Раздел 3. Динамика материальной точки и механической системы

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

Опорный конспект лекций

 

Часть 2

 

РАЗДЕЛ 3. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

Динамика материальной точки

3.1.1.Основное уравнение динамики материальной точки в случае, когда на точку действуют n сил, имеет вид: .

Основное уравнение динамики несвободной точки удобно представить в следующей форме:

,

где - равнодействующая задаваемых сил, приложенных к точке, - равнодействующая реакций связей.

Реакции связей, при необходимости, могут быть исключены из уравнений движения, или найдены с помощью специальных приемов.

3.1.2. Сила инерции. Уравнение кинетостатики материальной точки. Уравнение динамики относительного движения

Сила инерции по Даламберу: - «фиктивная» сила, приложенная к материальной точке. Определенного контрагента в данном взаимодействии нет. В роли контрагента здесь выступает универсум - весь мир, окружающий данную материальную точку.

Основное уравнение динамики точки благодаря введению силы инерции преобразуется в уравнение кинетостатики:

.

Основное уравнение динамики относительного движения точки:

,

где - переносная и кориолисова силы инерции. Это уравнение описывает движение точки относительно неинерциальной системы отсчета, совершающей движение относительно инерциальной системы.

3.1.3. Две задачи динамики материальной точки

Первая (прямая) задача: определение неизвестных величин (например, реакций связей) по заданным кинематическим параметрам движения точки.

Вторая (обратная) задача: определение движения точки по заданным силам, связям и начальным условиям.

3.1.4.Решение обратной задачи динамики свободной материальной точки обычно включает в себя следующие этапы:

- составление системы дифференциальных уравнений движения точки и начальных условий к ним (формализация задачи: создание математической модели);

- решение задачи Коши: построение частного решения системы при заданных начальных условиях (работа с формализованной моделью);

- кинематические исследования (интерпретация формальных результатов).

Примем условие, согласно которому задаваемые силы могут зависеть от времени, положения точки и от скорости точки (но не зависят от ускорения и производных от него). Дифференциальные уравнения движения свободной точки в пространстве в декартовой системе координат могут иметь вид:

Это система дифференциальных уравнений второго порядка относительно неизвестных функций . Решить систему означает найти такие функции , которые при подстановке в уравнения системы обращают их в тождества, справедливые при любом значении независимой переменной из промежутка [0;T], на котором исследуется движение (правая граница может быть бесконечностью).

Процесс отыскания решения называется интегрированием системы дифференциальных уравнений. В этом процессе применяются различные приемы: понижение порядка уравнения, разделение переменных и т.д.

Совокупность функций , удовлетворяющих вышеприведенной системе дифференциальных уравнений, образует общий интеграл. В случае явного описания функций общий интеграл обычно называют общим решением системы. Общее решение системы дифференциальных уравнений движения материальной точки могут содержать до 6 параметров – постоянных интегрирования . Постоянные интегрирования определяются в результате решения системы уравнений, получающейся в результате совмещении общего решения с начальными условиями.

3.1.5. Начальные условия (НУ) при решении обратной задачи динамики точки – это условия, накладываемые на начальную скорость и начальное положение точки, записанные, например следующим образом:

Число начальных условий должно соответствовать числу и порядку дифференциальных уравнений движения (условию корректности постановки задачи Коши). НУ должны быть сформулированы в терминах тех неизвестных функций, которые участвуют в записях дифференциальных уравнений.

3.1.6. Некоторые простейшие задачи динамики материальной точки, решаемые методами понижения порядка и разделения переменных.

Пусть свободная материальная точка движется по прямой под действием задаваемой силы, проекция которой на ось есть . Обозначив , запишем дифференциальное уравнение движения в проекциях на ось как .

1) Рассмотрим случай, когда сила является функцией времени (или постоянна):

.

Представив как , понижаем порядок уравнения, а затем, умножив обе части на , разделяем переменные:

.

2) Сила является функцией проекции скорости :

.

а) Пусть требуется определить зависимость между проекцией скорости и временем. Умножая обе части уравнения на величину , разделяем переменные:

.

Данная запись имеет смысл при условии (т.е. должно быть или ).

