Инерции. Принцип эквивалентности сил инерции и гравитации

Основное уравнение динамики записано выше для инерциальной системы отсчета (ИСО). В общем случае система координат может быть связана с телом отсчета, движущимся произвольно в некоторой ИСО. Для записи уравнения движения частицы относительно такой неинерциальной системы отсчета (НИСО) воспользуемся формулой сложения ускорений (теоремой Кориолиса): = + + . Умножая это равенство на массу частицы и учитывая, что – ускорение частицы в ИСО ( = ), получим:

 

= +()+(). (1.8.1)

Здесь сила выражает действие на частицу других тел и полей и может быть указана в виде функции координат, скорости и времени: . Движение же НИСО проявилось в (1.8.1) через слагаемые = и = . Эти слагаемые кинематически в НИСО не могут быть обнаружены и интерпретируются как силы, приложенные к частице и вызывающие ее ускорение относительно НИСО. Таким образом, чтобы сохранить для частицы в НИСО традиционную форму основного уравнения динамики, величины и следует рассматривать как особого рода силы – силы инерции, которые не являются результатом действия каких-либо тел или полей на частицу, а представляют прямой результат неинерциальности системы отсчета.

Итак, уравнение движения в НИСО имеет вид:

= + + . (1.8.2)

Здесь – равнодействующая всех «ньютоновских» сил, действующих на частицу, – переносная сила инерции, – кориолисова сила инерции (или просто сила Кориолиса). В общем случае = + + = , где – переносное поступательное ускорение, – переносное вращательное ускорение, = = – переносное центростремительное ускорение; , и – поступательная, вращательная и центробежная силы инерции.

Если частица в НИСО неподвижна, то = 0, = 0 и + = 0. Именно такое уравнение следует применять к покоящемуся на Земле телу, причем » .

Сила Кориолиса зависит не только от переносного движения, но и от относительного движения частицы в НИСО: = = = . На покоящиеся в НИСО тела сила Кориолиса не действует.

Для тел на Земле центробежная сила инерции проявляется в зависимости ускорения свободного падения от широты местности (на экваторе величина g меньше, чем на полюсах). Сила Кориолиса отклоняет движущиеся тела (в северном полушарии любая река больше подмывает правый берег); действием силы Кориолиса объясняется своеобразное движение маятника Фуко. Совместное действие центробежной силы и силы Кориолиса отклоняет свободно падающее тело на юго-восток (в Северном полушарии) от направления к центру Земли.

Силы инерции, действующие на частицу в НИСО, по своим проявлениям не отличаются от фундаментальной силы, действующей в гравитационном поле. Это их свойство обусловлено пропорциональностью (при принятом выборе единиц измерения – равенством) инертной и гравитационной масс тела. Эта пропорциональность (равенство) для всех тел не вытекает из каких-либо положений механики, а является самостоятельным утверждением – обобщением экспериментальных фактов (опыты Галилея, Ньютона, Бесселя, Дикке, Панова и Брагинского и др.). Равенство проверено экспериментально с очень высокой степенью точности.

Важнейшим следствием равенства инертной и гравитационной масс является равенство ускорений для всех тел (частиц) в данной точке гравитационного поля (ускорение не зависит от массы рассматриваемого тела). Также не зависят от массы и ускорения, вызываемые заданными силами инерции. Это приводит к утверждению о неразличимости сил инерции и сил тяготения в небольшой области пространства за небольшие промежутки времени. Данное утверждение носит название принципа эквивалентности сил инерции и гравитации: поле тяготения в небольшой области пространства и времени по своему действию тождественно действию сил инерции в ускоренной системе отсчета. Заметим, что в небольшой области пространства и времени гравитационное поле можно считать однородным и стационарным.

Принцип эквивалентности сыграл фундаментальную эвристическую роль в создании общей теории относительности, в которой равноправными считаются все системы отсчета, а не только ИСО.

 

7 Принципы д¢Аламбера, виртуальных перемещений и

д¢Аламбера-Лагранжа. Общее уравнение механики

Д¢Аламбер показал, что дифференциальные уравнения движения системы частиц могут быть представлены в форме уравнений равновесия системы сил. Уравнения движение для системы из n частиц имеют вид:

, i = 1, 2, …, n (2.2.1)

Назовем векторы

(2.2.2)

д¢Аламберовыми силами инерции. Тогда

(2.2.3)

т. е. дифференциальные уравнения движения приняли вид условий равновесия сил, приложенных к частицам системы.

Принцип д¢Аламбера: если к заданным силам и реакциям связей добавить силы, равные силам инерции, то полученная система будет находиться в равновесии.

