Несобственный интеграл с бесконечными пределами

Для того, чтобы приближенно вычислить сходящийся несобственный интеграл

 

с точностью до ε, представляют его в виде

 

 

где выбирают настолько большим, чтобы имело место неравенство

 

 

Затем определенный интеграл

 

вычисляют по одной из квадратурных формул с точностью ε/2 и приближенно полагают

 

В практических расчетах найти величину во многих случаях затруднительно, поэтому поступают следующим образом. Сначала задается определенный шаг и вычисляются интегралы.

 

 

и проверяется неравенство если да, то в качестве значении исходного интеграла берется , если нет, то вычисляется интеграл и проверяется неравенство

 

 

и так далее.

Задача 5. Расчет технологических показателей слоисто-неоднородного пласта. Нефтяное месторождение разрабатывается с применением заводнения по однородной схеме расположения скважин. Элемент однорядной схемы расположения скважин, содержащий 0,5 добывающий и 0,5 нагнетательной скважины (всего одну скважину), показан на рис. 45, откуда видно, что расстояние между линией нагнетания и линией отбора l =500м, а расстояние между скважинами (ширина элемента) м. Продуктовый пласт неоднородный. Его можно представить модельно

 

Рис. 8

 

слоистого пласта [16], состоящего из тонких гидродинамических изолированных пропластков, абсолютная проницаемость которых, подчиняется логарифмически нормальному закону с плотностью распределения по формуле

При этом средняя проницаемость пласта общая толщина пласта h₀ = 18,75м, охваченная заводнением толщина пласта h = 15м (коэффициент охвата 0,8). Принимается, что пористость всех пропластков слоистого пласта m = 0,2, начальная насыщенность связанной водой S_св = 0,1. Вязкость нефти в пластовых условиях μ_н = 2мПа×С, вязкость воды μ_в = 1мПа×С.

 

Рис. 9

 

Будем считать, что вытеснение нефти водой из отдельных пропластков происходит в соответствии с вытеснением по модели поршневого вытеснения (рис.9), причем во всех пропластках остаточная нефтенасыщенность постоянная, равная S_пост = 0,45. В соответствии с моделью поршневого вытеснения нефти водой относительные проницаемости нефти впереди фронта вытеснения k_н и для воды позади фронта вытеснения k_в постоянны и одинаковы для всех пропластков, так что k_н = 1, k_в = 0,5.

Разработка осуществляется при постоянном перепаде между линиями нагнетания и отбора, равном Предполагается, что за весь рассматриваемый период ни один элемент системы не выбивает из разработки. Требуется рассчитать изменение в течение 15 лет следующих показателей разработки месторождения: добыча нефти, обводненность продукции и текущей нефтеотдачи.

Решение. Для того, чтобы получить формулы для расчета дебитов нефти и воды с учетом вероятностно-статистического распределения пропластков по проницаемости, сложим все пропластки в один «штабель», в нижней части которого расположен пропласток с «бесконечно большой», а вверху – с нулевой проницаемостью. Поскольку принимается, что абсолютная проницаемость некоторого пропластка в слоистом пласте может быть «бесконечно большой», обводнение такого слоистого пласта начнется в момент закачки воды, т.е. в момент времени t = 0. Другие пропластки, имеющие конечную проницаемость, будет обводняться в соответствующие моменты времени. Время t обводнения пропластка, имеющего проницаемость определяется по формуле [4]:

 

 

Расход воды, закачиваемой в обводнившую часть слоистого пласта, равна

 

 

Нефть добывается из необводнившихся, пропластков с проницаемостью . Формула для дебита нефти из слоистого пласта имеет вид

 

 

Дебит жидкости Обводненность добываемый из слоистого пласта имеет продукции

 

 

Чтобы определить изменение во времени текущей нефтеотдачи элемента h_э=h_э(t), можно определить накопленную добычу нефти элемента по формуле

 

 

и затем разделить ее на геологические запасы нефти в элементе. Так как добыча нефти исчисляется в объемных единицах, приведенных к пластовым условиям, будем определять не геологические запасы нефти элемента в массовых единицах, а объем нефти V_нэ в пластовых условиях в элементе пласта. Имеем

 

Текущая нефтеотдача составит h_э = θ_нэ/V_нэ.

