Меры движения: количество движения м.т. и механической системы, кинетический момент м.т. и механической системы относительно центра и оси, кинетическая энергия м.т. и мех. системы.

Количеством движения системы называют векторную величину Q, равную геометрической сумме (главному вектору) количеств движения всех точек системы

Количество движения системы равно произведению массы всей системы на скорость её центра масс

Если тело (или система) движется так, что центр масс остается неподвижным, то количество движения тела (системы) равно нулю

При сложном движении количество движения не будет зависеть от его вращательного движения вокруг центра масс

Таким образом, количество движения тела можно рассматривать как характеристику поступательного движения тела

При сложном движении – как характеристику поступательной части движения вместе с центром масс тела

Кинетический момент материальной точки М относительно неподвижного центра О – это величина, равная векторному произведению радиус-вектора этой точки, проведенного из центра О, на ее количество движения (рис. 6.1):

Векторное произведение в правой части представляет собой момент вектора относительно центра О, отсюда 2-е название вектора – момент количества

движения, .

Вектор направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через вектор и центр О, в ту сторону, откуда вектор виден направленным против часовой стрелки относительно этого центра. Его модуль:

где h – плечо вектора относительно центра О.

Кинетический момент материальной точки относительно неподвижной оси равен проекции на эту ось кинетического момента точки относительно любого центра, выбранного на данной оси

Определение кинетического момента относительно оси аналогично вычислению соответствующего момента силы – спроецируем вектор на плоскость, перпендикулярную оси, и определим алгебраический момент проекции относительно точки пересечения оси и плоскости

Кинетический момент , если, глядя с положительного направления оси z, видим вектор направленным против часовой стрелки относительно центра О.

Кинетический момент (главный момент количеств движения) механической системы относительно неподвижного центра О равен сумме кинетических моментов всех материальных точек системы относительно этого центра:

Аналогично определяют кинетический момент системы относительно неподвижной оси:

Определим кинетический момент твердого тела относительно неподвижной оси вращения z (рис. 6.2). Обозначив через расстояние от точки до оси вращения, вычислим кинетический момент точки относительно оси z

,

а также кинетический момент тела

По определению, полученная сумма является моментом инерции тела относительно оси z: , поэтому из выражения () получим

.

Таким образом, кинетический момент твердого тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно данной оси на проекцию его угловой скорости на ту же ось.

 

Кинетическая энергия материальной точки – это скалярная мера механического движения, равная половине произведения массы точки на квадрат ее скорости:

Кинетическая энергия механической системы – это сумма кинетических энергий всех материальных точек, образующих систему:

Кинетическая энергия является неотрицательной величиной, она равна нулю только в том случае, если неподвижны все точки системы. Однако и кинетическая энергия не является универсальной мерой движения, так как, будучи величиной скалярной, не отражает направление движения.

Меры действия сил: элементарный импульс силы

Для характеристики действия силы за некоторый промежуток времени используют величину, называемую импульсом силы. Элементарный импульс силы – это векторная мера действия силы, равная произведению силы на элементарный промежуток времени ее действия:

Импульс силы за конечный промежуток времени равен определенному интегралу от элементарного импульса:

В общем случае импульс силы может быть определен по его проекциям на координатные оси:

Кинетическая энергия

Кинетической энергией механической системы называется сумма кинетических энергий всех точек этой системы:

T = ∑ m_kv_k² / 2,

где m_k и v_k - масса и скорость k -й материальной точки, принадлежащей данной системе.

 

На основании теоремы Кёнига кинетическая энергия произвольной механической системы определяется по формуле

T = Mv_C²/2 + ∑ m_kv_kr² / 2,

где M - масса всей системы;

v_C - скорость центра масс системы;

m_k - масса k -й точки системы;

v_kr - относительная скорость k -й точки при движении её вокруг центра масс
(т.е. v_k= v_C + v_kr).

Из этой формулы можно получить следующие частные случаи для твёрдого тела:

- при поступательном движении тела v_k= v_C, v_kr = 0,

T = mv_C² / 2;

- при вращении тела вокруг оси, проходящей через его центр масс,

v_C =0, v_kr = ω * r_k,

T = ∑ m_kv_kr² / 2 = Jω²/2,

где J - момент инерции тела относительно оси, проходящей в данный момент времени через центр масс;

ω - угловая скорость вращения тела;

- в случае произвольного движения тела (например при плоскопараллельном движении)

T = mv_C² / 2 + Jω²/2.