ТОП 10:

Свободные колебания материальной точки



ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

1. Основные понятия и определения

Основное уравнение динамики:

, (1)

где - равнодействующая системы сил.

Дифференциальные уравнения движения материальной точки в координатной форме:

; ; .

Две основные задачи динамики точки:

Первая (прямая) задача: Зная массу точки и законы ее движения, найти действующую на точку силу. Для решения этой задачи дважды дифференцируем законы движения по времени (определяем , , ); подставляем в дифференциальное уравнение; находим проекции силы :

, , .

Тогда модуль силы:

;

направляющие косинусы:

; ; .

 

Вторая (обратная) задача: По заданной массе точки и действующей на точку силе определить движение этой точки. Для решения этой задачи необходимо в левую часть уравнений подставить массу m, а в правую часть проекции действующей силы. Полученные дифференциальные уравнения дважды проинтегрировать по времени с учетом начальных условий.

 

Примеры решения задач

2.1 Частица массой m, несущая заряд электричества e, находится в однородном электрическом поле с переменным напряжением (A и k — заданные постоянные). Определить движение частицы, если известно, что в электрическом поле на частицу действует сила , направленная в сторону напряжения . Влиянием силы тяжести пренебречь. Начальное положение частицы принять за начало координат; начальная скорость частицы равна нулю.

Решение

1. Расчетная схема.

Из условий задачи понятно, что точка М (тело) будет двигаться вдоль оси у (точка M0 совпадает с О; V0=0).

 

2. На точку М действует сила ( , ).

3. Составим дифференциальное уравнение движения точки М в проекции на ось у:

;

4. Разделим переменные и проинтегрируем:

; ; .

Перепишем уравнение, разделим переменные и проинтегрируем ещё раз:

;

, откуда

.

 

2.2 Тело весом Р, находящееся на гладкой горизонтальной плоскости, притягивается к центру О на этой плоскости силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния тела от точки О. В начальный момент тело находилось от притягивающего центра на расстоянии b и имело скорость, равную нулю. Сила притяжения тела в этот момент была равна . Определить скорость тела, после того как оно пройдёт половину первоначального расстояния до точки О.

 

 

Решение

1. Расчетная схема

2. На точку М действуют силы: (P=mg); (N — нормальная реакция плоскости, N=P); ( где K1 — коэффициент пропорциональности. По условию в точке М0 выполнялось равенство , отсюда найдём K1=kP, т.е. )

Силы и перпендикулярны плоскости Оxy и на расчетной схеме не изображены.

1. Составим дифференциальное уравнение движения точки М в проекции на ось х:

2. В дифференциальном уравнении три переменных: Умножим обе части уравнения на и зная, что , получим , проинтегрируем:

отсюда

 

2.3 Корабль массой 107 кг движется со скоростью 16 м/с. Сопротивление воды пропорционально квадрату скорости корабля и равно 3.105 Н при скорости 1 м/с. Какое расстояние пройдет корабль, прежде чем его скорость станет равной 4 м/с? За какое время корабль пройдет это расстояние?

Решение

Так как корабль (твердое тело) совершает поступательное движение и размеры корабля не существенны для условий данной задачи, то заменим корабль материальной точкой.

1. Изобразим материальную точку М в выбранной системе координат в текущий момент времени. Покажем также начальное М0 и конечное М1положения материальной точки. Назовем это расчетной схемой.

Расчетная схема:

2. На точку М действуют силы: —сила тяжести, (выталкивающая сила Архимеда), сила сопротивления Н, где μ — коэффициент сопротивления ([μ] = ). Из условий задачи следует, что . Покажем силы на расчетной схеме.

3. Составляем дифференциальное уравнение движения точки М в проекции на ось х:

Так как движение прямолинейное, то

. (1)

4. Решим дифференциальное уравнение (1), для чего разделим переменные и проинтегрируем:

(2)

При t=t1, V=V1: : , откуда

t1=6,25 c.

