Свободные колебания материальной точки

ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

1. Основные понятия и определения

Основное уравнение динамики:

, (1)

где - равнодействующая системы сил.

Дифференциальные уравнения движения материальной точки в координатной форме:

; ; .

Две основные задачи динамики точки:

Первая (прямая) задача: Зная массу точки и законы ее движения, найти действующую на точку силу. Для решения этой задачи дважды дифференцируем законы движения по времени (определяем , , ); подставляем в дифференциальное уравнение; находим проекции силы :

, , .

Тогда модуль силы:

;

направляющие косинусы:

; ; .

 

Вторая (обратная) задача: По заданной массе точки и действующей на точку силе определить движение этой точки. Для решения этой задачи необходимо в левую часть уравнений подставить массу m, а в правую часть проекции действующей силы. Полученные дифференциальные уравнения дважды проинтегрировать по времени с учетом начальных условий.

 

Примеры решения задач

2.1 Частица массой m, несущая заряд электричества e, находится в однородном электрическом поле с переменным напряжением (A и k — заданные постоянные). Определить движение частицы, если известно, что в электрическом поле на частицу действует сила , направленная в сторону напряжения . Влиянием силы тяжести пренебречь. Начальное положение частицы принять за начало координат; начальная скорость частицы равна нулю.

Решение

1. Расчетная схема.

Из условий задачи понятно, что точка М (тело) будет двигаться вдоль оси у (точка M₀ совпадает с О; V ₀=0).

 

2. На точку М действует сила (, ).

3. Составим дифференциальное уравнение движения точки М в проекции на ось у:

;

4. Разделим переменные и проинтегрируем:

; ; .

Перепишем уравнение, разделим переменные и проинтегрируем ещё раз:

;

, откуда

.

 

2.2 Тело весом Р, находящееся на гладкой горизонтальной плоскости, притягивается к центру О на этой плоскости силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния тела от точки О. В начальный момент тело находилось от притягивающего центра на расстоянии b и имело скорость, равную нулю. Сила притяжения тела в этот момент была равна . Определить скорость тела, после того как оно пройдёт половину первоначального расстояния до точки О.

 

 

Решение

1. Расчетная схема

2. На точку М действуют силы: (P=mg); (N — нормальная реакция плоскости, N=P); ( где K₁ — коэффициент пропорциональности. По условию в точке М₀ выполнялось равенство , отсюда найдём K ₁= kP, т.е. )

Силы и перпендикулярны плоскости О xy и на расчетной схеме не изображены.

1. Составим дифференциальное уравнение движения точки М в проекции на ось х:

2. В дифференциальном уравнении три переменных: Умножим обе части уравнения на и зная, что , получим , проинтегрируем:

отсюда

 

2.3 Корабль массой 10⁷ кг движется со скоростью 16 м/с. Сопротивление воды пропорционально квадрату скорости корабля и равно 3^.10⁵ Н при скорости 1 м/с. Какое расстояние пройдет корабль, прежде чем его скорость станет равной 4 м/с? За какое время корабль пройдет это расстояние?

Решение

Так как корабль (твердое тело) совершает поступательное движение и размеры корабля не существенны для условий данной задачи, то заменим корабль материальной точкой.

1. Изобразим материальную точку М в выбранной системе координат в текущий момент времени. Покажем также начальное М₀ и конечное М₁положения материальной точки. Назовем это расчетной схемой.

Расчетная схема:

2. На точку М действуют силы: —сила тяжести, (выталкивающая сила Архимеда), сила сопротивления Н, где μ — коэффициент сопротивления ([ μ ] = ). Из условий задачи следует, что . Покажем силы на расчетной схеме.

3. Составляем дифференциальное уравнение движения точки М в проекции на ось х:

Так как движение прямолинейное, то

. (1)

4. Решим дифференциальное уравнение (1), для чего разделим переменные и проинтегрируем:

(2)

При t = t ₁, V = V ₁: : , откуда

t ₁ = 6,25 c.

