Приближенный метод решения задачи (4.1) – (4.2)

 

Отрезок разбиваем на n равных частей с шагом . Тогда получится сетка .

Обозначим

Мы знаем, что

При малых h справедливо соотношение

или

- правая разностная производная, - левая разностная производная.

Аналогично получится приближенная формула

т.е. считаем, что площадь поперечного сечения Q постоянная величина вдоль трубопровода. На основе этих формул из (4.1) получается приближенное неравенство.

Предполагая, что h малая величина составляем равенства

(4.3)

i=1, 2, …, n-1.

, . (4.4)

где .

(4.3) – (4.4) является разностной задачей.

 

Теорема – 1. Если , то решение разностной задачи (4.3) – (4.4) сходится к решению (4.1) – (4.2) при и справедливо неравенство

 

(4.5)

где C- константа, зависящая от начальных данных.

Из (4.5) становится ясно, что при малом h в качестве можно взять решение приближенной задачи (4.3) – (4.4).

 

4.4. Трехточечная разностная схема. Метод прогонки

Из (4.3) – (4.4) получаем равенства

 

(4.6)

где

.

(4.6) – называется трехточечной разностной схемой. Это есть система n-1 линейных алгебраических уравнений c неизвестными. Данная система имеет единственное решение.

Система (4.6) решается методом прогонки. Предполагаем, что решение (4.6) имеет вид

(4.7)

Подставляем его в (4.6). Тогда,

 

или

(4.8)

 

Сравнивая (4.7) и (4.8) получим соотношения

(4.9)

 

Из (4.7) при l = n-1 получим

.

 

Из этого тождества получим

 

. (4.10)

 

Из (4.9) и (4.10) определяются все

 

i = n-2, n -3, …, 0.

После этого из (4.7) используя определяются все

.

Теорема 2. Если и , то метод прогонки является устойчивой. То есть, при реализаций схемы ошибки округления не накапливаются.

В нашем случае оба неравенства выполняются, поэтому метод прогонки является устойчивым.

 

Переменные. Блок-схема

 

Из определения А_і, В_і, С_і следует равенства

 

С_і = А_{і -1}, В_і = А_і +А_{і - 1} + а² h²

Поэтому, (4.9) можно переписать в виде

 

На основе этих формул, при программировании используются массивы

A[0…n], α[0…n-1], β[0…n-1].

БЛОК-СХЕМА

 

αn-l =0, βn-1 = θ2

 

l=n-1, 0,-1

		конец

 

 

l=0, n- 1, 1

 

Цель лабораторной работы.

 

С помощью программы установить:

- если длина трубы l достаточно большой, то граничные условия практически не влияют на распределение температуры вдоль трубопровода.

- если длина трубы l короткая, то θ₁ и θ₂ влияет на распределение температуры вдоль трубопровода.

- изучить влияние α и θ₀ на распределение температуры.

 

 

Смешанная краевая задача для уравнения параболического типа. Нестационарный теплообмен при перевозке нефти трубопроводом.

Постановка задачи

Подогретый до температуры θ₁ (град.) нефть перевозится по подземному трубопроводу.

Глубина прокладки нефтепровода Н(м).

 

Считая, что теплоотдача происходит только по вертикальному направлению определить распределение температуры от трубы до поверхности земли.

х     Н   О

Рис. 12

Математическая модель.

Ось ОХ направим вертикально вверх (рис. 1). На оси ОХ выделим элемент с координатами х и х + Δх. Тогда приращение энергии в направлений оси х за время Δt будет

 

(7.1)

 

С другой стороны, согласно закону сохранения энергий,

(7.2)

Левые части (7.1) и (7.2) равны, поэтому

 

где ρ – плотность грунта [кг/м³];

с – массовая теплоемкость грунта [кдж/кг.град];

λ – коэффициент теплопроводности грунта [вт/м·град.].

При х = 0 задается температура . На поверхности земли происходит конвективный теплообмен между поверхностью тела и окружающей средой (воздух).

В основу изучения конвективного теплообмена положен закон Ньютона-Рихмана

 

 

где q – плотность теплового потока, вт/м²;

θ₀ – температура воздуха, ⁰С;

θ_гр – температура поверхности грунта, ⁰С;

α – коэффициент теплоотдачи, вт/(м²·град);

Согласно закону сохранения энергии, количество теплоты, отдаваемый единицей поверхности тела окружающей среде за единицу времени вследствие теплоотдачи, должно быть равно теплоте, которая путем теплопроводности подводится к единице поверхности в единицу времени со стороны внутренних частей тела, т.е.

 

(7.3)

 

Равенство (7.3) является математической формулировкой граничного условия третьего рода; оно является действительной для каждого момента времени t.

называется граничным условием первого рода.

Получена задача: найти решение нестационарного параболического уравнения со смешанными граничными условиями, т.е.

 

(7.4)

 

θ(t,0) = θ₁ = const (7.5)

 

(7.6)

 

(7.7)

 

Теорема 1. При определенных условиях на ρ(θ), с(θ) и λ(θ) задача (7.4) - (7.7) имеет единственное решение.

Выводы:

5.3. Приближенный метод решения задачи (7.4) – (7.6)

Решение задачи (7.4) – (7.6) зависит от двух переменных , где t – время, час; х – координата точки грунта, м. Поэтому задача (7.4) – (7.6) решается в области

Q= (0, Т_max)·(0,H),

Сетка. Отрезок [0, H] разбиваем на N равных частей с шагом h = H/N, а отрезок [0, T_max] на М равных частей с шагом ∆t = T_max /M. Тогда получается сетка (рис. 2).

 

В рис.2 «крестиками» - х обозначены граничные узлы, а «ноликами» - 0 обозначены внутренние узлы.

Н х х х х х   х о о о о   х о о о о   х х х х х t Тmax Рис. 2

Аппроксимация выражений

 

 

т.е. функций ρ(θ) и с(θ) определяются на нижних слоях. В начальный момент времени, т.е. при

.

Вместо задачи (7.4) – (7.7) решается приближенная задача

 

(7.8)

 

(7.9)

 

(7.10)

В системе (7.8) i = 1, 2, …, N-1 при каждом j=0,1,…,M-1.