Учебно-методический материал

ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЗАЧЕТУ

ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

Часть 2

Для студентов, обучающихся по основной образовательной программе

подготовки бакалавров 080100.62 – «Экономика»

Профили подготовки:

«Финансы и кредит», «Мировая экономика»,

«Налоги и налогообложение», «Учет и аудит»

2011-2012 учебный год

 

Составители: Волкова Е.С., Кожевникова В.А., Липагина Л.В.

 

Москва 2012

СОДЕРЖАНИЕ

I. ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ «Математический анализ. Часть 2»...........................................................................................................................4

IV.Интегральное исчисление функции одной переменной…………………4

V. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных…….4

VI. Интегральное исчисление функции нескольких переменных…………..5

VII. Ряды……………………………………...…………………………………5

II. СТРУКТУРА ЗАЧЕТА …………………...……………………………….7

III. СОДЕРЖАНИЕ ЗАЧЕТА ….……………………………………….…...8

Теоретические вопросы (А) ………………………………………………8

Теоретические вопросы (Б) …………………………………………..…10

Интегральное исчисление функции одной переменной …………………10

Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных ……..11

Интегральное исчисление функции нескольких переменных ………...…13

Ряды ………………………………………….……………………………..13

Примеры задач ……………………………………………………………15

Интегральное исчисление функции одной переменной …………………15

Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных ……...16

Интегральное исчисление функции нескольких переменных …………...18

Ряды ………………………………………….……………………………..19

IV. ОБРАЗЦЫ БИЛЕТОВ ДЛЯ ЗАЧЕТА …………..…………………......21

Вариант 1…………………………………………………………………..21

Вариант 2…………………………………………………………………..22

V. ОТВЕТЫ. ………………………………………………………………......23

VI. РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА ………………………………..26

I. ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

«Математический анализ. Часть 2»

IV. Интегральное исчисление функций одной переменной

1. Первообразная и неопределенный интеграл. Таблица неопределенных интегралов. Свойства неопределенного интеграла. Замена переменной в неопределенном интеграле, интегрирование по частям.

2. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование некоторых классов иррациональных и трансцендентных функций.

3. Определенный интеграл (по Риману) и его свойства. Интегрируемость непрерывной функции.^*

4. Интеграл с переменным верхним пределом. Существование первообразной для непрерывной функции. Формула Ньютона-Лейбница.

5. Замена переменной в определенном интеграле, интегрирование по частям.

6. Геометрические приложения определенного интеграла: вычисление площади криволинейной трапеции и объема тела вращения.^*

7. Несобственные интегралы.

V. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных

8. Пространство . Свойства расстояния. Окрестность точки. Внутренние и граничные точки множества. Открытые и замкнутые множества. Изолированные и предельные точки множества. Ограниченные множества.

9. Сходимость последовательности точек в , ее эквивалентность покоординатной сходимости.

10. Функции нескольких переменных. Поверхности (линии) уровня функции.

11. Предел и непрерывность функции нескольких переменных. Свойства функций, непрерывных на замкнутом ограниченном множестве: ограниченность, достижение наибольшего и наименьшего значений.^*

12. Частные производные, дифференцируемость, дифференциал функции нескольких переменных. Достаточное условие дифференцируемости.^* Непрерывность дифференцируемой функции.

13. Производная сложной функции. Производная по направлению, градиент. Свойства градиента.

14. Эластичность функции нескольких переменных.

15. Однородные функции нескольких переменных. Формула Эйлера.

16. Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных.^*

17. Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума.^*

18. Условный экстремум функции нескольких переменных. Метод исключения переменных. Метод множителей Лагранжа.

19. Наибольшее и наименьшее значения дифференцируемой функции на замкнутом ограниченном множестве.

20. Выпуклые множества в R ⁿ. Выпуклые (вогнутые) функции нескольких переменных. Необходимое и достаточное условие выпуклости.^* Достаточное условие выпуклости дважды дифференцируемой функции.^*

21. Экстремумы выпуклых (вогнутых) функций. Теорема о глобальном характере экстремума выпуклой функции. Теорема о достижении выпуклой функцией глобального экстремума в стационарной точке.^* Единственность экстремума строго выпуклой функции.

22. Неравенство Йенсена для выпуклых функций.^*

VI. Интегральное исчисление функций нескольких переменных

23. Кратные интегралы (двойные и тройные), их свойства. Сведение кратного интеграла к повторному.

24. Формула замены переменных в двойном интеграле.^* Использование полярных координат для вычисления двойных интегралов.

25. Несобственные кратные интегралы. Интеграл Эйлера-Пуассона.

VII. Ряды

26. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости.

27. Числовые ряды с неотрицательными членами: критерий и признаки сходимости (первый и второй признаки сравнения, признак Даламбера в предельной форме, интегральный признак^*).

28. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Оценка остатка ряда.

29. Абсолютно и условно сходящиеся числовые ряды. Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов.

 

II. СТРУКТУРА ЗАЧЕТА

Зачет проводится в письменной форме по окончании второго триместра. На выполнение всех заданий отводится 2 астрономических часа. Максимальное число баллов, полученное за письменный зачет, составляет 80 баллов.