Далее нужно найти S ₁ и здесь есть два варианта:

а) уравнение (2) представить в виде

. (3)

разделить переменные и проинтегрировать в пределах от 0 до t ₁ (t ₁ известно), найти S ₁;

б) чаще используется такой вариант для случая, когда R=R (V):

запишем дифференциальное уравнение (1), умножим обе части на dx:

100 ^.V^.dV = – 3 ^.V²dx, разделим переменные и проинтегрируем

,

Вариант второй предпочтительнее, так как быстрее приводит к ответу.

 

2.4 Подводная лодка, не имевшая хода, получив небольшую отрицательную плавучесть P, погружается на глубину, двигаясь поступательно. Сопротивление воды при небольшой отрицательной плавучести можно принять пропорциональным первой степени скорости погружения и равным kSV, где k — коэффициент пропорциональности; S — площадь горизонтальной проекции лодки; V — величина скорости погружения. Масса лодки равна М. Определить скорость погружения V, если при t = 0 скорость V ₀ = 0.

 

Решение

 

1. Расчетная схема

2. Силы, действующие на точку М:

где μ = k^.S)

3. Составим дифференциальное уравнение движения точки М в проекции на ось х:

. (1)

4. Решим уравнение (1).

Разделим переменные и проинтегрируем (используя метод замены переменной):

;

;

;

;

;

;

;

.

Пропотенцируем:

Можно рекомендовать и другой путь решения дифференциального уравнения (1):

,

где ; .

Окончательно получаем

.

Это обыкновенное линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Как известно, решение таких уравнений ищется в виде х = х ₁ +х ₂, где х ₁ — общее решение однородного дифференциального уравнения.

Для нахождения общего решения решаем характеристическое уравнение

Его корни: .

Теперь можно найти .

Найдем х ₂ — частное решение уравнения (1):

.

Подставляя и в дифференциальное уравнение (1), видим, что х ₂ является решением, так как обращает его в тождество.

Итак, . Определим С ₁и С ₂ из начальных условий: t = 0, x ₀ = 0, V ₀ = 0. Вычислим .

Получим два уравнения:

0 = С ₁ +С ₂; ;

Теперь с учетом С ₁ и С ₂

.

Мы определили закон движения подводной лодки. Найдем ;

или

Результаты совпали.

 

 

2.5 Материальная точка массой m отталкивается от центра силой, пропорциональной расстоянию (коэффициент пропорциональности mk ₂). Сопротивление среды пропорционально скорости движения (коэффициент пропорциональности 2 mk ₁). В начальный момент точка находилась на расстоянии b от центра, и её скорость в этот момент равнялась нулю. Найти закон движения точки.

 

Решение

1.Расчетная схема

2. На точку М действуют силы:

;

.

3. Составим дифференциальное уравнение движения точки М в проекции на ось x:

.

4. Решим дифференциальное уравнение. Так как оно является нечетным, то прежде составим характеристическое уравнение: его корни действительные . Решение дифференциального уравнения запишется: .

Для нахождения с ₁ и с ₂, определим и запишем начальные условия: ; ; ; ; .

Решим полученные уравнения совместно: ; ; ; ; , таким образом, , где .

 

 

Примеры решения задач на прямолинейные колебания

 

4.1 На платформе весом P, подрессоренной пружиной жесткостью c, покоится груз весом G. В некоторый момент времени груз толчком сбрасывается с платформы. Определите уравнение последующих колебаний платформы.

 

1. Составляем расчётную схему.

Объект исследования — платформа весом P совершает прямолинейные колебания вдоль вертикальной оси, следовательно её можно представить как материальную точку. Изобразим на расчётной схеме вертикальную ось x, направленную вниз, покажем на ней положение недеформированной пружины О₁ (рис. 2,а). Начало координат О выбираем в положении статического равновесия (рис. 2,б) нашего объекта исследования. Условия статичекого равновесия записываются в виде:

(1)

 

 

 

В начальный момент времени пружина была сдеформирована под статическим действием платформы и груза, на рис. 2,в покажем начальное положение точки — М₀, эта точка также соответствует статическому равновесию платформы с грузом. Введём обозначения: f_ст — статическая деформация пружины; f_ст2 — статическая деформация пружины под действием платформы и груза; x ₀ — начальная координата точки; x — координата точки в произвольном положении. Произвольное положение объекта исследования покажем на рис. 2,г. Отметим характерные точки О₁, О, М, М₀ на расчётной схеме (рис. 2,д).

