Численные методы решения задачи (3.1) – (3.2)

Поясним основные понятия, возникающие при использовании численных методов.

Введем по переменной t равномерную сетку с шагом h>0, т.е. рассмотрим множество точек .

1. Метод Эйлера. Уравнение (3.1) заменяется разностным уравнением

.

Где

Решение этого уравнения находится явным образом по рекуррентной формуле .

Погрешность метода. , где – константа, зависящая от правой части дифференциального уравнения (3.1). В этом случае метод имеет первый порядок точности.

 

Метод Рунге – Кутта второго порядка точности.

Предположим, что приближенное значение решение исходной задачи в точке уже известно. Для нахождения поступим следующим образом. Сначала, используя схему Эйлера вычислим промежуточное значение , а затем воспользуемся разностным уравнением , из которого явным образом найдем искомое значение .

Погрешность метода. , где – константа, зависящая от исходных данных (3.1). Этот метод имеет второй порядок точности.

Метод Рунге – Кутта третьего порядка точности.

Считаем, что решение задачи (3.1) – (3.2) в точке уже известно. Тогда решение задачи (3.1) – (3.2) определяется по следующей схеме:

Погрешность метода.

, где – константа, не зависящая от к.

Метод Рунге – Кутта четвертого порядка точности.

Погрешность метода.

, где – константа, зависящая от начальных данных и не зависящая от к.

Замечание: Метод Рунге-Кутта также применяется, если неизвестная функция является вектором, т.е.

, где .

 

Задача теплообмена в трубопроводе нефтеперевозки. Дифференциальные уравнения второго порядка. Краевая задача 1-го рода.

Постановка задачи

Задача. Длинный трубопровод с теплопроводностью λ (ккал/м.час град.) находится в состоянии теплового равновесия, т.е. температура точек трубопровода не изменяется во времени. Потеря тепла через поверхность трубопровода в окружающую среду, температура которой , пропорциональна разности температур с постоянным коэффициентом теплопередачи α (ккал/м². час град.). Считая температуру θ во всех точах поперечного сечения трубопровода постоянной, найти ее зависимость θ = θ(х) от координаты, отсчитываемой от какого-либо конца.

 

Математическая модель

 

Строго говоря, решение этой задачи приводит к дифференциальному уравнению с частными производными, так как температура в поперечном сечений трубопровода не вполне постоянна и является функцией расстояния х и расстояния поверхности стержня.

Однако, если трубопровод достаточно тонкий и если теплопроводность его велика, то мы можем без существенной ошибки пренебречь температурными градиентами в направлениях перпендикулярных к оси трубопровода и принять температуру постоянной в каждой точке поперечного сечения, перпендикулярного оси Ох. При таком допущении температура является функцией только одного независимого переменного х и распределение температуры может быть описано обыкновенным дифференциальным уравнением.

Пусть длина стержня равна l м, периметр поперечного сечения p м, площадь поперечного сечения Q м². Исследуем процесс распространения тепла в элементарном отрезке длиной dx на расстоянии х от того конца стержня, температура которого t₁. Количество тепла проходящего за время dt через сечение трубопровода находящееся на расстоянии х от начало трубопровода, согласно теории теплопередачи, будет равно:

 

 

Количество тепла, прошедшее за время dt через сечение, находящееся на расстоянии х + dx от начала, будет равна:

 

 

Участок стержня, заключенный между сечениями, отстоящими от начала на расстояниях х и х + dx, вследствие теплопроводности, приобретает за время dt количество тепла, равное разности указанных количеств, т.е.:

 

 

За то же время потеря тепла от этого же участка в окружающую среду будет равна:

 

 

Но так как изучаемый нами процесс является стационарным, то:

 

 

Окончательно мы приходим к следующему дифференциальному уравнению:

 

 

В итоге получена задача:

 

Это уравнение с постоянными коэффициентами. Его общий интеграл будет:

 

 

Используя граничные условия, составим систему:

 

откуда

 

Подставляя значения С₁ и С₂ получим:

 

 

Выделим элемент длины dх, находящийся на расстояний х от левого конца, и примем его температуру равной . За время ∆t через левую границу этого элемента пройдет количество тепла

а через правую на расстоянии х+dх от конца

Таким образом, выделенный участок приобретает за время t количество тепла, равное разности

.

Вместе с тем потеря тепла этого элемента через поверхности в окружающую среду равна

.

Вследствие предположения о стационарности процесса эти количества равны, т.е.

откуда

(4.1)

Пусть на обоих концах стержня поддерживается постоянная температура . Тогда краевые условия имеют вид.

, (4.2)

 

Численный пример. Пусть a = 10

l = 300 ккал/м×час×град

 

тогда

 

При этом случае получится зависимость