Сложение колебаний одного направления

Бывают случаи, когда смещение x материальной точки представляет собой сумму смещений x₁ + x₂ + …, каждое из которых есть гармоническое колебание: .

Выяснение того, как выглядит сумма x₁ + x₂ + …, как её проще и понятней записать, называют сложением колебаний. Сложение колебаний удобно анализировать с помощью векторных диаграмм. Каждому колебанию соответствует свой вращающийся вектор. Сумма проекций вращающихся векторов есть прекция суммы векторов, а сумму векторов и проекцию её можно легко показать на векторной диаграмме. Рис. 4 поясняет случай сложения двух колебаний. Формулы, относящиеся к этому случаю:

. . (33)

. (34)

Если частоты исходных колебаний одинаковы, то разность фаз можно заменить разностью начальных фаз .

Теперь на вопрос, как записать кинематическое уравнение гармонического колебания, можно ответить двояко: или как одно колебание с амплитудой A и некоторой начальной фазой , или как сумму двух колебаний с амплитудами a и b , причём A² = a² +b², .

На основании уравнения гармонических колебаний (32) скорость и ускорение материальной точки запишутся следующим образом:

, (35) . (36)

Амплитуда скорости A_v есть произведение амплитуды A на частоту . Ускорение пропорционально смещению x со знаком минус и коэффициент пропорциональности есть квадрат частоты.

 

 

Д и н а м и к а к о л е б а н и я

На основании формулы (36) сила, под действием которой точечное тело совершает гармонические колебания, есть сила типа

F = – Cx, (37)

где C можно представить как произведение массы и квадрата частоты:

. (38)

Такую силу называют квазиупругой. Уравнение

(39)

есть уравнение динамики простого гармонического колебания (дифференциальное уравнение гармонического колебания).

Примером квазиупругой силы является сила пружины

F = - kx, где k –– жёсткость пружины, показывающая

силу пружины при её единичном удлинении (или сокращении). Если на закреплённой с одного конца пружине находится груз массой m, то он будет колебаться с частотой .

Ещё примером квазиупругой силы является результирующая сил, действующих на точечный груз, подвешенный на нити, отклонённой на малый угол от вертикали (математический маятник). Эта результирующая может быть записана как (рис. 5). Знак "–" учитывает то, что сила направлена в сторону уменьшения угла отклонения. При малых углах отклонения смещение можно считать прямым отрезком x и, кроме того, . И тогда получается F=–(mg/l)x. В роли коэффициента C здесь выступает mg/l. Для частоты и периода имеем (формулы Гюйгенса)

. (40)

Следующий пример – физический маятник. Им называется тело, способное вращаться вокруг оси, проходящей выше центра масс тела (рис. 6). Уравнению динамики вращательного движения можно придать вид

где I –– момент инерции относительно оси O; – соответственно угловое ускорение и плечо силы тяжести; точка С – центр масс.

При малых углах отклонения это уравнение есть уравнение типа (39). В роли x выступает угол, в роли массы – I, в роли коэффициента C – множитель mgd. Поэтому для частоты и периода будут справедливы формулы::

(41)

Формулам (41) можно придать тот же вид, что и формулам Гюйгенса, если величину I/md, имеющую размерность длины, обозначить далее через l_пр. Величину l_пр называют приведённой длиной физического маятника:

. (41^l)