Свободные колебания в среде без сопротивления.

Рассмотрим колебания материальной точки, происходящие под действием одной восстанавливающей силы . Такие колебания называют свободными и описывают однородным дифференциальным уравнением, которое можно получить из дифференциального уравнения прямолинейных колебаний материальной точки (), положив n = 0 и h = 0,

Характеристическое уравнение этого дифференциального уравнения имеет чисто мнимые корни , поэтому общее решение уравнения запишем в виде:

где С ₁ и С ₂ – постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий:

Продифференцируем функцию

Получим

.

Подставив С ₁ и С ₂ в уравнение, запишем закон движения точки

и преобразуем его к более удобному виду. Введя обозначения

Получим

или

Таким образом, свободные колебания материальной точки в среде без сопротивления являются гармоническими. Амплитуда этих колебаний равна А, фаза , где – начальная фаза. Величину называют круговой или циклической частотой колебаний. Период колебаний является периодом функции . Последнее соотношение показывает, что круговая частота k равна числу полных колебаний точки за 2π секунд: k = 2π/ T. Таким образом, частота и период гармонических колебаний зависят от массы точки и коэффициента пропорциональности восстанавливающей силы, но не зависят от начальных условий. Это свойство свободных колебаний называют изохронностью. Амплитуда и начальная фаза зависят как от параметров системы m и c, так и от начальных условий.

Свободные колебания в среде с сопротивлением

Рассмотрим прямолинейное движение материальной точки под действием восстанавливающей силы и силы сопротивления. Дифференциальное уравнение такого движения получим, воспользовавшись , при h = 0

.

Его характеристическое уравнение имеет корни

.

Характер движения точки существенно зависит от соотношения величин n и k. Рассмотрим три возможных случая этого соотношения.

Случай малого сопротивления

Корни характеристического уравнения комплексно сопряженные: , где . Общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

,

где постоянные интегрирования С ₁ и С ₂ определяют из начальных условий.

Введем новые постоянные А и φ₀ с помощью соотношений

,

тогда из уравнения получим

. (2.14)

Это уравнение описывает затухающие колебания, график которых приведен на рис. 2.6. Они не являются периодическими, но промежуток времени между двумя последовательными максимальными отклонениями точки от положения равновесия в одну и ту же сторону остается неизменным. Эту величину условно называют периодом затухающих колебаний: , где k ₁ – частота затухающих колебаний.

Скорость затухания колебаний характеризуется отношением величин двух последовательных максимальных отклонений точки от положения равновесия в одну и ту же сторону

,

которое называют декрементом колебаний. Используют также натуральный логарифм этой величины , называемый логарифмическим декрементом колебаний. Поскольку частота затухающих колебаний меньше частоты незатухающих колебаний k, появление силы сопротивления приводит к увеличению периода колебаний: . Это изменение может быть весьма незначительным и поэтому основным влиянием, которое оказывает сила сопротивления на свободные колебания, является качественное изменение характера колебаний, которые становятся затухающими.

Случай критического сопротивления

Корни характеристического уравнения вещественные, равные и отрицательные , а общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

.

Случай большого сопротивления

Корни характеристического уравнения вещественные, отрицательные и различные, а общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

.

В двух последних случаях движение точки теряет колебательный характер и становится апериодическим. В зависимости от величины и направления начальной скорости график колебаний имеет вид одной из трех кривых, приведенных на рис. 2.7.