Применение теоремы об изменении кинетического момента механической системы к решению задач

Пример 1

Маховик, момент инерции которого I, в начале торможения имел угловую скорость .

Определить, через сколько времени его угловая скорость уменьшится в два раза, если момент сил сопротивления пропорционален квадрату угловой скорости (коэффициент пропорциональности равен k).

 

Решение:

1) Механическая система состоит из одного твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.

2) Так как сила тяжести маховика и сила реакции со стороны вала пересекают ось вращения, их моменты относительно неё равны нулю.

3) Дифференциальные уравнения вращения твёрдого тела относительно неподвижной оси имеет вид:

,

где М_с ­ момент сил сопротивления, равный М_с = kω ², тогда: .

Получили дифференциальные уравнения первого порядка относительно неизвестной функции ω (t).

Разделяя переменные, получим: .

Вычисляем неопределённые интегралы отдельно левой и правой частей:

.

Произвольную постоянную определяем из начальных условий: t ₀=0, ω (t ₀)= ω ₀: .

Подставляя значение С ₁, получим закон изменения угловой скорости:

.

Если угловая скорость уменьшится в два раза, то это произойдёт в момент времени:

.

 

Пример 2

По радиусу ОА однородного горизонтального диска 1 сделан узкий сквозной паз, вдоль которого может перемещаться вертикальный стержень BD, жестко скрепленный с однородным диском 2, вращающимся с постоянной угловой скоростью ω 2. Радиусы дисков равны R и r, а веса P 1 и P 2 соответственно. Диск 1 вращался вокруг вертикальной оси Oz, перпендикулярной к его плоскости, с постоянной угловой скоростью ω 0. При этом обод диска 2 касался оси Oz. Определить угловую скорость диска 1 в момент, когда центр диска 2 находится на ободе диска 1.

 

Решение.

1) Определяем состав исследуемой механической системы.

Механическая система состоит из двух твёрдых тел: диска 1 и диска 2.

2) Проводим кинематический анализ движений тел и материальных точек, входящих в исследуемую систему:

– диск1 совершает вращательное движение вокруг неподвижной оси Oz;

– диск 2 совершает сложное движение, состоящее их двух движений: переносного вращательного вокруг оси Oz с угловой скоростью ω и относительного вращательного вокруг оси BD с постоянной угловой скоростью ω ₂.

3) Описываем и обозначаем все внешние силы, действующие на тела и материальные точки, входящие в рассматриваемую систему:

Силы тяжести дисков и приложенные в их центрах тяжести и направленные параллельно оси Oz. Реакция подпятника , приложенная в точке Е и направленная в произвольном направлении в пространстве. Реакция подшипника , направленная перпендикулярна оси Oz.

4) Записываем теорему об изменении момента количества движения механической системы относительно оси Oz:

(1)

где L_z – момент количества движения механической системы; ‑ сумма моментов всех внешних сил, действующих на тела, входящие в механическую систему, относительно той же оси.

Определяем моменты внешних сил: , , так как эти силы параллельны оси Oz; , , так как эти силы пересекают ось Oz.

Тогда из уравнения (1) следует, что L_z (t)=const, т.е. момент количества движения механической системы в момент времени t ₀=0 и в момент времени t_к равны: L_z (t ₀)= L_z (t_к).

Механическая система состоит из двух твердых тел, поэтому

L_z (t)= L_{z 1}(t)+ L_{z 2}(t),

где L_{z 1}(t), L_{z 2}(t) – моменты количеств движения дисков 1 и 2.

Диск 1 совершает вращательное движение вокруг неподвижной оси и его момент количества движения равен: L_{z 1}(t ₀)= I ₁ ω ₀, L_{z 1}(t_к)= I ₁ ω, где I ₁ – момент инерции диска 1 относительно оси Oz.

Для однородного диска .

Диск 2 участвует в двух движениях и момент количества абсолютного движения относительно неподвижной оси равен сумме момента относительно той же оси количества движения его центра масс, в предположении, что в нём сосредоточена вся его масса, и момента относительно оси, проходящей через его центр масс количеств относительного движения диска по отношению к поступательно перемещающимся координатным осям:

, , (5)

где ‑ момент инерции диска 2 относительно собственной оси.

, (6)

Подставляя в (2) выражения (4-6) с учётом (3), получаем:

, откуда