Далее нужно найти S1 и здесь есть два варианта:

а) уравнение (2) представить в виде

. (3)

разделить переменные и проинтегрировать в пределах от 0 до t1 (t1 известно), найти S1;

б) чаще используется такой вариант для случая, когда R=R(V):

запишем дифференциальное уравнение (1), умножим обе части на dx:

100.V.dV = –3.V2dx, разделим переменные и проинтегрируем

,

Вариант второй предпочтительнее, так как быстрее приводит к ответу.

 

2.4 Подводная лодка, не имевшая хода, получив небольшую отрицательную плавучесть P, погружается на глубину, двигаясь поступательно. Сопротивление воды при небольшой отрицательной плавучести можно принять пропорциональным первой степени скорости погружения и равным kSV, где k — коэффициент пропорциональности; S — площадь горизонтальной проекции лодки; V — величина скорости погружения. Масса лодки равна М. Определить скорость погружения V, если при t = 0 скорость V0 = 0.

 

Решение

 

1. Расчетная схема

2. Силы, действующие на точку М:

где μ = k.S)

3. Составим дифференциальное уравнение движения точки М в проекции на ось х:

. (1)

4. Решим уравнение (1).

Разделим переменные и проинтегрируем (используя метод замены переменной):

;

;

;

;

;

;

;

.

Пропотенцируем:

Можно рекомендовать и другой путь решения дифференциального уравнения (1):

,

где ; .

Окончательно получаем

.

Это обыкновенное линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Как известно, решение таких уравнений ищется в виде х = х12, где х1 — общее решение однородного дифференциального уравнения.

Для нахождения общего решения решаем характеристическое уравнение

Его корни: .

Теперь можно найти .

Найдем х2 — частное решение уравнения (1):

.

Подставляя и в дифференциальное уравнение (1), видим, что х2 является решением, так как обращает его в тождество.

Итак, . Определим С1и С2 из начальных условий: t = 0, x0 = 0, V0 = 0. Вычислим .

Получим два уравнения:

0 = С12; ;

Теперь с учетом С1 и С2

.

Мы определили закон движения подводной лодки. Найдем ;

или

Результаты совпали.

 

 

2.5 Материальная точка массой m отталкивается от центра силой, пропорциональной расстоянию (коэффициент пропорциональности mk2). Сопротивление среды пропорционально скорости движения (коэффициент пропорциональности 2mk1). В начальный момент точка находилась на расстоянии b от центра, и её скорость в этот момент равнялась нулю. Найти закон движения точки.

 

Решение

1.Расчетная схема

2. На точку М действуют силы:

;

.

3. Составим дифференциальное уравнение движения точки М в проекции на ось x:

.

4. Решим дифференциальное уравнение. Так как оно является нечетным, то прежде составим характеристическое уравнение: его корни действительные . Решение дифференциального уравнения запишется: .

Для нахождения с1 и с2, определим и запишем начальные условия: ; ; ; ; .

Решим полученные уравнения совместно: ; ; ; ; , таким образом, , где .

 

 

Примеры решения задач на прямолинейные колебания

 

4.1 На платформе весом P, подрессоренной пружиной жесткостью c, покоится груз весом G. В некоторый момент времени груз толчком сбрасывается с платформы. Определите уравнение последующих колебаний платформы.

 

1. Составляем расчётную схему.

Объект исследования — платформа весом P совершает прямолинейные колебания вдоль вертикальной оси, следовательно её можно представить как материальную точку. Изобразим на расчётной схеме вертикальную ось x, направленную вниз, покажем на ней положение недеформированной пружины О1 (рис. 2,а). Начало координат О выбираем в положении статического равновесия (рис. 2,б) нашего объекта исследования. Условия статичекого равновесия записываются в виде:

 
 


(1)

 

 

 
 
 

 


В начальный момент времени пружина была сдеформирована под статическим действием платформы и груза, на рис. 2,в покажем начальное положение точки — М0, эта точка также соответствует статическому равновесию платформы с грузом. Введём обозначения: fст — статическая деформация пружины; fст2 — статическая деформация пружины под действием платформы и груза; x0 — начальная координата точки; x — координата точки в произвольном положении. Произвольное положение объекта исследования покажем на рис. 2,г. Отметим характерные точки О1, О, М, М0 на расчётной схеме (рис. 2,д).