Математическое выражение принципа д¢Аламбера в декартовых координатах:

(2.2.4)

Принцип д¢Аламбера открывает возможность применения к решению динамических задач специфических методов аналитической статики, что в ряде случаев упрощает решение.

Введем понятия возможных, действительных и виртуальных перемещений. Возможным перемещением называют обычно бесконечно малое перемещение частицы, совместимое с наложенными связями, т. е. удовлетворяющее уравнению связи

(2.2.5)

Действительное перемещение – то из возможных, которое удовлетворяет уравнениям движения. Если возможное перемещение ( и – элементарно малые величины), то из известного дифференциального уравнения связи для возможного перемещения получаем:

(2.2.6)

Виртуальным перемещением называют бесконечно малое «перемещение» частицы, допускаемое связью в данный фиксированный момент времени. По сути это разность двух бесконечно близких возможных перемещений:

(2.2.7)

Подставляя в (2.2.6), находим:

(2.2.8)

что совпадает с (2.2.6) при стационарной связи (т. е. при ) Таким образом, при стационарных связях понятия виртуального и возможного перемещений совпадают. Виртуальное перемещение не обусловлено действием сил и не обладает длительностью – это чисто геометрическое понятие, характеризующее структуру наложенных связей.

В математике величины вида называют вариациями; – вариация радиус-вектора частицы, причем

(2.2.9)

Вариация координаты – её бесконечно малое приращение, обусловленное переходом в данный момент времени от заданного движения к мысленному, допускаемому связями. Вариация отличается от бесконечно малого приращения координаты , обусловленного приращением аргумента (времени): И вариация, и дифференциал – бесконечно малые изменения координаты, различные по своей природе.

В аналитической механике широко применяется метод варьирования как координат, так и функций координат частиц механической системы. Пусть имеется функция координат и времени

(2.2.10)

Если координаты подверглись варьированию, то новое значение функции

(2.2.11)

Разложим (2.2.11) в ряд Тейлора по степеням бесконечно малых величин :

(2.2.12)

Вариация функции (т. е. её приращение, обусловленное варьированием независимых аргументов)

(2.2.13)

отличается от полного дифференциала отсутствием члена с .

Т. к. координаты частицы до и после перемещения должны удовлетворять уравнениям связей, то их вариации не могут быть совершенно произвольными независимыми величинами. В самом деле, если уравнение связи

(2.2.14)

то должно выполняться равенство

(2.2.15)

Тогда

(2.2.16)

т. е. одна из вариаций координат оказывается зависимой.

Все сказанное выше применимо, естественно, и для системы частиц, для которой среди вариаций координат только независимых вариаций (столько, сколько степеней свободы).

Вернемся к рассмотрению системы из частиц. Для её равновесия необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы проекций всех сил, приложенных к каждой частице, на каждую координату были равны нулю:

(2.2.17)

Здесь – равнодействующая активных сил, приложенных к -й частице, – равнодействующая соответствующих реакций связей, Домножим уравнение (2.2.17) на вариации соответствующих координат и просуммируем:

(2.2.18)

Выражения вида и имеют смысл работы на виртуальных перемещениях и называются виртуальной работой. Итак, сумма виртуальных работ заданных (активных) сил и сил реакции для всех частиц системы, находящейся в равновесии, равна нулю.

Заметим, что введя в уравнение реакции связей, мы от системы частиц со связями перешли к системе с силами и (принцип освобождаемости от связей). При таком подходе все вариации независимы, и уравнения (2.2.17) и (2.2.18) эквивалентны.

Заметим также, что , где – силы нормальных реакций, не совершающие работы. Тогда

(2.2.19)

 

Если связи идеальные, то (в общем случае идеальными можно называть связи, для которых виртуальная работа сил реакции обращается в нуль). В этом случае

(2.2.20)

(2.2.20) – условие Лагранжа, выражающее принцип виртуальных перемещений: виртуальная работа заданных сил, приложенных к системе с идеальными связями и находящейся в равновесии, равна нулю.

Объединим принцип виртуальных перемещений с принципом д¢Аламбера. Для идеальных связей запишем:

(2.2.21)

Это общее уравнение механики. В любой момент времени движения механической системы с идеальными связями алгебраическая сумма виртуальных работ заданных сил и д¢Аламберовых сил инерции равна нулю – объединенный принцип д¢Аламбера–Лагранжа, который можно использовать как основную аксиому механики.

В декартовых координатах общее уравнение механики:

(2.2.22)

Общее уравнение механики легко обобщается на случай неидеальных связей:

(2.2.23)