б) Пусть требуется найти зависимость между величинами и . Делаем замену переменной и получаем:

().

3) Сила является функцией положения точки. После замены переменной имеем: . Решение этого уравнения называют интегралом энергии.

Пример. Некоторое тело, имея отрицательную плавучесть величиной , погружается в воду из состояния покоя (рис. 1, а). Сила сопротивления воды равна , где - скорость погружения, - постоянный коэффициент. Масса тела . Определить скорость погружения тела. (Плавучестью называется разность между силой Архимеда и силой тяжести. Если плавучесть положительна, то тело всплывает. Здесь .)

а б в

Рис. 1. Задача о погружении тела

 

Объектом исследования является погружающееся тело, принимаемое за материальную точку. Глубину погружения будем считать малой в сравнении с радиусом Земли, а время погружения ограничивать не будем: . Изображаем в произвольный момент времени тело (рис. 1,а) и действующие на него силы. Записываем основное уравнение динамики точки в векторной форме:

.

Введем ось , направленную в сторону движения тела; тогда . Запишем уравнение движения (2) в проекциях на ось :

.

Подставив заданное выражение для силы сопротивления , получаем дифференциальное уравнение относительно неизвестной функции :

с начальным условием (НУ) .

В начале движения и выражение . Пусть последнее неравенство выполняется во все время движения. Разделяем переменные; преобразуем; интегрируем:

; ; .

Поскольку , то . Из формулы для силы следует, что размерность коэффициента есть , и тогда размерность . Обозначим - это так называемая постоянная времени релаксации. Находим далее:

или ;

из НУ следует, что , и тогда получаем

.

Выражение , имеющее размерность скорости и равное пределу при обозначим как . График функции имеет горизонтальную асимптоту (рис. 1,б). Величина есть точная верхняя граница (супремум) значений скорости. Эту предельную скорость можно было найти и из уравнения движения как величину, при которой выполняется необходимое условие наличия экстремума; только здесь экстремум достигается в несобственной точке .

Если тело попадает в воду с начальной скоростью , то график скорости имеет вид, приведенный на рис. 1, в. «Сверхпредельное» движение не может само собой перейти в «допредельное» и наоборот.

 

3.1.7. К задачеоб исследовании движения тела, брошенного под углом к горизонту с начальной скоростью .

При скорости рассматривают простейшую модель задачи, удовлетворяющую условиям:

1) инерциальная система отсчета – геоцентрическая;

2) ускорение свободного падения постоянно;

3) кривизна поверхности Земли не учитывается;

4) влияние воздуха на движение тела не учитывается.

Тогда, в результате интегрирования дифференциальных уравнений движения, получаем кинематические уравнения движения в системе координат (ось направлена вверх):

.

Дальность обстрела, определяемая выражением , достигает максимального значения при . Пуля, выпущенная из винтовки Мосина обр.1891г. с начальной скоростью 620 м/с, имела бы при выполнении сформулированных условий максимальную дальность полета около 40 км (в действительности, из-за сопротивления воздуха, менее 4 км).

При скоростях условие 4 преобразуется: вводится сила сопротивления воздуха , зависящая от скорости тела согласно формуле

,

где - площадь поперечного сечения тела,

- плотность воздуха ( при нормальных условиях),

- коэффициент лобового сопротивления, зависящий от формы тела и от числа Рейнольдса , характеризующего процесс обтекания тела воздухом.

Число Рейнольдса определяется по формуле . В этой формуле означает «характерный размер» тела (напр., диаметр пушечного ядра), - вязкость воздуха. Для пушечного ядра во время движения и, следовательно, сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости ядра.

При скоростях приходится пересматривать все условия первоначальной модели. При сверхзвуковых скоростях снарядов нарезного оружия сила лобового сопротивления характеризуется волновым сопротивлением: около снаряда образуется волна сильного сжатия, которая расходится от него в виде конуса. Этот конус называется конусом Маха и имеет угол раствора ( - скорость звука). Коэффициент С при сверхзвуковой скорости движения существенно зависит от этой скорости.