Начальные условия колебаний запишутся в виде

(2)

2. На материальную точку действуют силы:

— сила тяжести;

— сила упругости пружины (определяется как произведение жёсткости пружины на её полную деформацию, полную деформацию пружины определяем на расчётной схеме — это расстояние между концом недеформированной пружины (рис. 2,а) и произвольным положением точки (рис. 2,г)).

3. Составляем дифференциальное уравнение движения точки в форме второго закона Ньютона.

или в проекции на ось x:

. (3)

Для определения статической деформации в дифференциальное уравнение (3) подставим условия статического равновесия (1):

, откуда

. (4)

Подставив fст в дифференциальное уравнение и проведя несложные преобразования, получим

, (5)

где — круговая частота свободных колебаний.

4. Решаем дифференциальное уравнение.

Дифференциальное уравнение (5) описывает случай свободных незатухающих колебаний и его решение ищется в виде

. (6)

Для определения постоянных интегрирования C1 и C2 подставим в (6) начальные условия (2), для чего предварительно найдём первую производную от уравнения движения:

;

;

.

Откуда выразим

(7)

4.2 Груз весом P падает без начальной скорости с высоты h на упругую невесомую балку жесткостью c. Найдите уравнение колебаний груза, считая ось x проведенной вертикально вверх из положения статического груза на балке.

 

1. Составляем расчётную схему.

Объект исследования — груз весом P, исследуемое движение — прямолинейные колебания вдоль вертикальной оси. Следовательно груз можно представить как материальную точку. Изобразим на расчётной схеме вертикальную ось x, направленную вниз, покажем на ней положение недеформированной балки О1 (рис. 2,а). Начало координат О выбираем в положении статического равновесия (рис. 2,б) нашего объекта исследования. Условия статичекого равновесия записываются в виде:

(1)

 
В данной задаче груз совершает свободное падение, а затем колебательное движение на балке. Поскольку стоит задача исследовать колебания груза, то рассмотрение падения груза носит вспомогательный характер и служит для определения начальных условий колебаний.

       
   
 
 

 

 


В начальный момент времени балка находилась в недеформированном положении. Скорость груза в этот момент определяется из условий его равноускоренного движения под действием силы тяжести.

— время падения;

— скорость в момент касания с балкой.

На рис. 2.в покажем начальное положение точки — М0. Введём обозначения: fст — статическая деформация балки; x0 — начальная координата точки; x — координата точки в произвольном положении. Произвольное положение объекта исследования покажем на рис. 2,г. Отметим характерные точки О1,О, М, М0 на расчётной схеме (рис. 2,д).

Начальные условия колебаний запишутся в виде

(2)

2. На материальную точку действуют силы:

— сила тяжести;

— сила упругости балки (определяется как произведение жёсткости балки на её полную деформацию, полную деформацию балки определяем на расчётной схеме — это расстояние между недеформированным положением балки (рис. 2,а) и произвольным положением точки (рис. 2,г)).

3. Составляем дифференциальное уравнение движения точки в форме второго закона Ньютона.

или в проекции на ось x:

. (3)

Для определения статической деформации в дифференциальное уравнение (3) подставим условия статического равновесия (1):

, откуда

. (4)

Подставив fст в дифференциальное уравнение и проведя несложные преобразования, получим

, (5)

где — круговая частота свободных колебаний.

4. Решаем дифференциальное уравнение.

Дифференциальное уравнение (5) описывает случай свободных незатухающих колебаний и его решение ищется в виде

. (6)

Для определения постоянных интегрирования C1 и C2 подставим в (6) начальные условия (2), для чего предварительно найдём первую производную от уравнения движения:

;

;

.

Откуда выразим

(7)

 

 

Силы инерции.

Метод кинетостатики

Методом кинетостатики называется искусственный прием, позволяющий записать уравнения движения в виде уравнений статики, основанный на принципе Даламбера.