Начальные условия колебаний запишутся в виде

(2)

2. На материальную точку действуют силы:

— сила тяжести;

— сила упругости пружины (определяется как произведение жёсткости пружины на её полную деформацию, полную деформацию пружины определяем на расчётной схеме — это расстояние между концом недеформированной пружины (рис. 2,а) и произвольным положением точки (рис. 2,г)).

3. Составляем дифференциальное уравнение движения точки в форме второго закона Ньютона.

или в проекции на ось x:

. (3)

Для определения статической деформации в дифференциальное уравнение (3) подставим условия статического равновесия (1):

, откуда

. (4)

Подставив f_ст в дифференциальное уравнение и проведя несложные преобразования, получим

, (5)

где — круговая частота свободных колебаний.

4. Решаем дифференциальное уравнение.

Дифференциальное уравнение (5) описывает случай свободных незатухающих колебаний и его решение ищется в виде

. (6)

Для определения постоянных интегрирования C ₁ и C ₂ подставим в (6) начальные условия (2), для чего предварительно найдём первую производную от уравнения движения:

;

;

.

Откуда выразим

(7)

4.2 Груз весом P падает без начальной скорости с высоты h на упругую невесомую балку жесткостью c. Найдите уравнение колебаний груза, считая ось x проведенной вертикально вверх из положения статического груза на балке.

 

1. Составляем расчётную схему.

Объект исследования — груз весом P, исследуемое движение — прямолинейные колебания вдоль вертикальной оси. Следовательно груз можно представить как материальную точку. Изобразим на расчётной схеме вертикальную ось x, направленную вниз, покажем на ней положение недеформированной балки О₁ (рис. 2,а). Начало координат О выбираем в положении статического равновесия (рис. 2,б) нашего объекта исследования. Условия статичекого равновесия записываются в виде:

(1)

В данной задаче груз совершает свободное падение, а затем колебательное движение на балке. Поскольку стоит задача исследовать колебания груза, то рассмотрение падения груза носит вспомогательный характер и служит для определения начальных условий колебаний.

 

 

В начальный момент времени балка находилась в недеформированном положении. Скорость груза в этот момент определяется из условий его равноускоренного движения под действием силы тяжести.

— время падения;

— скорость в момент касания с балкой.

На рис. 2.в покажем начальное положение точки — М₀. Введём обозначения: f_ст — статическая деформация балки; x ₀ — начальная координата точки; x — координата точки в произвольном положении. Произвольное положение объекта исследования покажем на рис. 2,г. Отметим характерные точки О₁,О, М, М₀ на расчётной схеме (рис. 2,д).

Начальные условия колебаний запишутся в виде

(2)

2. На материальную точку действуют силы:

— сила тяжести;

— сила упругости балки (определяется как произведение жёсткости балки на её полную деформацию, полную деформацию балки определяем на расчётной схеме — это расстояние между недеформированным положением балки (рис. 2,а) и произвольным положением точки (рис. 2,г)).

3. Составляем дифференциальное уравнение движения точки в форме второго закона Ньютона.

или в проекции на ось x:

. (3)

Для определения статической деформации в дифференциальное уравнение (3) подставим условия статического равновесия (1):

, откуда

. (4)

Подставив f_ст в дифференциальное уравнение и проведя несложные преобразования, получим

, (5)

где — круговая частота свободных колебаний.

4. Решаем дифференциальное уравнение.

Дифференциальное уравнение (5) описывает случай свободных незатухающих колебаний и его решение ищется в виде

. (6)

Для определения постоянных интегрирования C ₁ и C ₂ подставим в (6) начальные условия (2), для чего предварительно найдём первую производную от уравнения движения:

;

;

.

Откуда выразим

(7)

 

 

Силы инерции.

