Сложение колебаний одного направления

Бывают случаи, когда смещение x материальной точки представляет собой сумму смещений x₁ + x₂ + …, каждое из которых есть гармоническое колебание : .

Выяснение того, как выглядит сумма x₁ + x₂ + …, как её проще и понятней записать, называют сложением колебаний. Сложение колебаний удобно анализировать с помощью векторных диаграмм. Каждому колебанию соответствует свой вращающийся вектор. Сумма проекций вращающихся векторов есть прекция суммы векторов, а сумму векторов и проекцию её можно легко показать на векторной диаграмме. Рис. 4 поясняет случай сложения двух колебаний. Формулы, относящиеся к этому случаю:

. . (33)

. (34)

Если частоты исходных колебаний одинаковы, то разность фаз можно заменить разностью начальных фаз .

Теперь на вопрос, как записать кинематическое уравнение гармонического колебания, можно ответить двояко: или как одно колебание с амплитудой A и некоторой начальной фазой , или как сумму двух колебаний с амплитудами a и b , причём A² = a² +b² , .

На основании уравнения гармонических колебаний (32) скорость и ускорение материальной точки запишутся следующим образом:

, (35) . (36)

Амплитуда скорости A_v есть произведение амплитуды A на частоту . Ускорение пропорционально смещению x со знаком минус и коэффициент пропорциональности есть квадрат частоты.

 

 

Д и н а м и к а к о л е б а н и я

На основании формулы (36) сила, под действием которой точечное тело совершает гармонические колебания, есть сила типа

F = – Cx, (37)

где C можно представить как произведение массы и квадрата частоты:

. (38)

Такую силу называют квазиупругой. Уравнение

(39)

есть уравнение динамики простого гармонического колебания (дифференциальное уравнение гармонического колебания).

Примером квазиупругой силы является сила пружины

F = - kx, где k –– жёсткость пружины, показывающая

силу пружины при её единичном удлинении (или сокращении). Если на закреплённой с одного конца пружине находится груз массой m, то он будет колебаться с частотой .

Ещё примером квазиупругой силы является результирующая сил, действующих на точечный груз, подвешенный на нити, отклонённой на малый угол от вертикали (математический маятник). Эта результирующая может быть записана как ( рис. 5). Знак "–" учитывает то, что сила направлена в сторону уменьшения угла отклонения. При малых углах отклонения смещение можно считать прямым отрезком x и, кроме того, . И тогда получается F=–(mg/l)x. В роли коэффициента C здесь выступает mg/l . Для частоты и периода имеем (формулы Гюйгенса)

. (40)

Следующий пример – физический маятник. Им называется тело, способное вращаться вокруг оси, проходящей выше центра масс тела ( рис. 6). Уравнению динамики вращательного движения можно придать вид

где I –– момент инерции относительно оси O; – соответственно угловое ускорение и плечо силы тяжести; точка С – центр масс.

При малых углах отклонения это уравнение есть уравнение типа (39). В роли x выступает угол, в роли массы – I, в роли коэффициента C – множитель mgd. Поэтому для частоты и периода будут справедливы формулы::

(41)

Формулам (41) можно придать тот же вид, что и формулам Гюйгенса, если величину I/md, имеющую размерность длины, обозначить далее через l_пр. Величину l_пр называют приведённой длиной физического маятника:

. (41^l)