При стрельбе под большим углом возвышения , со скоростями порядка и более, значительная часть траектории снаряда пролегает на высоте свыше 20 км, где сопротивление воздуха незначительно. В 1918г. германская артиллерия из орудий «Колоссаль» обстреливала Париж с расстояния 115 км. Стрельба велась при угле с начальной скоростью 2000 м/с. Наивысшая точка траектории лежала на высоте 40 км, время полета снаряда 3.5 мин (из них 2 мин в стратосфере). Калибр 210 мм, вес снаряда 120 кг, длина ствола 34 м, вес орудия 750 тонн. Заряд составлял около 200 кг пороха и развивал давление в канале ствола 5000 атм.

При расчетах учитывалась зависимость плотности воздуха и ускорения свободного падения от высоты, геофизические данные о местности, включая кривизну земной поверхности, а также метеорологические данные о скорости и направлении ветра, давлении воздуха и проч. Из 303 снарядов 120 упало за пределами Парижа.

Уже к началу 1-й Мировой войны таблицы ответственных стрельб составлялись по отношению к гелиоцентрической системе отсчета. Так, в начале боя между немецкой и английской эскадрами у Фолклендских островов в 1914 г. английские снаряды упорно ложились на 100 м левее цели. Командование забыло перевести поправку на вращение Земли, рассчитанную для северной широты (в северном полушарии летящие по пологой траектории снаряды отклоняются вправо благодаря Кориолисовой силе инерции), на южную широту .

3.1.8. Свободные гармонические незатухающие колебания материальной точки

Условием колебательного движения является наличие восстанавливающей силы, «стремящейся» вернуть материальную точку в положение равновесия, в котором величина восстанавливающей силы равна нулю. Простейшая модель колебательной системы – прямолинейное движение точечной массы под действием упругой силы, подчиняющейся закону Гука (рис. 2,а):

,

где - коэффициент упругости (жесткость) пружины,

- деформация упругого элемента (пружины): ,

- длина пружины в рассматриваемый момент времени,

- длина недеформированной пружины.

а б

Рис. 2. Динамическая модель гармонического осциллятора

 

При тело массой находится в положении равновесия. Взяв начало координат в положении равновесия тела и направив ось в сторону удлинения пружины (тогда и ), получаем дифференциальное уравнение движения тела - дифференциальное уравнение гармонического (линейного) осциллятора (устройства, совершающего колебательное движение)

.

Колебания, описываемые данным уравнением, происходят благодаря действию только восстанавливающей силы и называются свободными.

Величина называется циклической частотой колебаний и измеряется в радианах в секунду (в отличие от частоты, измеряемой в Герцах). Циклическая частота свободных колебаний называется собственной частотой колебательного устройства (осциллятора).

Период колебаний определяется формулой .

Общее решение дифференциального уравнения гармонического осциллятора имеет вид , а частное решение, удовлетворяющее начальным условиям , , можно представить как , или .

График функции имеет вид синусоиды, и такие колебания называются гармоническими.

Амплитуда и начальный сдвиг фазы колебаний находятся из выражений

Фазой называется значение аргумента в данный момент времени. Функция задается тремя параметрами: , характеризующими амплитуду, частоту и фазу колебаний. С помощью колебательного процесса передают информацию путем амплитудной, частотной или фазовой модуляции.

3.1.9. Эквивалентная жесткость системы двух упругих элементов при параллельном их соединении равна

.

Эквивалентная податливость (величина, обратная жесткости) при последовательном соединении двух упругих элементов равна

.

3.1.10. Свободные затухающие колебания материальной точки возникают при наличии (помимо восстанавливающей силы) силы сопротивления; на наличие этой силы указывают, изображая на рисунке с гармоническим осциллятором демпфирующий элемент (рис. 2,б) в виде цилиндра с поршнем (Der Dämpfer (нем.) - «успокоитель»). Сила сопротивления - следящая сила, направленная всегда против вектора скорости: .

В случае, когда величина этой силы пропорциональна скорости (), а движение прямолинейно, проекция силы , и дифференциальное уравнение движения тела приобретает вид

,

где обозначено .

Характеристическое уравнение , рассмотренное как приведенное квадратное уравнение, имеет дискриминант . Если , то движение тела носит апериодический характер («чистое затухание»).

