Систему линейных алгебраических уравнений перепишем в виде

 

(7.11)

i = 1, 2, …, N-1 при каждом j=0,1,…,M-1.

где

 

 

Метод прогонки для решения разностной схемы.

Система (7.9) – (7.10) является системой линейных алгебраических уравнений с N-1 неизвестными. Полученная задача решается методом прогонки.

Пусть

. (7.12)

После подстановки в (7.11) получится рекуррентная формула

 

(7.13)

Для определения преобразуя (7.10) приводим его к виду

(7.14)

где

Сравнивая (7.14) с (7.12) получаем, что

 

(7.15)

 

Теперь из (7.12), (7.15) определяются все

 

 

После этого рассматривая совместно (7.12) и (7.9) вычисляются все

 

В данном случае все условия теоремы 2 из §4 выполняются, поэтому метод прогонки для решения задачи (7.9) – (7.11) является устойчивой.

 

Расчетная схема

 

1) Используя заданные функций вычисляются

 

(7.16)

 

 

2) Из рекуррентного соотношения

определяются все

3) После этого используя формулу правой прогонки

определяются все .

 

Переменные и блок – схема

 

В данном случае искомая функция зависит от двух переменных t и х. Поэтому соответствующая сеточная функция зависит от двух дискретных переменных i и j. При программировании мы должны резервировать место в оперативной памяти компьютера для двухмерного массива.

БЛОК-СХЕМА

 

 

α, Н0, N, М, λ(θ), с(θ),ρ(θ), θ1

Ввод начальных данных и

описание термодинамических

характеристик грунта.

- - - - -

Вычисление параметров

разностной схемы и

начальной функций

Δt, Δh, У[l], l =0, …, N У1[0] = θ1

- - - - -

конец

J = 0, M - 1, 1

E, αN-1, β N-1

Начальные значения

коэффициента прогонки

- - - - - -

I = N-1, 1, -1

 

 

I = 0, N - 2, 1

 

 

 

 

рис. 3.

 

Если M и N достаточно большие величины, то в оперативной памяти компьютера может не хватит места для массива . Чтобы избежать этого, вводятся одномерные массивы . Вместо массивов A_i, B _i, C _i используются идентификаторы A_, B_, C. Для отводятся одномерные массивы . В формуле (7.16) при определений A_i,C_i,B _i используется отношение . Если это выражение очень большое, то вычислительный процесс будет не устойчивой. В этом случае не выполняется теорема 2.

Теорема 3. Пусть решение дифференциальной задачи (7.4)-(7.7) θ обладает непрерывными производными до четвертого порядкаи если , то решение разностной схемы (7.8) – (7.10) сходится к решению дифференциальной задачи (7.4) – (7.7).

Алгоритм реализации схемы расчета приведен на рис. 3.

Задания для лабораторной работы.

Составить программу и произвести расчет при следующих начальных данных распределения температуры и теплопроводных характеристиках грунта.

1) Температура воздуха изменяется по закону

.

Варианты значений θ_max и θ_min:

 

1. θmax = - 40^0, θmin = -50^0 2. θmax = - 43^0, θmin = -51^0 3. θmax = - 30^0, θmin = -38^0 4. θmax = - 20^0, θmin = -30^0 5. θmax = - 35^0, θmin = -45^0 6. θmax = - 24^0, θmin = -35^0

7. θmax = - 18^0, θmin = -25^0 8. θmax = - 13^0, θmin = -20^0 9. θmax = - 24^0, θmin = -33^0 10. θmax = - 28^0, θmin = -40^0 11. θmax = - 14^0, θmin = -25^0 12. θmax = - 34^0, θmin = -45^0

 

Глубина заложения трубопровода Н = 1,5 м; t_max =24 час, считаем, что начальное распределение температуры от трубопровода до поверхности изменяется по закону

Температура на поверхности трубопровода равен θ₁ = 45⁰.

 

Теплопроводные характеристики грунта приведены в таблице 1.

 

	ρ,
	1,8 – 1,9 1,9 – 1,95 2,6 – 2,8 2,3 - 3 2,2 – 2,4 2,3 –2,6 3,3 3-3,2 2-2,2 3,3-3,5 2,4-2,6	0,075 + 0,00021 · θ 0,72 + 0,0005 · θ 0,8 + 0,0006 · θ 4,0 - 0,0015 · θ 4,0 - 0,0017 · θ 1,45 - 0,0002 · θ 1,8 + 0,0016 · θ 1,2 + 0,00055 · θ 1,6 + 0,00045 · θ 4,5 - 0,0012 · θ 1,4 + 0,0025 · θ 4,7 - 0,0014 · θ	0,91 0,21 + 0,00055 · θ 0,2 + 0,00003 · θ 0,2 + 0,0002 · θ 0,43 + 0,0001 · θ 0,2 + 0,0003 · θ 0,19 + 0,0001 · θ 0,13 + 0,0003 · θ 0,12 + 0,0035 · θ 0,15 + 0,0031 · θ 0,23 + 0,0004 · θ 0,32 + 0,0005 · θ

Обратная задача для уравнения теплопроводности

Постановка задачи

 

Пусть - коэффициент теплопроводности,

- температура в точке z в момент времени t.

Тогда процесс распространения тепла на отрезке описывается уравнением

 

 

В прямой задаче надо найти по известной функции .

Для единственности решения прямой задачи необходимо задать начальные условия

 

 

и по одному условию на каждой из границ, например, поток

 

 

Если данные прямой задачи (1)-(4) достаточно гладкие и , то решение прямой задачи существует и единственно.

 

Обратная задача

Пусть о решении прямой задачи (1)-(4) известна дополнительная информация

Требуется определить один из коэффициентов уравнения (1) (или какую-либо их комбинацию) из соотношений (1)-(5).

Численное решение обратной задачи (1)-(5) будем искать при , минимизируя целевой функционал

Зададим начальное приближение .

Приближение будем вычислять методом простой итерации

 

 

Здесь - достаточно малое число, - градиент функционала .

 

Обратная задача 1: найти коэффициент из соотношений:

 

Найдем приращение функционала (6):

 

Здесь . является решением следующей задачи

 

Рассмотрим сопряженную задачу:

 

 

Умножим обе части равенства (12) на функцию и проинтегрируем по области :

 

 

Проинтегрируем по частям выражение

 

 

Имеем

 

 

Тогда учитывая условия (13)-(15) и (17)-(19), получим, что

 

 

Последние два слагаемых в правой части равенства (21) имеют второй порядок малости. Тогда получаем следующий градиент функционала

Здесь - решение сопряженной задачи.