Основное уравнение динамики. Дифференциальные уравнения движения М. Т. В проекциях на декартовые и естественные оси. Первая и вторая задача динамики.

Второй закон Ньютона гласит, что ускорение, которое возникает у тела, прямо пропорционально действующей на него силе и обратно пропорционально массе тела:

Отсюда можно сделать вывод, что сила есть причина возникновения ускорения:

Если на тело действует несколько сил, то необходимо искать равнодействующую. А поскольку сила - векторная величина, в общем случае получаем:

Это уравнение носит название основного уравнения динамики (ОУД). Из него следует, что именно равнодействующая сила обусловливает величину и направление ускорения.

 

Уравнение второго основного закона динамики для абсолютного движения точки массой m имеет вид

где a – абсолютное ускорение точки;

F_i – силы, действующие на точку, включая реакции связей.

Абсолютное ускорение точки в сложном движении определяется как геометрическая сумма трех ускорений: переносного a_пер, относительного a_отн и кориолисова a_кор, т.е.

Подставляя это выражение в (7.1), получим

или

Введем в рассмотрение два вектора

и назовем их переносной и кориолисовой силами инерции.

Подставим эти векторы в уравнение (7.2):

Уравнение (7.3) представляет собой основное уравнение динамики относительного движения материальной точки.

В случае равномерного и поступательного переносного движения Ф_пер= 0, Ф_кор= 0 и уравнение (7.3) ничем не отличается от уравнения (7.1). Во всех инерциальных системах отсчета уравнение движения точки записывается одинаково. В этом заключается принцип относительности классической механики.

Проецируя уравнение (7.3) на оси подвижной декартовой системы координат, получим дифференциальные уравнения относительного движения точки

Дифференциальные уравнения относительного движения отличаются от дифференциальных уравнений абсолютного движения наличием в правой части уравнений проекций на соответствующие оси переносной и кориолисовой сил инерции.

 

Рассмотрим частные случаи относительного движения материальной точки:

1) если подвижная система отсчета движется поступательно, то Ф_кор= 0, так как ω_пер= 0, и уравнение относительного движения примет вид

ma_отн=ΣF_i +Ф_пер; (7.5)

2) если точка по отношению к подвижным осям находится в покое, то для нее a_отн= 0, V_отн= 0 и, следовательно, Ф_кор= 0. Тогда уравнение (7.3) примет вид

ΣF_i +Ф_пер= 0. (7.6)

Уравнение (7.6) представляет собой уравнение относительного покоя точки.

 

Первая, основная задача динамики точки заключается в том, чтобы по заданному закону движения материальной точки определить результирующую или одну из составляющих сил, действующих на эту точку.

При наличии нескольких сил, действующих на точку, второй закон Ньютона дает основное уравнение динамики точки

где m – масса точки;

a – ускорение точки;

F_i – силы, действующие на точку.

В зависимости от способа задания движения точки, это уравнение можно записать по-разному.

Для векторного способа задания движения

где r = r (t) – радиус-вектор, определяющий положение точки по отношению к выбранной системе отсчета.

Для координатного способа задания движения точки

где x = x (t), y = y (t), z = z (t) – координаты точки, заданные как функции времени.

Для естественного способа задания движения точки

0 = Σ F_ib,

где dV/ dt – проекция ускорения точки на касательную в данной точке (касательное ускорение), V²/ ρ – проекция ускорения на нормаль (нормальное ускорение),

ρ – радиус кривизны траектории.

В правой части уравнений – проекции сил на касательную ΣF_iτ,

нормаль ΣF_in и бинормаль ΣF_ib.

По заданному закону движения точки определяются правые части этих уравнений, и далее может быть определена результирующая сила

– при координатном способе задания движения:

– при естественном способе или одна из составляющих сил:

Направление силы определяется с помощью направляющих косинусов:

cos (α) = R_x / R, cos (β) = R_y / R, cos (γ) = R_z / R (1.5)

где α, β, γ – углы между направлением силы и осями x, y, z соответственно.

 

Вторая, основная задача динамики точки заключается в том, чтобы по заданным силам, действующим на точку, определить ее движение.

Пусть на материальную точку действует некоторая система сил и требуется определить движение точки под действием этих сил.

Уравнение второго основного закона динамики для материальной точки массой m запишется в виде

где a – ускорение точки;

F_i – силы, действующие на точку, включая реакции связей.

Спроектировав уравнение (4.1) на декартовы оси координат, получим систему из трех уравнений

где a_x, a_y, a_z – проекции ускорения точки на декартовы оси координат;

F_x, F_y, F_z – проекция i -й силы на соответствующую ось.

Учитывая, что

получаем систему дифференциальных уравнений первого порядка относительно проекций скорости точки или второго порядка относительно координат точки.

Спроектировав уравнение (4.1) на естественные оси координат, получим следующую систему уравнений:

ma_τ = ΣF_τi,

ma_n = ΣF_ni,

0 = ΣF_bi.

Учитывая, что

где V – алгебраическое значение скорости, получим

0 = ΣF_bi.

В зависимости от того, что известно о движении точки, дифференциальные уравнения записывают или в декартовых, или в естественных координатах.