Каноническая форма уравнений Эйлера

Рассмотрим общую задачу Лагранжа (оптимизации системы управления):

; (3.38)

. (3.39)

Уравнения Эйлера для функционала (3.39) имеют вид

.

Каноническая форма уравнений Эйлера является обобщением на случай оптимизации систем управления, которые относятся к задачам на условный экстремум.

Введем новые переменные . Построим функцию Лагранжа следующего вида:

.

Тогда можно рассмотреть новую задачу в виде функционала

.

Применяя уравнения Эйлера к этому функционалу, получим уравнения Эйлера в следующем виде:

Рассмотрим каждую производную последней системы уравнений:

С учетом этих выражений уравнения Эйлера принимают следующий вид:

Эта система решается совместно с дифференциальными уравнениями связи (3.38) исходной задачи.

Введем следующие обозначения:

Тогда уравнения Эйлера можно записать в более компактной форме:

Введем новую функцию , которая называется функцией Гамильтона.

Дифференцируя функцию Гамильтона по всем переменным, получим уравнения Эйлера в канонической форме:

(3.40)

 

Условие является необходимым условием экстремума функции Гамильтона.

Из последней системы уравнений (3.40) определяются переменные – экстремали (оптимальное решение) исходной задачи.

 

Применение уравнений Эйлера при ограничениях

На управление

Рассмотрим линейную управляемую систему:

(3.41)

(некоторые из коэффициентов могут быть равны нулю), а функционалом, экстремум которого нам надлежит определить, является время достижения системой положения равновесия, т. е.

,

и ограничения наложены только на управление .

Данную задачу о быстродействии сводим, согласно правилу построения функции Лагранжа, к задаче о минимуме линейного функционала

(4.42)

при граничных условиях ; и ограничении по модулю .

Необходимым условием экстремума, достигаемого не на границе области, является выполнение системы уравнений Эйлера

(3.43)

Но второе уравнение в (3.43) может выполняться лишь в особом случае, когда

, (3.44)

т.е. когда функции линейно зависимые, т.е. связаны между собой линейным соотношением (3.44).

Следовательно, за исключением особого случая, экстремалей внутри области не существует. Следовательно, экстремум может достигаться на границе области, где , т. е. либо , либо . Поскольку в функцию Лагранжа не входят производные , то, экстремум может достигаться на разрывной функции , скачком переходящей от значения к значению и обратно (рис.3.2). Для полного определения функции достаточно теперь найти абсциссы точек- разрыва (рис.3.2).

Таким образом, функционал (3.42) на самом деле является функцией от переменных (координат точек разрыва) и можно обычными методами дифференциального исчисления искать значения доставляющие экстремум функции .

Задачу вариационного исчисления на этом можно считать решенной: мы свели ее к задаче принципиально более простой – задаче на экстремум конечного числа переменных.

 

 

Однако на практике отыскать точки разрыва методами дифференциального исчисления нелегко, особенно если учесть, что число их неизвестно.

Для их нахождения применим следующий прием: условие эквивалентно условию

(3.45)

где .

Действительно, если , то при и интеграл стремится к бесконечности; если же, наоборот, хотя на небольшом участке , то и значение интеграла будет меньше . Поэтому задача об экстремуме функционала (3.42) при условии эквивалентна изопериметрической задаче: найти экстремум функционала (3.42) при условии (3.45).

Для этой изопериметрической задачи функция Лагранжа имеет вид

,

и в качестве уравнений Эйлера получаем следующую систему уравнений:

Из уравнения (3.47) следует, что

,

но при корень степени из любого числа совпадает по знаку с этим числом, т.е. , если , и , если .

Символически это записывается так:

,

где символ sign означает, что , если , и , если .

Так доказывается общая теорема о числе переключений от к в линейных системах [9, с.120].

Теорема 3.1. (Об интервалах). Для линейной системы –го порядка (3.41), у которой все корни характеристического уравнения действительны, оптимальное по быстродействию управление (управление в кратчайшее время переводящее систему из одного состояния в другое: из в ), будет содержать не более переключений, т.е. не

более интервалов постоянства или .

Эта теорема используется при расчетах оптимального по быстродействию управления для линейных систем, так как позволяет свести вариационную задачу к задаче на экстремум функции переменных.