Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных

14. Дайте определение расстояния между точками . Сформулируйте и докажите свойства функции .

15. Дайте определение открытого множества в . Является ли множество открытым? Ответ обоснуйте.

16. Дайте определение замкнутого множества в . Является ли множество замкнутым? Ответ обоснуйте.

17. Дайте определение открытого множества в . Является ли множество открытым? Ответ обоснуйте.

18. Дайте определение предельной точки множества. Приведите примеры: а) множества, содержащего все свои предельные точки, б) множества, для которого существует предельная точка, ему не принадлежащая.

19. Дайте определение сходящейся последовательности точек в . К какой точке в сходится последовательность ? Ответ обоснуйте.

20. Дайте определение сходящейся последовательности точек в . К какой точке в сходится последовательность ? Ответ обоснуйте.

21. Дайте определение предела функции двух переменных в точке. Найдите предел функции в точке . Ответ обоснуйте.

22. Дайте определение предела функции двух переменных в точке. Докажите, что функция не имеет предела в точке .

23. Дайте определение функции двух переменных, непрерывной в точке. Является ли функция непрерывной в точке ? Ответ обоснуйте.

24. Докажите, что функция непрерывна в точке .

25. Дайте определение частной производной функции по в точке . Найдите , если .

26. Дайте определение частных производных функции в точке . Найдите, исходя из определения, частные производные функции в точке .

27. Дайте определение дифференцируемости функции в точке . Докажите, что если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.

28. Дайте определение дифференциала функции в точке . Какая функция называется дифференцируемой в точке ? Приведите пример.

29. Как связаны производная по направлению и градиент дифференцируемой функции ? Чему равна производная по направлению, перпендикулярному градиенту?

30. Дайте определение градиента функции в точке . Докажите, что в направлении градиента происходит наиболее быстрый рост функции. Чему равна скорость этого роста?

31. Дайте определение однородной функции степени . Является ли функция однородной? Если да, то какой степени?

32. Дайте определение однородной функции нескольких переменных. Приведите пример однородной функции степени 3, не являющейся рациональной функцией.

33. Дайте определение однородной функции степени . Выведите формулу Эйлера для однородной функции трех переменных.

34. Дайте определение локального экстремума функции двух переменных. Является ли равенство нулю частных производных функции в некоторой точке достаточным условием ее локального экстремума в этой точке?

35. Дайте определение локального экстремума функции двух переменных. Имеет ли функция локальный экстремум в точке ? Ответ обоснуйте.

36. Дайте определение локального экстремума функции двух переменных. Имеет ли функция локальный экстремум в точке ? Ответ обоснуйте.

37. Сформулируйте достаточное условие локального экстремума функции двух переменных. Имеет ли функция в точке локальный экстремум? Ответ обоснуйте.

38. Докажите, что функция : а) не имеет локального экстремума в точке , б) имеет в этой точке условный локальный экстремум при наличии связи .

39. Найдите наименьшее значение функции .

40. Рассмотрев линии уровня функции , выяснить, в каких точках круга она принимает наибольшее и наименьшее значения, найти эти значения.

 

Интегральное исчисление функций нескольких переменных

 

41. Вычислите интеграл от функции по области D, ограниченной прямыми , и параболой .

42. Докажите, что , где .

43. Сформулируйте теорему о замене переменных в двойном интеграле. Вычислите интеграл, перейдя к полярным координатам, , где .

Ряды

 

44. Дайте определение числового ряда и его суммы. Найдите, исходя из определения, сумму ряда при .

45. Дайте определения числового ряда и его суммы. Исходя из определения докажите, что сумма ряда равна числу 1.

46. Сформулируйте и докажите необходимое условие сходимости числового ряда. Приведите пример расходящегося ряда, для которого это условие выполнено.

47. Докажите, что если ряд сходится, а ряд расходится, то ряд расходится.

48. Докажите, что для сходимости ряда , , необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена.

49. Сформулируйте и докажите признак Даламбера для числовых рядов с положительными членами.

50. Сформулируйте признак Даламбера в предельной форме для числовых рядов с положительными членами. Приведите пример сходящегося ряда с положительными членами, к которому этот признак не применим.

51. Сформулируйте признаки сравнения для числовых рядов с неотрицательными членами. Используя этот признак, докажите, что ряд расходится.

52. Сформулируйте интегральный признак сходимости числового ряда с положительными членами. При каких положительных значениях ряд сходится, а при каких расходится? Ответ обоснуйте.

53. Какой числовой ряд называется гармоническим? Докажите, что гармонический ряд расходится.

54. Сформулируйте признак Лейбница для знакочередующихся числовых рядов. Приведите пример знакочередующегося ряда, сходящегося условно.

 

Примеры задач

1.Интегральное исчислениефункции одной переменной

Найти интеграл:

1.1. 1.2.

1.3. . 1.4. .

1.5. . 1.6. .

1.7. . 1.8.

1.9. . 1.10.

1.11. . 1.12. .

1.13. . 1.14. .

1.15. . 1.16. .

1.17. . 1.18. .

1.19. . 1.20. .

 

 

Найти несобственный интеграл:

1.21. . 1.22. .

1.23. . 1.24. .

1.25. . 1.26. .

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

1.27. и .

1.28. и .

1.29. и .

1.30. и .

1.31. , и .

Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси плоской фигуры, ограниченной линиями:

1.32. и .

1.33. , и .

2.Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных

Найдите первый и второй дифференциалы функции в точке :

2.1. в точке .

2.2. в точке .

2.3. в точке .

2.4. в точке .

2.5. в точке .

 

2.6. Найдите производную функции в точке по направлению, составляющему угол с осью .

2.7. Найдите производную функции в точке по направлению вектора .

2.8. Найдите производную функции в точке по направлению, составляющему угол с осью .

2.9. Найдите производную функции в точке по направлению, составляющему угол с осью .

2.10. Найдите производную функции в точке по направлению вектора .

2.11. Найдите производную функции в точке по направлению, составляющему угол с осью .

2.12. Найдите производную функции в точке по направлению вектора .

 

Найдите точки локального экстремума функции:

2.13. .

2.14. .

2.15. .

2.16. .

2.17.

2.18. .

2.19. .

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на множестве :

2.20. , .

2.21. , .

2.22. , .

2.23. , – треугольник с вершинами , , .

2.24. , .

 

Найти условные экстремумы функции:

2.25. при .

2.26. при .