Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Каноническая форма уравнений ЭйлераСодержание книги
Похожие статьи вашей тематики
Поиск на нашем сайте
Рассмотрим общую задачу Лагранжа (оптимизации системы управления): ; (3.38) . (3.39) Уравнения Эйлера для функционала (3.39) имеют вид . Каноническая форма уравнений Эйлера является обобщением на случай оптимизации систем управления, которые относятся к задачам на условный экстремум. Введем новые переменные . Построим функцию Лагранжа следующего вида: . Тогда можно рассмотреть новую задачу в виде функционала . Применяя уравнения Эйлера к этому функционалу, получим уравнения Эйлера в следующем виде: Рассмотрим каждую производную последней системы уравнений: С учетом этих выражений уравнения Эйлера принимают следующий вид: Эта система решается совместно с дифференциальными уравнениями связи (3.38) исходной задачи. Введем следующие обозначения: Тогда уравнения Эйлера можно записать в более компактной форме: Введем новую функцию , которая называется функцией Гамильтона. Дифференцируя функцию Гамильтона по всем переменным, получим уравнения Эйлера в канонической форме: (3.40)
Условие является необходимым условием экстремума функции Гамильтона. Из последней системы уравнений (3.40) определяются переменные – экстремали (оптимальное решение) исходной задачи.
Применение уравнений Эйлера при ограничениях На управление Рассмотрим линейную управляемую систему: (3.41) (некоторые из коэффициентов могут быть равны нулю), а функционалом, экстремум которого нам надлежит определить, является время достижения системой положения равновесия, т. е. , и ограничения наложены только на управление . Данную задачу о быстродействии сводим, согласно правилу построения функции Лагранжа, к задаче о минимуме линейного функционала (4.42) при граничных условиях ; и ограничении по модулю . Необходимым условием экстремума, достигаемого не на границе области, является выполнение системы уравнений Эйлера (3.43) Но второе уравнение в (3.43) может выполняться лишь в особом случае, когда , (3.44) т.е. когда функции линейно зависимые, т.е. связаны между собой линейным соотношением (3.44). Следовательно, за исключением особого случая, экстремалей внутри области не существует. Следовательно, экстремум может достигаться на границе области, где , т. е. либо , либо . Поскольку в функцию Лагранжа не входят производные , то, экстремум может достигаться на разрывной функции , скачком переходящей от значения к значению и обратно (рис.3.2). Для полного определения функции достаточно теперь найти абсциссы точек- разрыва (рис.3.2). Таким образом, функционал (3.42) на самом деле является функцией от переменных (координат точек разрыва) и можно обычными методами дифференциального исчисления искать значения доставляющие экстремум функции . Задачу вариационного исчисления на этом можно считать решенной: мы свели ее к задаче принципиально более простой – задаче на экстремум конечного числа переменных.
Однако на практике отыскать точки разрыва методами дифференциального исчисления нелегко, особенно если учесть, что число их неизвестно. Для их нахождения применим следующий прием: условие эквивалентно условию (3.45) где . Действительно, если , то при и интеграл стремится к бесконечности; если же, наоборот, хотя на небольшом участке , то и значение интеграла будет меньше . Поэтому задача об экстремуме функционала (3.42) при условии эквивалентна изопериметрической задаче: найти экстремум функционала (3.42) при условии (3.45). Для этой изопериметрической задачи функция Лагранжа имеет вид , и в качестве уравнений Эйлера получаем следующую систему уравнений: Из уравнения (3.47) следует, что , но при корень степени из любого числа совпадает по знаку с этим числом, т.е. , если , и , если . Символически это записывается так: , где символ sign означает, что , если , и , если . Так доказывается общая теорема о числе переключений от к в линейных системах [9, с.120]. Теорема 3.1. (Об интервалах). Для линейной системы –го порядка (3.41), у которой все корни характеристического уравнения действительны, оптимальное по быстродействию управление (управление в кратчайшее время переводящее систему из одного состояния в другое: из в ), будет содержать не более переключений, т.е. не более интервалов постоянства или . Эта теорема используется при расчетах оптимального по быстродействию управления для линейных систем, так как позволяет свести вариационную задачу к задаче на экстремум функции переменных.
|
|||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-06-26; просмотров: 679; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.145.96.163 (0.007 с.) |