Приближенный метод решения задачи (4.1) – (4.2)



Мы поможем в написании ваших работ!


Мы поможем в написании ваших работ!



Мы поможем в написании ваших работ!


ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Приближенный метод решения задачи (4.1) – (4.2)



 

Отрезок разбиваем на n равных частей с шагом . Тогда получится сетка .

Обозначим

Мы знаем, что

При малых h справедливо соотношение

или

- правая разностная производная, - левая разностная производная.

Аналогично получится приближенная формула

т.е. считаем, что площадь поперечного сечения Q постоянная величина вдоль трубопровода. На основе этих формул из (4.1) получается приближенное неравенство.

Предполагая, что h малая величина составляем равенства

(4.3)

i=1, 2, …, n-1.

, . (4.4)

где .

(4.3) – (4.4) является разностной задачей.

 

Теорема – 1. Если , то решение разностной задачи (4.3) – (4.4) сходится к решению (4.1) – (4.2) при и справедливо неравенство

 

(4.5)

где C- константа, зависящая от начальных данных.

Из (4.5) становится ясно, что при малом h в качестве можно взять решение приближенной задачи (4.3) – (4.4).

 

4.4. Трехточечная разностная схема. Метод прогонки

Из (4.3) – (4.4) получаем равенства

 

(4.6)

где

.

(4.6) – называется трехточечной разностной схемой. Это есть система n-1 линейных алгебраических уравнений c неизвестными. Данная система имеет единственное решение.

Система (4.6) решается методом прогонки. Предполагаем, что решение (4.6) имеет вид

(4.7)

Подставляем его в (4.6). Тогда,

 

или

(4.8)

 

Сравнивая (4.7) и (4.8) получим соотношения

(4.9)

 

Из (4.7) при l = n-1 получим

.

 

Из этого тождества получим

 

. (4.10)

 

Из (4.9) и (4.10) определяются все

 

i = n-2, n -3, …, 0.

После этого из (4.7) используя определяются все

.

Теорема 2.Если и , то метод прогонки является устойчивой. То есть, при реализаций схемы ошибки округления не накапливаются.

В нашем случае оба неравенства выполняются, поэтому метод прогонки является устойчивым.

 

Переменные. Блок-схема

 

Из определения Аі, Ві, Сі следует равенства

 

Сі = Аі -1, Ві = Аі і - 1 + а2 h2

Поэтому, (4.9) можно переписать в виде

 

На основе этих формул, при программировании используются массивы

A[0…n], α[0…n-1], β[0…n-1].

БЛОК-СХЕМА

 
 

 


αn-l =0, βn-1 = θ2

 

l=n-1, 0,-1

         
 
 
 
   
конец
 

 

 


l=0, n-1, 1

       
   
 
 

 


Цель лабораторной работы.

 

С помощью программы установить:

- если длина трубы l достаточно большой, то граничные условия практически не влияют на распределение температуры вдоль трубопровода.

- если длина трубы l короткая, то θ1 и θ2 влияет на распределение температуры вдоль трубопровода.

- изучить влияние α и θ0 на распределение температуры.

 

 

Смешанная краевая задача для уравнения параболического типа. Нестационарный теплообмен при перевозке нефти трубопроводом.

Постановка задачи

Подогретый до температуры θ1 (град.) нефть перевозится по подземному трубопроводу.

Глубина прокладки нефтепровода Н(м).

 

Считая, что теплоотдача происходит только по вертикальному направлению определить распределение температуры от трубы до поверхности земли.   х     Н   О  

Рис. 12

Математическая модель.

Ось ОХ направим вертикально вверх (рис. 1). На оси ОХ выделим элемент с координатами х и х + Δх. Тогда приращение энергии в направлений оси х за время Δt будет

 

(7.1)

 

С другой стороны, согласно закону сохранения энергий,

(7.2)

Левые части (7.1) и (7.2) равны, поэтому

 

где ρ– плотность грунта [кг/м3];

с – массовая теплоемкость грунта [кдж/кг.град];

λ – коэффициент теплопроводности грунта [вт/м·град.].

При х = 0 задается температура . На поверхности земли происходит конвективный теплообмен между поверхностью тела и окружающей средой (воздух).

В основу изучения конвективного теплообмена положен закон Ньютона-Рихмана

 

 

где q – плотность теплового потока, вт/м2;

θ0 – температура воздуха, 0С;

θгр – температура поверхности грунта,0С;

α – коэффициент теплоотдачи, вт/(м2·град);

Согласно закону сохранения энергии, количество теплоты, отдаваемый единицей поверхности тела окружающей среде за единицу времени вследствие теплоотдачи, должно быть равно теплоте, которая путем теплопроводности подводится к единице поверхности в единицу времени со стороны внутренних частей тела, т.е.

 

(7.3)

 

Равенство (7.3) является математической формулировкой граничного условия третьего рода; оно является действительной для каждого момента времени t.

называется граничным условием первого рода.

Получена задача: найти решение нестационарного параболического уравнения со смешанными граничными условиями, т.е.

 

(7.4)

 

θ(t,0) = θ1 = const (7.5)

 

(7.6)

 

(7.7)

 

Теорема 1. При определенных условиях на ρ(θ), с(θ) и λ(θ) задача (7.4) - (7.7) имеет единственное решение.

Выводы:

5.3. Приближенный метод решения задачи (7.4) – (7.6)

Решение задачи (7.4) – (7.6) зависит от двух переменных , где t – время, час; х – координата точки грунта, м. Поэтому задача (7.4) – (7.6) решается в области

Q= (0, Тmax)·(0,H),

Сетка. Отрезок [0, H] разбиваем на N равных частей с шагом h = H/N, а отрезок [0, Tmax] на М равных частей с шагом ∆t = Tmax /M. Тогда получается сетка (рис. 2).

 

  В рис.2 «крестиками» - х обозначены граничные узлы, а «ноликами» - 0 обозначены внутренние узлы.     Н х х х х х   х о о о о   х о о о о   х х х х х t Тmax Рис. 2

Аппроксимация выражений

 

 

т.е. функций ρ(θ) и с(θ) определяются на нижних слоях. В начальный момент времени, т.е. при

.

Вместо задачи (7.4) – (7.7) решается приближенная задача

 

(7.8)

 

(7.9)

 

(7.10)

В системе (7.8) i = 1, 2, …, N-1 при каждом j=0,1,…,M-1.



Последнее изменение этой страницы: 2016-04-23; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.236.212.116 (0.031 с.)