Кинематическое описание твердого тела. Углы Эйлера

 

Твердое тело можно определить в механике как непрерывную систему материальных точек, расстояния между которыми неизменны (это модель, абстракция). Непрерывность тела предполагает рассмотрение не отдельной материальной точки массой , а элемента объема массой , что заменяет операцию суммирования интегрированием по объему (или массе) тела.

Для описания движения твердого тела введем две системы координат: «неподвижную» инерциальную и движущуюся , которая предполагается жестко связанной с телом и участвующей во всех его движениях (рисунок 6.1.1). Начало 0 движущейся СК удобно совместить с центром инерции тела. Положение твердого тела относительно неподвижной СК вполне определяется заданием положения подвижной СК.

Рисунок 6.1.1

Пусть радиус-вектор указывает положение начала 0 движущейся СК. Ориентация осей последней относительно неподвижной СК определяется тремя независимыми углами, которые с тремя компонентами вектора дают шесть независимых координат.

Таким образом, всякое твердое тело представляет собой механическую систему с шестью степенями свободы (если его движение не ограничено дополнительными условиями).

Произвольное бесконечно малое перемещение твердого тела можно представить как совокупность бесконечно малого параллельного переноса системы (перемещение центра инерции) и бесконечно малого поворота системы (относительно центра инерции). Заметим, что специфические свойства начала координат как центра инерции в кинематике не используются, т. е. точку 0 можно связать с любой точкой тела. Итак,

, (6.1.1)

где и – элементарные приращения (изменения) векторов и , – вектор, модуль которого численно равен углу поворота СК системы (или вектора , неподвижного относительно этой СК) относительно перпендикулярной плоскости угла оси, проходящей через точку 0. Вводя скорости:

, , , (6.1.2)

получаем соотношение между ними:

. (6.1.3)

Здесь – скорость т. 0 относительно т. (скорость поступательного движения твердого тела), – угловая скорость вращения твердого тела, – скорость сложного движения определенной фиксированной точки тела.

Если перенести начало 0 в другую точку твердого тела так, что , то . (6.1.4)

С другой стороны, по определению должно быть

. (6.1.Отсюда заключаем, что

 

, . (6.1.6)

 

Последнее равенство свидетельствует о том, что угловая скорость вращения жестко связанной с телом СК не зависит от выбора этой системы. Все такие системы вращаются в данный момент времени вокруг параллельных друг другу осей с одинаковой угловой скоростью . Поэтому можно называть величину угловой скоростью твердого тела как такового. Скорости же поступательного движения такой «абсолютный» характер не присущ.

Из первой формулы (6.1.6) видно, что если и в данный момент времени взаимно перпендикулярны при каком-либо выборе начала координат 0, то они (т. е. и ) взаимно перпендикулярны и при любом другом начале координат . Из (6.1.3) видно, что в этом случае скорости всех точек тела перпендикулярны к . При этом всегда можно выбрать такое начало (возможно и вне тела), скорость которого в данный момент времени. Тогда движение твердого тела в данный момент может быть представлено как чистое вращение вокруг оси, проходящей через т. . Эту ось называют мгновенной осью вращения.

 

В общем случае не взаимно перпендикулярных направлений и начало координат можно выбрать так, чтобы и стали параллельными, т. е. движение в данный момент времени будет совокупностью вращения вокруг некоторой оси и поступательного движения вдоль нее же. При движении тела могут, вообще говоря, меняться как модуль вектора , так и направление оси вращения.

При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси меняется только угол – тело имеет одну степень свободы (рисунок 6.1.2).

Рисунок 6.1.2

Кинематическое уравнение движения в этом случае

. (6.1.7)

Тогда , , угловое ускорение . Для определенной точки тела (для элемента массы ) тангенциальное ускорение , нормальное ускорение .

Рассмотрим более сложное движение тела относительно неподвижной точки. В механике твердого тела важное значение имеет теорема Эйлера: всякое мгновенное движение твердого тела можно представить как результат мгновенного поступательного движения произвольно выбранной точки и мгновенного вращательного движения вокруг мгновенной оси вращения, проходящей через эту точку. Собственно, об этом уже было сказано выше, только другими словами.

Из теоремы Эйлера следует, что в любой момент времени в теле можно провести прямую, проходящую через неподвижную точку так, что все точки прямой в этот момент времени неподвижны, т. е. прямая – мгновенная ось вращения. Целесообразно

поэтому совместить с неподвижной точкой начала обеих СК (неподвижной и жестко связанной с телом подвижной) и рассматривать вращательное движение подвижной СК с угловой скоростью , направленной вдоль мгновенной оси, проходящей через начало координат.

Пусть – неподвижная СК, – подвижная СК с ортами (рисунок 6.1.1).

Скорость любой точки твердого тела . (6.1.8)

Тогда = . (6.1.9)Отсюда (6.1.10)

Формулы (6.1.10) применимы и при движении начала подвижной СК.

Таким образом, если известны координаты твердого тела в СК, связанной с ним, и проекции угловой скорости на оси этой СК, то можно вычислить скорость рассматриваемой точки. Для нахождения величин нужно знать закон движения СК относительно СК , т. е. зависимость от времени трех угловых координат, характеризующих вращение подвижной СК. Наиболее удобны в этом плане углы Эйлера (рисунок 6.1.3).

 

Угол прецессии (плоскость угла перпендикулярна оси ) меняется при повороте СК относительно оси . Угол собственного вращения (плоскость угла перпендикулярна оси ) меняется при повороте СК относительно оси . Угол нутации – угол между осями и . Углы Эйлера независимы и могут служить угловыми координатами, характеризующими вращательное движение СК относительно СК .

Рисунок 6.1.3

Прямая – линия узлов – линия пересечения координатных плоскостей и . Кинематические уравнения движения:

, , . (6.1.11)

Считая эти уравнения известными, найдем . Представим вектор угловой скорости как сумму трех векторов:

, (6.1.12)

где , , . (6.1.13)

Последнее очевидно из взаимного расположения векторов , каждый из которых характеризует быстроту изменения соответствующего угла Эйлера. Тогда

(6.1.14)

Несложно убедиться, что

... (6.1.15)

Здесь учтено, что – проекция вектора на плоскость . Подставляя (6.1.15) в (6.1.14) с учетом (6.1.13), получаем кинематические формулы Эйлера:

(6.1.16)