Если система состоит из нескольких тел, то к каждому телу, помимо активных сил и сил реакций связей, прикладываются соответствующие силы инерции, после чего составляются уравнения равновесия.

При решении задач методом кинетостатики рекомендуется следующая последовательность действий:

1) Выбрать систему, «движение» которой рассматривается, определить вид движения каждого из тел системы;

2) Выбрать систему координат;

3) Составить уравнения равновесия для каждого из тел системы, предварительно расчленив систему по внутренним связям на отдельные тела, где это необходимо;

4) Решить уравнения равновесия и исследовать ответ.

Расчленять систему целесообразно, если она состоит из нескольких тел, и когда вычисление сил инерции вызывает затруднения.

 

 

Пример решения задачи

 

 
 

 


 

Однородный барабан массы М3 и радиуса R присоединен шарнирно двумя ненагруженными стержнями АС и ВС к стене. На барабан намотана невесомая нерастяжимая нить, к одному концу которой присоединены два груза, массами М1 и М2 соответственно, соединенные нитью, а на другой конец действует постоянная сила Р. Найти усилия в стержных АС и ВС.

 

Рассмотрим систему тел 1, 2 и 3. Тела 1 и 2 совершают поступательное движение, тело 3 вращается вокруг оси , проходящей через точку С.

Выберем систему координат

Активными силами будут: . Реакции связей и направлены вдоль стержней, которые считаем растянутыми.

Приложим соответствующие силы инерции

и . При этом считаем, что тело 3 вращается в сторону, определяемую направлением силы .

Составим уравнения равновесия

 
(1.4)

 

Решая эту систему, получим

  (1.5)
(1.6)

Для отыскания значений сил инерции и , составим уравнение моментов относительно точки и приравняем его нулю.

 
.   (1.7)

Из кинематики известно, что

,   (1.8)

откуда, после дифференцирования, получаем

(1.9)

Подставим (1.9) в (1.7), получим

  (1.10)

Из (1.10) находим

  (1.11)

Находим соответствующие силы инерции

  (1.12)

Подставляя значения и в (1.5) и (1.6) определим значения реакций связей:

   
 
     

Оценивая полученные значения, можно предположить, что стержень ВС растянут, а стержень АС – сжат.

 

 

Пример решения задачи.

 
 

 

 


 

 

Плоский механизм с идеальными связями находится в равновесии под действием сил , и пары сил с моментом , приложенной к звену ОА. Используя принцип возможных перемещений, определить величину момента при следующих исходных данных: Звено АВС – прямоугольный треугольник с углом при вращении А, равным .

 

Для решения задачи воспользуемся ПВП, согласно которому

  (2.3)

где - элементарные работы активных сил на соответствующих возможных перемещениях.

Рассматриваемый механизм имеет одну степень свободы. Его элементы (звенья) совершают следующие виды движений: кривошип ОА и О1В – вращательное движение относительно осей, проходящих через точки О и О1, треугольник АВС и шатун D – поступательное.

Чтобы составить уравнение (2.3), сообщим механизму возможное перемещение и введем следующие обозначения для перемещений звеньев, к которым приложены активные силы: - угловое перемещение звена ОА, и - линейные перемещения точек C и D.

Примем за независимое возможное перемещение и установим кинематические зависимости между указанными возможными перемещениями. Способ их нахождения аналогичен определению скоростей точек при плоском движении.

Сначала найдем возможное перемещение общей для звеньев ОА и АВС точки А. При вращательном движении звена ОА относительно точки О имеем

(2.4)

Направление определяются направлением .

Для определения возможного перемещения точки С находим мгновенный центр вращения звена АВС, зная линии действия перемещений двух точек А и В этого звена - и . Проводя перпендикуляры к направлениям и , получим точку их перемещения - . При плоско-параллельном движении все точки звена АВС совершают вращательное движение относительно этой точки.

Тогда линейные возможные перемещения точек А, В и С будут пропорциональны их расстояниям до мгновенного центра вращения:

  (2.5)

Находим угловое перемещение звена АВС:

  (2.6)

его направление определяется направлением (рис. ).

