Классификация связей: голономные, стационарные и удерживающие. Виртуальное перемещение точки. Виртуальная работа. Идеальная связь.

Связь называется голономной, если в уравнение связи входят только координаты точек механической системы или иные параметры, определяющие ее положение в пространстве.

Связь называют удерживающей, если она выражается математически равенством, и неудерживающей, если она выражается неравенством.

Связь называется стационарной, если в уравнение связи время явно не входит. Если в уравнение связи время входит явным образом, то связь − нестационарная.

Примером нестационарной связи, наложенной на материальную точку, является нить, длина которой изменяется согласно некоторому закону . Это голономная, неудерживающая, нестационарная связь.

 

Виртуальным (возможным) перемещением точки (обозначается ) называется такое бесконечно малое (элементарное) перемещение, которое допускается в рассматриваемый момент движения наложенными на точку связями.

Проекции вектора виртуального перемещения точки называются вариациями координат.

В случае голономной нестационарной связи уравнение в фиксированный момент определяет некоторую поверхность в трехмерном пространстве, на которой находится движущаяся точка. Виртуальные перемещения лежат в касательной плоскости к этой поверхности и вариации координат удовлетворяют уравнению ,

выражающему перпендикулярность вектора нормали к поверхности и вектора .

Виртуальным перемещением механической системы называется совокупность виртуальных перемещений точек этой системы.

Например, виртуальным перемещением кривошипно-ползунного механизма, являются два элементарных поворота – кривошипа на угол вокруг оси вращения и шатуна на угол вокруг мгновенного центра скоростей. Из геометрических соображений следует, что: . Связь между виртуальными перемещениями отдельных тел и точек, образующих механическую систему, в общем случае может быть найдена аналитически путем варьирования уравнений связи.

 

Виртуальной работой силы (обозначается )называется работа силы на виртуальном перемещении точки ее приложения, т.е.: .

 

Связь называется идеальной, если сумма работ реакций этой связи на любом виртуальном перемещении системы равна нулю.

Примером является шероховатая поверхность для катка, катящегося без скольжения, при отсутствии трения качения .

Принцип виртуальных перемещений.

Для равновесия механической системы с идеальными и стационарными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма виртуальных работ всех активных сил, приложенных к точкам системы, была равна нулю

Дано, что механическая система находится в равновесии и требуется доказать, что . Так как система находится в равновесии, то равнодействующая активных сил и равнодействующая сил реакций связей , приложенных в -й точке системы, удовлетворяют условию равновесия статики:

 

,

Пусть , докажем, что механическая система находится в равновесии. Предположим, что при заданных условиях система не находится в равновесии, т. е. при действии на систему активных сил хотя бы одна точка получила действительное перемещение и .

Так как для стационарных связей действительное перемещение совпадает с одним из возможных ( ), то или по крайней мере для одной точки системы, вышедшей из равновесия. Суммируя по всем точкам системы, получаем .

Так как связи идеальные, то Þ Þ , что противоречит условию.

Следовательно, система находится в равновесии.

Принцип виртуальных перемещений может быть записан в иной форме, если поделить уравнение, выражающее этот принцип на временной интервал , в течение которого совершается это перемещение.

Общее уравнение динамики.

Рассмотрим систему, состоящую из N материальных точек, с идеальными и голономными связями, положение которой однозначно определяется s обобщенными координатами . Запишем для каждой точки системы основное уравнение динамики

или

.

Зафиксируем время и дадим системе виртуальное перемещение, при котором радиус-векторы точек получат приращения . Умножим скалярно каждое уравнение на и сложим полученные произведения

Так как связи идеальные, последняя сумма равна нулю и из уравнения получим

Учитывая, что – это сила инерции j -й материальной точки, – работы активной силы и силы инерции, перепишем равенство в виде:

.

Это уравнение называют общим уравнением динамики. Оно утверждает, что при движении системы с идеальными связями в любой момент времени сумма работ активных сил и сил инерции на любом виртуальном перемещении системы равна нулю.