Численные методы интегрирования дифференциальных уравнений: метод Эйлера и метод Рунге-Кутта.

Прямой метод Эйлера - аппроксимируем производную в момент времени t_k соотношением

При такой аппроксимации уравнение (1) примет вид:

(2)

Формула (2) известна как прямой метод Эйлера. На рис.1(a) показана графическая интерпретация прямого метода Эйлера. На (k+1)-ом шаге векторное поле предполагается (локально) постоянным со значением f(x_k,t_k).

Рис.1 Иллюстрация алгоритмов (а) прямого метода Эйлера, (b) обратного метода Эйлера. Меньшее значение величины шага h в итоге дает точки аппроксимации чаще и, как демонстрирует рис.2, приводит к большей точности интегрирования, что приобретает математический смысл, поскольку (2) стремится к (1) при h->0.

Рис.2 Влияние величины шага. Уравнение dx/dt=-6x+5t^-t интегрируется от x=1 прямым методом Эйлера при h=0.3 (а) и при h=0.1 (b). Точное решение показано штриховой линией. Обратный метод Эйлера - обратный метод Эйлера подобен прямому, но есть одно отличие в аппроксимации для производной

. Такая аппроксимация дает формулу обратного метода Эйлера:

(3)

На рис.1(b) показана геометрическая интерпретация обратного метода Эйлера. На (k+1)-ом шаге векторное поле предполагается (локально) постоянным со значением f(x_k+1,t_k+1).
Обратный метод Эйлера - это пример неявного алгоритма интегрирования, где x_k+1 является функцией от самой себя. И напротив, прямой метод Эйлера представляет собой явный алгоритм. В неявных алгоритмах для определения x_k+1 требуются дополнительные вычисления, но они по сравнению с аналогичными прямыми алгоритмами более устойчивы и дают более высокую точность вычислений (см. рис.3). Возможно это обусловлено наличием члена x_k+1 в правой части формулы, что может рассматриваться как вид обратной связи.

Рис.3 Та же система, что и на рис.2 проинтегрирована от x₀=1.0 с h=0.3 (a) прямым методом Эйлера, (b) обратным методом Эйлера. Точное решение показано штриховой линией. Метод Рунге-Кутта - в основу семейства алгоритмов Рунге-Кутта положена идея аппроксимации ф_t(x_k) рядом Тейлора. Рассмотрим алгоритмы второго и четвертого порядков. Термин "k-го порядка" означает, что в аппроксимации используется k членов ряда Тейлора. Метод Рунге-Кутта второго порядка -имеется целое семейство уравнений Рунге-Кутта второго порядка. Мы рассмотрим модифицированный алгоритм Эйлера-Коши, заданный соотношением:

Из этой формулы следует, что модифицированный алгоритм Эйлера-Коши включает два этапа. На первом этапе с помощью прямого метода Эйлера происходит перемещение на пол шага вперед к моменту времени (t_k+h/2):

На втором этапе это промежуточное значение используется для аппроксимации векторного поля с помощью итераций Эйлера прямого типа:

Модифицированный алгоритм Эйлера-Коши использует значение векторного поля в средней точке между x_kи x_k+1. Он отличается от трапецеидального алгоритма, в котором используется среднее значение векторного поля по x_k и x_k+1. Его можно рассматривать как явный алгоритм, который, используя промежуточный шаг по времени, включен в неявный алгоритм. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка - как и в случае алгоритма второго порядка метод Рунге-Кутта четвертого порядка относится к явным алгоритмам. Он использует промежуточные моменты времени для для вычисления состояния в момент времени t_k+1. Следующие формулы определяют алгоритм Рунге-Кутта четвертого порядка:

(4)

Каждое из четырех K_i является аппроксимирующим значением векторного поля.
K₁ - значение векторного поля при x_k.
K₂ - аппроксимированное значение на полшага позже, в момент времени t_k+h/2. В сущности, это прямой метод Эйлера с временным шагом h/2.
K₃ - также значение векторного поля в момент t_k+h/2, но вычисляется с использованием K₂. Это схоже с обратным методом Эйлера с половинным шагом, за исключением того, что вместо неявного разложения (3) используется явная аппроксимация для f в момент времени t_k+h/2.
K₄ - значение векторного поля в момент t_k+1, вычисляется с использованием основного последнего значения K₃. Это модифицированный шаг Эйлера-Коши. Наконец, эти четыре значения усредняются, чтобы дать аппроксимацию векторного поля для определения x_k+1.

4)Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными. Дифференциальные уравнения с разделенными переменными .
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными .
Дифференциальные уравнения, сводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными , a ≠ 0, b ≠ 0.
Дифференциальные уравнения, сводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными или .
Дифференциальные уравнения, сводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными .

Однородные уравнения.

Однородные уравнения – это уравнения вида k 0 xn + k 1 xn −1 y + k 2 xn −2 y 2+...+ kn −1 xyn −1+ knyn =0 k ​0​​ x ​ n ​​+ k ​1​​ x ​ n −1​​ y + k ​2​​ x ​ n −2​​ y ​2​​+...+ k ​ n −1​​ xy ​ n −1​​+ k ​ n ​​ y ​ n ​​=0 с двумя неизвестными, в каждом из слагаемых которых одинаковая сумма степеней этих неизвестных.