Далее находим и изображаем линейное перемещение точки С

  (2.7)

где .

Направление определяется направлением (вращение вокруг точки происходит против хода часовой стрелки).

В случае необходимости находим по направлению : .

Зная и линию действия возможного перемещения точки D – горизонталь находим , используя следствие из теоремы о проекциях скоростей двух точек плоской фигуры на ось, проходящую через эти точки.

Запишем

 
  (2.8)

Направление находится из условия равенства проекции возможных перемещений и на ось проходящую через данные точки (см.рис. )

Теперь запишем уравнение (1) для механизма:

(2.9)

Заменяя и их значениями (2.7) и (2.8) и вынося одновременно за скобки, получим:

(2.10)

Так как :

 

 

откуда

 

После подстановки исходных данных находим

 

Механической системы

 

При движении материальной системы, подчиненной идеальным удерживающим связям, сумма работ активных сил и сил инерции на любых возможных перемещениях точек системы равна нулю:

(3.1)
если     (3.2)

 

 

то общее уравнение динамики имеет вид:

  (3.3)

Преимущество общего уравнения динамики по сравнению с другими теоремами динамики заключается в том, что в его формулировке отсутствуют реакции идеальных связей. Если не все связи являются идеальными, например, имеются связи с трением, то, применяя общее уравнение динамики, следует к активным силам добавлять реакции, соответствующие неидеальным связям.

Вычисление суммы работ сил инерции на возможных перемещениях точек твердого тела производится по формулам:

 

а) При поступательном движении:

(3.4)

где - равнодействующая сил инерции ( ); - ускорение любой точки твердого тела; - возможное перемещение любой точки твердого тела.

 

б) При вращении вокруг неподвижной оси:

(3.5)

где - главный момент сил инерции относительно оси вращения ; - момент инерции твердого тела относительно оси вращения; - угловое ускорение вращательного движения твердого тела; - возможное угловое перемещение твердого тела.

 

в) При плоском движении:

(3.6)

где - главный вектор сил инерции ; - ускорение центра масс твердого тела;

- главный момент сил инерции относительно оси, проходящей через центр масс С твердого тела перпендикулярно плоскости движения ; - момент инерции твердого тела относительно оси, проходящей через центр масс С перпендикулярно плоскости движения; - угловое ускорение твердого тела; - возможное перемещение центра масс С твердого тела; - возможное угловое перемещение твердого тела.

При решении задач с помощью общего уравнения динамики рекомендуется следующая последовательность действий:

1) Изобразить на рисунке активные и реакции, соответствующие неидеальным связям (силы трения);

2) Определить главные векторы и главные моменты сил инерции масс системы;

3) Дать возможное перемещение одной из точек системы и выразить возможные перемещения точек приложения всех сил, указанных в 1, 2, через это возможное перемещение.

4) Вычислить сумму работ всех сил на возможных перемещениях точек системы; составить общее уравнение динамики, приравняв в вычисленную сумму работ сил нулю;

5) Определить искомую величину либо провести интегрирование дифференциального уравнения движения.

 

Пример решения задачи.

 

 
 

 

 


Рис.2.1.

 

 

Механическая система состоит из ступенчатого шкива 2 (радиусы ступеней R2 и r2), груза 1 и сплошного катка 3, прикрепленных к концам нитей, намотанных на ступени шкива. На шкив при его вращении действует момент сил сопротивления M2 Радиус инерции ступенчатого шкива 2 ρz2, f – коэффициент трения скольжения груза 1 о наклонную плоскость.

Дано: R2 = R, r2 = 0,6 R, Р1 = 6Р, Р3 = 3Р, М2 = 0,2 РR, F = 2P, Pz2 = 0,5R, f = 0,1, α = 30˚, β = 60˚, γ = 60˚.

Определить: а1 – ускорение груза 1.

 

1. Материальная система состоит из трех твердых тел и имеет одну степень свободы. Будем считать, что ускорение груза 1 направлено вниз по наклонной плоскости .

 







Последнее изменение этой страницы: 2016-08-01; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.233.215.196 (0.068 с.)