Определение показателей разработки месторождения. Согласно плану разбуривания и обустройства месторождения ежегодно в течение шести лет, т.е. в течение срока ввода месторождения в разработку, в эксплуатацию передается по 50 элементам. Всего за 15 лет будет введено в эксплуатацию 300 элементов. Для простоты считаем, что добыча нефти с разбуриваемых и обустраиваемых элементов будет происходить с начала каждого года. Для определения добычи нефти и воды в целом по месторождению суммируются добыча нефти воды по элементам. Обводненность добываемой из месторождения продукции вычисляют по формуле

 

 

всего по месторождению в разработку вовлекается объем нефти в пластовых условиях

 

Коэффициент охвата по месторождению в целом . Поэтому общий объем нефти в пласте

 

 

Нефтеотдача по месторождению в целом определяется как отношение объема накопленной добычи нефти

к первоначальному объему нефти в пласте V_н.

Задача 6. При разработке нефтяного месторождения, имеющего площадь нефтеопасности S = 2494,08×10⁴ м², использована площадное заводнение при семиточечной схеме расположения скважин. Расстояние между двумя добывающими или между добывающей и нагнетательной скважинами . Радиус нагнетательной скважины r_c = 0,1м. Продуктивный пласт неоднородный по толщине и его можно представить моделью слоисто-неоднородного пласта. Плотность распределения абсолютной проницаемости соответствует логарифмическому закону. При этом k = 0,25×10^{-12 м2}, σ = 0,5. Общая толщина пласта составляет 25м, а толщина пропластков, вовлекаемых в разработку, h = 20м. Пористость нефтенасыщенных пород m = 0,23, вязкость нефти в пластовых условиях μ_н = 2,5мПа×С, вязкость воды μ_в = 1мПа×С. Насыщенность пласта связанной водой S_св = 0,1. Вытеснение нефти водой происходит поршневым способом, при этом для всех пропластков k_н =1, k_в =0,4, S_ност =0,4, так что μ_в/ k_в = μ_н/ k_н. Перепад давления между нагнетательной скважиной и контуром отбора радиусом R составляет ∆ρ_с = 2×10⁶Па.

Скорость ввода элементов в разработку – 10 элементов за год, срок ввода месторождения в разработку – 6 лет. Таким образом, всего в разработку вводится 60 элементов.

Требуется определить изменение в течение 15 лет следующих показателей:

1. Добычи нефти, обводненности продукции и текущей нефтеотдачи для одного элемента разработки.

2. Добычи нефти, воды и текущей нефтеотдачи для месторождения в целом.

Решение. Проницаемость k_* пропластков, обводнившихся к моменту времени t определяется по формуле:

 

(32)

 

 

Будем приближенно считать, что при разработке элемента семиточечной системы происходит радиальное вытеснение нефти водой, закачиваемой в нагнетательную скважину, к «контуру отбора», имеющему форму окружности радиуса R (рис.10), на которой находится добывающие скважины.

Элементарный расход воды dq_i, поступающей в i -й пропласток толщиной dh_i, в этом случае составит

 

 

 

Рис. 10

 

Будем предполагать, что в некоторый момент времени t фронт воды, вытесняющий нефть из i- го пропластка, продвинулся на расстояние r_в от начала координат (рис. 10).

Разделяя переменные в приведенном выражении и интегрируя в пределах r_c £ r £ r_в, получаем

 

где – давление на фронте вытеснения нефти водой. Впереди фронта вытеснения движется нефть. Поэтому после интегрирования аналогичного выражения для нефти в пределах r_в £ r £ R имеем

 

 

где Р_к – давление на контуре добывающих скважин. Из последних двух равенств следует, что

(30)

 

где Р_с – давление на нагнетательной скважине,

Р_к – давление на добывающей скважине.

Для того, чтобы получить формулы для расчета дебитов нефти и воды с учетом вероятностно-статистического распределения пропластков по проницаемости, сложим все пропластки в один «штабель» в нижней части которого расположен пропласток с «бесконечно большой», а вверху – с нулевой проницаемостью. Тогда общая толщина h слоев с проницаемостью не ниже k₀, отсчитываемая от кровли штабеля пропластков-модели слоистого пласта, будет выражаться по формуле соответствующего вероятностно-статистического закона распределения проницаемости

 

где Н – общая толщина слоистого пласта. Дифференцируя, равенство имеем

 

 

где f(k) – вероятностно-статистическая плотность. То есть dh = Hf(k)dk. Учитывая это, на основе формулы (30) получим следующие выражения для дебита нефти, приведенного к пластовым условиям и воды:

 

 

Выражение для элементарного расхода воды, поступающей в i -й пропласток можно написать, рассматривая согласно рис.47 характер перемещения со временем фронта вытеснения нефти водой i -м пропластке и распределения в нем остаточной нефтенасыщенности пласта связанной водой имеем

 

(31)

 

Приравнивая правые части (30) и (31) и опуская индекс i, получаем

 

 

Выполняя интегрирование при ∆Р_с = const, приходим к следующему соотношению определения r_в при различных значениях времени t.