Метод кинетостатики

Методом кинетостатики называется искусственный прием, позволяющий записать уравнения движения в виде уравнений статики, основанный на принципе Даламбера.

Если система состоит из нескольких тел, то к каждому телу, помимо активных сил и сил реакций связей, прикладываются соответствующие силы инерции, после чего составляются уравнения равновесия.

При решении задач методом кинетостатики рекомендуется следующая последовательность действий:

1) Выбрать систему, «движение» которой рассматривается, определить вид движения каждого из тел системы;

2) Выбрать систему координат;

3) Составить уравнения равновесия для каждого из тел системы, предварительно расчленив систему по внутренним связям на отдельные тела, где это необходимо;

4) Решить уравнения равновесия и исследовать ответ.

Расчленять систему целесообразно, если она состоит из нескольких тел, и когда вычисление сил инерции вызывает затруднения.

 

 

Пример решения задачи

 

 

 

Однородный барабан массы М₃ и радиуса R присоединен шарнирно двумя ненагруженными стержнями АС и ВС к стене. На барабан намотана невесомая нерастяжимая нить, к одному концу которой присоединены два груза, массами М₁ и М₂ соответственно, соединенные нитью, а на другой конец действует постоянная сила Р. Найти усилия в стержных АС и ВС.

 

Рассмотрим систему тел 1, 2 и 3. Тела 1 и 2 совершают поступательное движение, тело 3 вращается вокруг оси , проходящей через точку С.

Выберем систему координат

Активными силами будут: . Реакции связей и направлены вдоль стержней, которые считаем растянутыми.

Приложим соответствующие силы инерции

и . При этом считаем, что тело 3 вращается в сторону, определяемую направлением силы .

Составим уравнения равновесия

	(1.4)

 

Решая эту систему, получим

	(1.5)
	(1.6)

Для отыскания значений сил инерции и , составим уравнение моментов относительно точки и приравняем его нулю.

.	(1.7)

Из кинематики известно, что

,

(1.8)

откуда, после дифференцирования, получаем

(1.9)

Подставим (1.9) в (1.7), получим

(1.10)

Из (1.10) находим

(1.11)

Находим соответствующие силы инерции

(1.12)

Подставляя значения и в (1.5) и (1.6) определим значения реакций связей:

Оценивая полученные значения, можно предположить, что стержень ВС растянут, а стержень АС – сжат.

 

 

Пример решения задачи.

 

 

 

 

Плоский механизм с идеальными связями находится в равновесии под действием сил , и пары сил с моментом , приложенной к звену ОА. Используя принцип возможных перемещений, определить величину момента при следующих исходных данных: Звено АВС – прямоугольный треугольник с углом при вращении А, равным .

 

Для решения задачи воспользуемся ПВП, согласно которому

(2.3)

где - элементарные работы активных сил на соответствующих возможных перемещениях.

Рассматриваемый механизм имеет одну степень свободы. Его элементы (звенья) совершают следующие виды движений: кривошип ОА и О₁В – вращательное движение относительно осей, проходящих через точки О и О₁, треугольник АВС и шатун D – поступательное.

Чтобы составить уравнение (2.3), сообщим механизму возможное перемещение и введем следующие обозначения для перемещений звеньев, к которым приложены активные силы: - угловое перемещение звена ОА, и - линейные перемещения точек C и D.

Примем за независимое возможное перемещение и установим кинематические зависимости между указанными возможными перемещениями. Способ их нахождения аналогичен определению скоростей точек при плоском движении.

Сначала найдем возможное перемещение общей для звеньев ОА и АВС точки А. При вращательном движении звена ОА относительно точки О имеем

(2.4)

Направление определяются направлением .

Для определения возможного перемещения точки С находим мгновенный центр вращения звена АВС, зная линии действия перемещений двух точек А и В этого звена - и . Проводя перпендикуляры к направлениям и , получим точку их перемещения - . При плоско-параллельном движении все точки звена АВС совершают вращательное движение относительно этой точки.

Тогда линейные возможные перемещения точек А, В и С будут пропорциональны их расстояниям до мгновенного центра вращения:

(2.5)

Находим угловое перемещение звена АВС:

(2.6)

его направление определяется направлением (рис.).

