Основные теоремы динамики механической системы

 

1. Основные понятия и определения

Механическая система – определенным образом выделенная совокупность материальных точек, взаимодействующих друг с другом по закону равенства действия и противодействия.

Внешние силы механической системы – силы, с которыми действуют на точки системы тела и точки, в нее не входящие.

Внутренние силы механической системы – силы взаимодействия между точками рассматриваемой системы.

Центр масс механической системы – геометрическая точка, положение которой определяется радиус-вектором :

,

где – масса и радиус-вектор материальной точки соответственно, – масса системы.

Количество движения механической системы – есть векторная сумма количеств движения отдельных точек системы:

,

где – скорость материальной точки и цента масс соответственно.

Кинетический момент (главный момент количества движения системы) относительно какой-либо точки – есть векторная сумма моментов количеств движений точек этой системы, взятых относительно точки О:

.

Кинетический момент системы относительно осей координат:

.

Кинетический момент твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на проекцию угловой скорости :

.

Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий всех материальных точек системы:

.

Кинетическая энергия твердого тела:

а) при поступательном движении:

,

где – масса тела, – скорость любой его точки;

б) при вращательном движении:

,

где – момент инерции твердого тела относительно оси вращения , – угловая скорость вращения;

в) при плоском движении:

,

где – модуль скорости центра масс тела, – момент инерции твердого тела относительно оси , проходящей через центр масс перпендикулярно к плоскости движения, – величина мгновенной угловой скорости твердого тела.

Элементарная работа переменной силы равна скалярному произведению силы и элементарного перемещения :

.

 

Работа переменной силы на конечном перемещении по произвольной траектории равна криволинейному интегралу, взятому вдоль дуги кривой от элементарной работы:

.

Элементарная работа внешних сил, приложенных к твердому телу:

а) поступательное движение:

,

где – главный вектор системы сил, – элементарное перемещение любо й точки тела;

б) вращательное движение:

,

где – главный момент системы сил относительно оси вращения , – элементарное угловое перемещение тела;

в) плоское движение:

,

где – элементарное перемещение полюса О, – главный момент системы сил относительно оси, проходящей через полюс, – элементарное угловое перемещение вокруг этой оси.

 

Теорема о движении центра масс механической системы

Центр масс механической системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена вся масса системы и к которой приложены все внешние силы, действующие на систему

.

В проекциях на оси координат это равенство эквивалентно трем скалярным:

,

где , , – проекции ускорения центра масс системы.

Следствия:

1. Одними внутренними силами нельзя изменить характер движения центра масс системы.

2. Если главный вектор внешних сил равен нулю, то центр масс материальной системы находится в покое или движется равномерно и прямолинейно

.

3. Если проекция главного вектора внешних сил системы на некоторую неподвижную ось равна нулю, то проекция скорости центра масс на эту ось не изменяется

.

4. Пара сил, приложенная к твердому телу не может изменить движение его центра масс.

Посредством теоремы можно решать прямые и обратные задачи динамики.

Рекомендуемая последовательность действий при решении задач:

1) дать анализ движения тел, входящих в исследуемую механическую систему;

2) изобразить на схеме все внешние силы системы (активные и реакции внешних связей);

3) выбрать систему координат;

4) записать теорему в проекциях на оси декартовых координат;

5) вычислить суммы проекций всех внешних сил системы на оси координат;

6) в зависимости от условий задачи решать прямую, либо обратную задачу динамики.