 

 

Поскольку принимается, что абсолютная проницаемость некоторого пропласта в слоистом пласте может быть «бесконечно большой», обводнение такого слоистого пласта начнется в момент закачки воды, т.е. в момент времени t = 0. Другие пропластки, имеющие конечную проницаемость, будет обводняться в соответствующие моменты времени. Поэтому, чтобы найти проницаемость пропластков, обводнившихся к моменту времени t = t_*, необходимо положить в последнем равенстве r_в=R. Тогда получим формулу (32).

Замечание. Для прямолинейного вытеснения нефти водой уравнение (31) принимает вид:

 

 

где в – ширина элемента, х_в(t) – продвижение воды за время t.

 

Замечание. Абсолютная проницаемость гидродинамический изолированных слоистых пропластков могут подчиняться гамме-распределения, плотность которого определяется по формуле

 

Задания для лабораторной работы.

№ п/п	Известные параметры	Распределение	Определить	Точность
	Прямолинейное вытеснение, в, l, H, H0, Scв, Sност, μн, μв, kн, kв, σ	Нормально-логарифмическое	qн(t), qв(t), qж(t), υ, h	ε = 10^-8
	Прямолинейное вытеснение, в, l, H, H0, Scв, Sност, μн, μв, kн, kв, , a	гамма	qн(t), qв(t), qж(t), υ, h	ε = 10^-9
	Семиточечное вытеснение R H, H0, Scв, Sност, μн, μв, kн, kв, σ	Нормально-логарифмическое	qн(t), qв(t), qж(t), υ, h	ε = 10^-8
	Семиточечное вытеснение R H, H0, Scв, Sност, μн, μв, kн, kв, a	Гамма	qн(t), qв(t), qж(t), υ, h	ε = 10^-10

Задача 7. Предположим, что плоский пласт состоит из двух областей с различными свойствами (проницаемостью, пористостью и т.д.), разделенных прямолинейной границей (рис. 11). Пусть в момент t = 0 первоначально стационарное состояние возмущается в результате пуска скважины в точке (а, 0) с постоянным расходом q. Тогда распределенные давления в каждой из областей описывается уравнениями.

(33)

 

На границе х = 0 выполняются условия непрерывности давлений и потоков:

 

 

Рис. 11

 

Во втором уравнений (33) в правую часть непосредственно введен точечный источник интенсивности q. Через δ, как обычно, обозначена дельта-функция, определяемая условиями

 

 

Решение. В работе [5] при (малые времена) получено

 

Пусть теперь имеется обратная неравенство: , в этом случае распределение давления имеет вид:

 

 

Замечание. П.Я. Полубаринова-Кочина рассмотрела аналогичную стационарную задачу и показала, что распределение давления в той части пласта, где находится источник, совпадает с распределением давления в однородной среде при действий двух источников интенсивностью (где ) расположенных симметрично относительно границы раздела.

Задания для лабораторных работ.

№ п/п	Заданные параметры	Определить	Точность
	x1, x2, k1, k2, q, a	P(x, y, t) при малых t	ε = 10^-8
	x1, x2, k1, k2, q, a	P(x, y, t) при больших t	ε = 10^-^10

 

2. Интерполирование функций. Сплайны первого и второго порядка.

 

 

Интерполяция

Приближение функции, известной на конечном множестве точек М, некоторой функцией (сплайном, многочленом Лагранжа и т.п.), значения которой совпадают со значениями данной функции на М.

 

Постановка задачи. Функция у = f(x) задана в табличном виде

 

X	x0	x1	x2	x3	…	xn
f(x)	f(x0)	f(x1)	f(x2)	f(x3)	…	f(xn)

 

в точках ,

Найти приближенное значение функции у = f(x) в промежуточных точках

Решение. Если аналитический вид функции у = f(x) неизвестен, то значения функции вычисляются приближенно. Приближенные методы вычисления называется интерполированием функции. Наиболее точным и простым методом интерполирования функции является интерполирование функции сплайном.