Далее находим и изображаем линейное перемещение точки С

(2.7)

где .

Направление определяется направлением (вращение вокруг точки происходит против хода часовой стрелки).

В случае необходимости находим по направлению : .

Зная и линию действия возможного перемещения точки D – горизонталь находим , используя следствие из теоремы о проекциях скоростей двух точек плоской фигуры на ось, проходящую через эти точки.

Запишем

	(2.8)

Направление находится из условия равенства проекции возможных перемещений и на ось проходящую через данные точки (см.рис.)

Теперь запишем уравнение (1) для механизма:

(2.9)

Заменяя и их значениями (2.7) и (2.8) и вынося одновременно за скобки, получим:

(2.10)

Так как :

 

откуда

После подстановки исходных данных находим

 

Механической системы

 

При движении материальной системы, подчиненной идеальным удерживающим связям, сумма работ активных сил и сил инерции на любых возможных перемещениях точек системы равна нулю:

	(3.1)
если	(3.2)

 

 

то общее уравнение динамики имеет вид:

(3.3)

Преимущество общего уравнения динамики по сравнению с другими теоремами динамики заключается в том, что в его формулировке отсутствуют реакции идеальных связей. Если не все связи являются идеальными, например, имеются связи с трением, то, применяя общее уравнение динамики, следует к активным силам добавлять реакции, соответствующие неидеальным связям.

Вычисление суммы работ сил инерции на возможных перемещениях точек твердого тела производится по формулам:

 

а) При поступательном движении:

(3.4)

где - равнодействующая сил инерции (); - ускорение любой точки твердого тела; - возможное перемещение любой точки твердого тела.

 

б) При вращении вокруг неподвижной оси:

(3.5)

где - главный момент сил инерции относительно оси вращения ; - момент инерции твердого тела относительно оси вращения; - угловое ускорение вращательного движения твердого тела; - возможное угловое перемещение твердого тела.

 

в) При плоском движении:

(3.6)

где - главный вектор сил инерции ; - ускорение центра масс твердого тела;

- главный момент сил инерции относительно оси, проходящей через центр масс С твердого тела перпендикулярно плоскости движения ; - момент инерции твердого тела относительно оси, проходящей через центр масс С перпендикулярно плоскости движения; - угловое ускорение твердого тела; - возможное перемещение центра масс С твердого тела; - возможное угловое перемещение твердого тела.

При решении задач с помощью общего уравнения динамики рекомендуется следующая последовательность действий:

1) Изобразить на рисунке активные и реакции, соответствующие неидеальным связям (силы трения);

2) Определить главные векторы и главные моменты сил инерции масс системы;

3) Дать возможное перемещение одной из точек системы и выразить возможные перемещения точек приложения всех сил, указанных в 1, 2, через это возможное перемещение.

4) Вычислить сумму работ всех сил на возможных перемещениях точек системы; составить общее уравнение динамики, приравняв в вычисленную сумму работ сил нулю;

5) Определить искомую величину либо провести интегрирование дифференциального уравнения движения.

 

Пример решения задачи.

 

 

 

Рис.2.1.

 

 

Механическая система состоит из ступенчатого шкива 2 (радиусы ступеней R₂ и r₂), груза 1 и сплошного катка 3, прикрепленных к концам нитей, намотанных на ступени шкива. На шкив при его вращении действует момент сил сопротивления M₂ Радиус инерции ступенчатого шкива 2 ρ_z2, f – коэффициент трения скольжения груза 1 о наклонную плоскость.

Дано: R₂ = R, r₂ = 0,6 R, Р₁ = 6Р, Р₃ = 3Р, М₂ = 0,2 РR, F = 2P, P_z2 = 0,5R, f = 0,1, α = 30^˚, β = 60˚, γ = 60˚.

Определить: а₁ – ускорение груза 1.

 

1. Материальная система состоит из трех твердых тел и имеет одну степень свободы. Будем считать, что ускорение груза 1 направлено вниз по наклонной плоскости.