Если (случай малого сопротивления), то тело совершает свободные затухающие колебания. Общее решение уравнения движения может быть представлено в виде

,

где .

Амплитуды составляют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, знаменатель которой называется декрементом затухания (характеристика роста называлась бы инкрементом). Величина называется логарифмическим декрементом затухания.

3.1.11. Фазовый «портрет» гармонического осциллятора

Введя переменную , можно для гармонического осциллятора вместо одного дифференциального уравнения второго порядка записать систему двух уравнений первого порядка:

Переменные , удовлетворяющие этой системе, называются фазовыми переменными; плоскость называют фазовой плоскостью; точку с координатами - изображающей точкой. Траектория изображающей точки – фазовая траектория. Множество фазовых траекторий, исходящих из разных начальных точек, представляет фазовый «портрет» процесса, описываемого данной системой дифференциальных уравнений. Движение изображающей точки по фазовой плоскости происходит против часовой стрелки.

Фазовые траектории гармонического осциллятора без сопротивления - эллипсы; начало координат О – точка равновесия - является особой точкой типа «центр» для описанной выше системы двух уравнений. Центр О является устойчивой особой точкой: изображающая точка не отклонится от центра больше, чем на расстояние, задаваемое начальным (и остающимся постоянным) значением полной энергии осциллятора.

Фазовые траектории осциллятора с сопротивлением, пропорциональным скорости, представляют собой спирали, приближающиеся асимптотически к точке О, при этом радиус-вектор изображающей точки бесконечно много раз поворачивается вокруг точки О. Точка О представляет собой асимптотически устойчивый фокус. На рис. 3 изображены фазовые траектории колебаний, происходящих по закону , при трех значениях параметра .

Рис. 3. Фазовый портрет осциллятора с демпфером

 

В случае большого сопротивления () фазовые траектории также асимптотически приближаются к точке О, но радиус-вектор изображающей точки, поворачиваясь по часовой стрелке, не совершает ни одного полного оборота.

3.1.12. Вынужденные колебаниягармонического осциллятора под действием гармонической вынуждающей силы

Пусть проекция вынуждающей силы есть .
Обозначив , запишем дифференциальное уравнение вынужденных колебаний гармонического осциллятора без сопротивления:

.

Решение дифференциального уравнения вынужденных колебаний, удовлетворяющее начальным условиям , , можно записать в виде:

,

где функции описывают составляющие колебания осциллятора:

- свободные колебания,

- сопровождающие колебания,

- чисто вынужденные колебания,

при этом . Последнее выражение имеет конечное значение при условии .

*3.1.13. Вынужденные колебания вблизи резонанса и при резонансе

Пусть частота вынуждающей силы, возрастая, приближается к значению собственной частоты, так что , где - малая величина. Рассмотрим вынужденные колебания :

.

Известные формулы разложения тригонометрических функций в степенные ряды в окрестности нулевого значения аргумента

;

убеждают нас, что при малом значении в квадратных скобках превалирует последнее слагаемое. Оно характеризует режим биений вблизи резонанса. На рис. 4,а представлен график функции при значениях .

Используя приведенные выше разложения и обозначая через величину высшего порядка малости, чем , получим

 

;

 

а б в

Рис. 4. Биения. Вековой член функции . АЧХ осциллятора

 

где означает статическую деформацию упругого элемента под действием силы, величиной ; - безразмерное время.

На рис. 4,б график «векового» (secular) члена , присутствующего в выражении , демонстрирует неограниченный рост амплитуд при продолжении колебаний (при отсутствии сопротивления!).

3.1.14. Коэффициент динамичности. АЧХ (амплитудно-частотная характеристика) гармонического осциллятора

Коэффициентом динамичности назовем безразмерный коэффициент, выражающий отношение амплитуды чисто вынужденных колебаний к некоторой характерной (нормирующей) длине, например, к статической деформации :

,

где означает безразмерную частоту. График этой функции (рис. 4,в) изображает АЧХ гармонического осциллятора. Правая часть графика убеждает нас в том, что когда частота вынуждающей силы значительно превосходит собственную частоту осциллятора, вынужденные колебания весьма малы.

