывод необходимых условий экстремума (для определенности – минимума).

На управление

Рассмотрим линейную управляемую систему:

(3.41)

(некоторые из коэффициентов могут быть равны нулю), а функционалом, экстремум которого нам надлежит определить, является время достижения системой положения равновесия, т. е.

,

и ограничения наложены только на управление .

Данную задачу о быстродействии сводим, согласно правилу построения функции Лагранжа, к задаче о минимуме линейного функционала

(4.42)

при граничных условиях ; и ограничении по модулю .

Необходимым условием экстремума, достигаемого не на границе области, является выполнение системы уравнений Эйлера

(3.43)

Но второе уравнение в (3.43) может выполняться лишь в особом случае, когда

, (3.44)

т.е. когда функции линейно зависимые, т.е. связаны между собой линейным соотношением (3.44).

Следовательно, за исключением особого случая, экстремалей внутри области не существует. Следовательно, экстремум может достигаться на границе области, где , т. е. либо , либо . Поскольку в функцию Лагранжа не входят производные , то, экстремум может достигаться на разрывной функции , скачком переходящей от значения к значению и обратно (рис.3.2). Для полного определения функции достаточно теперь найти абсциссы точек- разрыва (рис.3.2).

Таким образом, функционал (3.42) на самом деле является функцией от переменных (координат точек разрыва) и можно обычными методами дифференциального исчисления искать значения доставляющие экстремум функции .

Задачу вариационного исчисления на этом можно считать решенной: мы свели ее к задаче принципиально более простой – задаче на экстремум конечного числа переменных.

 

 

Однако на практике отыскать точки разрыва методами дифференциального исчисления нелегко, особенно если учесть, что число их неизвестно.

Для их нахождения применим следующий прием: условие эквивалентно условию

(3.45)

где .

Действительно, если , то при и интеграл стремится к бесконечности; если же, наоборот, хотя на небольшом участке , то и значение интеграла будет меньше . Поэтому задача об экстремуме функционала (3.42) при условии эквивалентна изопериметрической задаче: найти экстремум функционала (3.42) при условии (3.45).

Для этой изопериметрической задачи функция Лагранжа имеет вид

,

и в качестве уравнений Эйлера получаем следующую систему уравнений:

Из уравнения (3.47) следует, что

,

но при корень степени из любого числа совпадает по знаку с этим числом, т.е. , если , и , если .

Символически это записывается так:

,

где символ sign означает, что , если , и , если .

Так доказывается общая теорема о числе переключений от к в линейных системах [9, с.120].

Теорема 3.1. (Об интервалах). Для линейной системы –го порядка (3.41), у которой все корни характеристического уравнения действительны, оптимальное по быстродействию управление (управление в кратчайшее время переводящее систему из одного состояния в другое: из в ), будет содержать не более переключений, т.е. не

более интервалов постоянства или .

Эта теорема используется при расчетах оптимального по быстродействию управления для линейных систем, так как позволяет свести вариационную задачу к задаче на экстремум функции переменных.

 

И фиксированным временем

Все теоремы принципа максимума относятся к системам, поведение которых можно описать дифференциальными уравнениями:

, (4.1)

где – вектор фазового пространства и – вектор управления, причем производные от управлений в уравнения (4.1) не входят.

Ставится задача – найти управление , переводящее систему из состояния в состояние за время и доставляющее минимум функционалу

. (4.2)

Замечаем, что в отличие от обычных задач вариационного исчисления, где все искомые функции были равноправны, в принципе максимума разделяются фазовые координаты и управления. Это разделение удобно в тех случаях, когда ограничения накладываются только на управления, а не на фазовые координаты, например, если задано

.

Важную роль в принципе максимума играют вспомогательные переменные и промежуточная функция, которая называется функцией Гамильтона (или гамильтонианом):

. (4.3)

При помощи этой функции основная система уравнений (4.1) и уравнения, необходимые для определения вспомогательных переменных записываются в виде уравнений Эйлера в канонической форме (см. п. 3.2):

(4.4)

(4.5)

Действительно, так как , то уравнения (4.4) эквивалентны уравнениям (4.1); в то же время из уравнений (4.5) можно найти вспомогательные переменные . Уравнения (4.4) и (4.5) называются сопряженными уравнениями. Основное необходимое условие, которому должно удовлетворять управление для того, чтобы быть оптимальным, формулируется в виде теоремы о максимуме:

Теорема 4.1. Для оптимальности управления и траектории необходимо существование такой ненулевой непрерывной функции , удовлетворяющей уравнениям (4.5), что при любом , кроме точек разрыва , функция достигает максимума, т.е.

. (4.6)

Кроме того, в конечный момент времени выполняются соотношения: