Плоское движение твёрдого тела.

При обсуждении кинематики твёрдого тела уже отмечалось, что перемещение любой точки тела можно представить как перемещение центра масс тела и перемещение по дуге некоторого радиуса относительно центра масс. Соответственно работу силы, приложенной в некоторой точке твёрдого тела, можно представить как сумму работы силы на перемещении центра масс и работы на перемещении точки приложения силы относительно центра масс. В соответствии с этим кинетическую энергию плоского движения можно записать в виде

. (29)

Формулу (29) можно применить к случаю вращения тела около закреплённой оси. Скорость центра масс можно представить как произведение угловой скорости на расстояние d от центра масс до оси вращения. Тогда получится, что

.

С другой стороны, эту же энергию можно записать как

,

где I –– момент инерции тела относительно закреплённой оси вращения. Между моментами инерции I_C и I должно быть соотношение

I = I_C + md². (30)

Соотношение (30) выражает теорему Штейнера: Момент инерции относительно некоторой оси вращения равен сумме момента инерции относительно оси, проходящей через центр масс и параллельной данной, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

Что можно сказать о уравнениях динамики плоского движения твёрдого тела? Одно из уравнений – это уравнение (13) движения центра масс. Ещё одно уравнение должно описывать движение относительно центра масс. Обратимся к рис. 3, плоскость которого параллельна вектору внешней силы F. Представим, что в центре масс действуют две равные по модулю, но противоположные силы F ^l = F и F ^ll =- F. Введение этих сил не вызовет изменения движения. Теперь три силы можно перегруппировать как F ^l и F + F ^ll. Сила F ^l вызовет только ускорение центра масс в соответствии с уравнением (13). Силы F и F ^ll не могут вызвать ускорение центра масс, так как результирующая их равна нулю. Они могут вызвать только движение относительно центра масс, то есть вращение в плоскости этих сил. Такие силы называются парой сил. Величину момента пары сил можно подсчитывать не по общей, а по более простой формуле

M = Fl, где l –– расстояние между линиями действия сил пары (плечо пары). Второе уравнение динамики плоского движения:

. (31)

Таким образом, динамика плоского движени твёрдого тела выражается уравнениями (13) и (31).

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

К и н е м а т и к а к о л е б а т е л ь н о г о д в и ж е н и я

Колебательные движения –– это движения, повторяющиеся во времени. Простейшей периодической функцией является гармоническая функция cos или sin. Простейшим колебанием является гармоническое колебание, когда в формуле для координаты время входит под знак косинуса или синуса:

. (32)

Правую часть (32) можно истолковать как проекцию на ось x вектора длиной A, вращающегося в плоскости xy с угловой скоростью . Начальный угол наклона этого вектора к оси x – . Поэтому называют циклической частотой колебаний. Величины A и называют соответственно амплитудой и начальной фазой колебания, величину – фазой колебания. Изображение упомянутого вектора называют векторной диаграммой колебания.