*3.1.15. Действие произвольнойпериодической силы на гармонический осциллятор

Пусть на осциллятор действует некоторая периодическая сила периода . Тогда правую часть дифференциального уравнения его движения

можно представить в виде ряда Фурье

,

где . В силу линейности дифференциального уравнения движения частное его решение представляет собой аналогичный ряд. Компоненты этого ряда, характеризующие чисто вынужденные колебания, имеют коэффициенты при функциях со знаменателями вида . В случае, когда , имеет место резонанс рода.

*3.1.16. Действие произвольной вынуждающей силы на гармонический осциллятор

Пусть в дифференциальном уравнении вынужденных колебаний гармонического осциллятора означает произвольную функцию времени, удовлетворяющую условиям, предъявляемым к оригиналам (см. «Преобразование Лапласа и операционное исчисление» в курсе высшей математики). Тогда частное решение этого уравнения можно представить в виде

.

Приведенный здесь интеграл называется свёрткой функций и :

. Выражение есть функция влияния внешнего воздействия , осуществленного в момент времени , на положение осциллятора в последующий момент .

Решение уравнения вынужденных колебаний можно построить операционным методом, переходя от исходных функций времени (оригиналов) к их изображениям (функциям комплексного переменного ) согласно формуле

.

Изображение свертки двух функций есть произведение их изображений:

.

*3.1.17. Гармонический осциллятор как звено САУ (системы автоматического управления). Передаточная функция звена.

Построим изображения по Лапласу левой и правой частей уравнения вынужденных колебаний осциллятора (п. 3.1.15) при нулевых начальных условиях (!):

,

откуда получаем формальное выражение

.

Это выражение описывает соотношение между сигналом , подаваемым на вход колебательного звена, и выходным сигналом . Выражение

называется передаточной функцией колебательного звена САУ. Блок-схема САУ изображает ее структуру; передаточные функции звеньев характеризуют преобразование этими звеньями входных сигналов в выходные. В приведенном на рис. 5 фрагменте блок-схемы звено 2 является сумматором с отрицательной обратной связью. Сигнал, подаваемый на затемненный сектор, инвертируется, т.е. подается на вход сумматора с противоположным знаком. Звено 4 является, судя по передаточной функции, колебательным звеном с сопротивлением.

Рис. 5. Фрагмент блок-схемы САУ

 

*3.1.18. Вынужденные колебания гармонического осциллятора с сопротивлением

Пусть дифференциальное уравнение движения осциллятора имеет вид:

.

Частное решение этого уравнения, ввиду присутствия члена , ищем в виде . Подставив это выражение в уравнение, получим, что чисто вынужденные колебания описываются формулой

где .

Коэффициент динамичности ,

где, в дополнение к п. 3.1.14, обозначено .

Исследуем возможность наличия экстремума этой функции:

.

Отсюда получаем или . Последнее выражение существует при условии . Амплитудно-частотные характеристики представляют собой зависящее от параметра семейство кривых (рис.6).

 

Рис. 6. АЧХ осциллятора с демпфером

 

Кривая, соответствующая значению , является сепаратрисой: она разделяет квадрант на две области. Верхняя область соответствует значительной реакции осциллятора на резонансную безразмерную частоту .

 

3.1.19. Примерыколебательного движения

а) Пусть в начальный момент времени заряд емкости (рис. 7,а) равен , ключ разомкнут, и электрический ток в контуре отсутствует: . Ток возникает при замыкании ключа. Для составления уравнения функционирования контура воспользуемся вторым законом Кирхгофа: сумма падений напряжения в замкнутом контуре равна нулю:

.

 

а б в г

Рис. 7. Устройства, демонстрирующие колебательное движение

 

Как известно из курса общей физики, , , ( - параметр емкости, - соленоида, - активного сопротивления). Из закона Кирхгофа следует уравнение

,

где . При малом активном сопротивлении величина заряда, ток и напряжение изменяются согласно закону затухающих колебаний.

б) Вертикальные колебания цилиндрического поплавка (рис. 7,б) длиной при отсутствии сопротивления жидкости описываются уравнением

,